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1、1 线线性性代代数数知知识识点点 1、行行列列式式 1.行列式共有个元素，展开后有项项，可分解为行列式；n 2 n!n2n 2.代数余子式的性质： 、和的大小无关； ij A ij a 、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为 0； 、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为；A 3. 代数余子式和余子式的关系：( 1)( 1) ijij ijijijij MAAM 4.设行列式：nD 将上、下翻转或左右翻转，所得行列式为，则；D 1 D (1) 2 1 ( 1) n n DD 将顺时针或逆时针旋转，所得行列式为，则；D90 2 D (1) 2 2 ( 1) n n DD
2、将主对角线翻转后（转置），所得行列式为，则；D 3 D 3 DD 将主副角线翻转后，所得行列式为，则；D 4 D 4 DD 5.行列式的重要公式： 、主对角行列式：主对角元素的乘积； 、副对角行列式：副对角元素的乘积； (1) 2 ( 1) n n 、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积； 、和：副对角元素的乘积； (1) 2 ( 1) n n 、拉普拉斯展开式：、 AOAC A B CBOB ( 1)m n CAOA A B BOBC 、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； 、特征值； 6.对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；nA 1 ( 1) n nkn k k k EAS k Sk
3、 7.证明的方法：0A 、；AA 、反证法； 、构造齐次方程组，证明其有非零解；0Ax 、利用秩，证明；( )r An 、证明 0 是其特征值； 2 2、矩矩阵阵 1.是阶可逆矩阵：An （是非奇异矩阵）；0A （是满秩矩阵）( )r An 的行（列）向量组线性无关； A 齐次方程组有非零解；0Ax ，总有唯一解； n bR Axb 与等价； AE 可表示成若干个初等矩阵的乘积； A 的特征值全不为 0； A 是正定矩阵； T A A 的行（列）向量组是的一组基； A n R 是中某两组基的过渡矩阵； A n R 2.对于阶矩阵： 无条件恒无条件恒成立；nA * AAA AA E 3. 1 *
4、111* ()()()()()() TTTT AAAAAA *111 ()()() TTT ABB AABB AABB A 4.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5.关于分块矩阵的重要结论，其中均、可逆：AB 若，则： 1 2 s A A A A 、； 12s AA AA 、； 1 1 1 12 1 s A A A A 、；（主对角分块） 1 1 1 AOAO OBOB 、；（副对角分块） 1 1 1 OAOB BOAO 、；（拉普拉斯） 1 111 1 ACAA CB OBOB 、；（拉普拉斯） 1 1 111 AOAO CBB CAB 3 3、矩矩阵阵的的初初
5、等等变变换换与与线线性性方方程程组组 1.一个矩阵，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：；mnA r m n EO F OO 等价类：所有与等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；A 对于同型矩阵、，若；AB( )( )r Ar BAB 2.行最简形矩阵： 、只能通过初等行变换获得； 、每行首个非 0 元素必须为 1； 、每行首个非 0 元素所在列的其他元素必须为 0； 3.初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换） 、若，则可逆，且；(,)(,) r A EE X A 1 XA 、对矩阵做初等行变化，当变为时，就变成，即：；( ,
6、)A BAEB 1 A B 1 ( ,)(,) c A BE A B 、求解线形方程组：对于个未知数个方程，如果，则可逆，且；nnAxb( , )(, ) r A bE x A 1 xA b 4.初等矩阵和对角矩阵的概念： 、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵； 、，左乘矩阵，乘的各行元素；右乘，乘的各列元素； 1 2 n A i A i A 、对调两行或两列，符号，且，例如：；( , )E i j 1 ( , )( , )E i jE i j 1 11 11 11 、倍乘某行或某列，符号，且，例如：；( ( )E i k 1 1 ( ( )( ( )
7、E i kE i k 11 1 1 (0) 1 1 kk k 、倍加某行或某列，符号,且，如：；( ( )E ij k 1 ( ( )( ()E ij kE ijk 1 11 11(0) 11 kk k 5.矩阵秩的基本性质： 、；0()min(, ) m n r Am n 、；()( ) T r Ar A 、若，则；AB( )( )r Ar B 、若、可逆，则；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）PQ( )()()()r Ar PAr AQr PAQ 、；（）max( ( ), ( )( ,)( )( )r A r Br A Br Ar B 、；（）()( )( )r ABr Ar B 4 、；（）(
8、)min( ( ), ( )r ABr A r B 、如果是矩阵，是矩阵，且，则：（）AmnBns0AB 、的列列向量全部是齐次方程组解（转置运算后的结论）；B0AX 、( )( )r Ar Bn 、若、均为阶方阵，则；ABn()( )( )r ABr Ar Bn 6.三种特殊矩阵的方幂： 、秩为 1 的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）列矩阵（向量）行矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律； 、型如的矩阵：利用二项展开式； 1 01 001 ac b 二项展开式：； 0111111 0 () n nnnmn mmnnnnmmn m nnnnnn m abC aC abC abCa b
9、C bC a b 注：、展开后有项；()nab1n 、 0 (1)(1)! 1 1 2 3!()! mn nnn n nnmn CCC mm nm 、组合的性质：； 11 11 0 2 n mn mmmmrnrr nnnnnnnn r CCCCCCrCnC 、利用特征值和相似对角化： 7.伴随矩阵： 、伴随矩阵的秩：； * ( ) ()1( )1 0( )1 nr An r Ar An r An 、伴随矩阵的特征值：； *1* (,) AA AXX AA AA XX 、 *1 AA A 1 * n AA 8.关于矩阵秩的描述：A 、，中有阶子式不为 0，阶子式全部为 0；（两句话）( )r A
10、nAn1n 、，中有阶子式全部为 0；( )r AnAn 、，中有阶子式不为 0；( )r AnAn 9.线性方程组：，其中为矩阵，则：AxbAmn 、与方程的个数相同，即方程组有个方程；mAxbm 、与方程组得未知数个数相同，方程组为元方程；nAxbn 10. 线性方程组的求解：Axb 、对增广矩阵进行初等行变换（只能使用初等行变换只能使用初等行变换）；B 、齐次解为对应齐次方程组的解； 5 、特解：自由变量赋初值后求得； 11. 由个未知数个方程的方程组构成元线性方程：nmn 、； 11112211 21122222 1122 nn nn mmnmnn a xa xa xb a xa xa
11、xb axaxaxb 、（向量方程，为矩阵，个方程，个未知数） 1112111 2122222 12 n n mmmnmm aaaxb aaaxb Axb aaaxb Amnmn 、（全部按列分块，其中）； 1 2 12n n x x aaa x 1 2 n b b b 、（线性表出） 1122nn a xa xa x 、有解的充要条件：（为未知数的个数或维数）( )( ,)r Ar An n 4、向向量量组组的的线线性性相相关关性性 1.个维列向量所组成的向量组：构成矩阵；mnA 12 , m nm 12 (,) m A 个维行向量所组成的向量组：构成矩阵；mnB 12 , TTT m mn
12、 1 2 T T T m B 含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应； 2.、向量组的线性相关、无关有、无非零解；（齐次线性方程组）0Ax 、向量的线性表出是否有解；（线性方程组）Axb 、向量组的相互线性表示是否有解；（矩阵方程）AXB 3.矩阵与行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组和同解；(例 14) m n A l n B0Ax 0Bx 101 P 4.；(例 15)()( ) T r A Ar A 101 P 5.维向量线性相关的几何意义：n 、线性相关； 0 、线性相关坐标成比例或共线（平行）；, , 、线性相关共面；, , 6.线性相关与无关的两套定理： 6 若线性相关，则必
13、线性相关； 12 , s 121 , ss 若线性无关，则必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶） 12 , s 121 , s 若维向量组的每个向量上添上个分量，构成维向量组：rAnrnB 若线性无关，则也线性无关；反之若线性相关，则也线性相关；（向量组的维数加加减减）ABBA 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定； 7.向量组（个数为）能由向量组（个数为 ）线性表示，且线性无关，则；ArBsArs 向量组能由向量组线性表示，则； AB( )( )r Ar B 向量组能由向量组线性表示AB 有解；AXB( )( ,)r Ar A B 向量组能由向量组等价AB( )( )( ,)r
14、Ar Br A B 8.方阵可逆存在有限个初等矩阵，使；A 12 , l P PP 12l APPP 、矩阵行等价：（左乘，可逆）与同解 r ABPABP0Ax0Bx 、矩阵列等价：（右乘，可逆） ； c ABAQBQ 、矩阵等价：（、可逆） ；ABPAQBPQ 9.对于矩阵与： m n A l n B 、若与行等价，则与的行秩相等；ABAB 、若与行等价，则与同解，与的任何对应的列向量组有相同的线性相关性；AB0Ax 0Bx AB 、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； 、矩阵的行秩等于列秩；A 10. 若，则： m ss nm n ABC 、的列向量组能由的列向量组线性表示，为系数矩阵；CAB
15、、的行向量组能由的行向量组线性表示，为系数矩阵；（转置）CB T A 11. 齐次方程组的解一定是的解， 【考试中可以直接作为定理使用，而无需证明考试中可以直接作为定理使用，而无需证明】0Bx 0ABx 、只有零解只有零解；0ABx 0Bx 、有非零解一定存在非零解；0Bx 0ABx 12. 设向量组可由向量组线性表示为： 12 :, n rr Bb bb 12 :, n ss Aa aa （） 1212 ( ,)(,) rs b bba aaKBAK 其中为，且线性无关，则组线性无关；（与的列向量组具有相同线性相关性）KsrAB()r KrBK 7 （必要性：；充分性：反证法）( )()(), (),()rr Br AKr Kr Krr Kr 注：当时，为方阵，可当作定理使用；rsK 13. 、对矩阵，存在，、的列向量线性无关； m n A n m Q m AQE( )r AmQ 、对矩阵，存在，、的行向量线性无关； m n A n m P n PAE( )r AnP 14.线
