《高中数学数列复习-题型归纳-解题方法整理[整理]》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学数列复习-题型归纳-解题方法整理[整理]（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 数列数列 1、等差数列与等比数列等差数列与等比数列 1.基本量的思想：基本量的思想： 常设首项、 （公差）比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。转化为“基本量”是解决问题的 基本方法。 2.等差数列与等比数列的联系等差数列与等比数列的联系 1 1）若数列是等差数列，则数列是等比数列，公比为，其中是常数，是的公差。 n a n a a d aad n a （a0 且 a1） ； 2 2）若数列是等比数列，且，则数列是等差数列，公差为，其中是常数 n a0 n a loga n alogaqa 且，是的公比。0,1aaq n a 3 3）若既是等差数列又是等比数列,则是非零常数数列。 n
2、 a n a 3.等差与等比数列的比较等差与等比数列的比较 等差数列等比数列 定义 常数）为( 1 daaPAa nnn 常数）为( 1 q a a PGa n n n 通项 公式 n a= 1 a+（n-1）d= k a+（n-k） d=dn+ 1 a-d kn k n n qaqaa 1 1 求和 公式 n d an d d nn na aan s n n ) 2 ( 2 2 ) 1( 2 )( 1 2 1 1 ) 1( 11 )1 ( ) 1( 11 1 q q qaa q qa qna s n n n 中项 公式 A= 2 ba 推广：2 n a= mnmn aa abG 2 。 推广
3、： mnmnn aaa 2 性 质 1 若 m+n=p+q 则 qpnm aaaa若 m+n=p+q，则 qpnm aaaa。 2 2 若 n k成 A.P（其中Nkn）则 n k a也为 A.P。 若 n k成等比数列 （其中Nkn） ， 则 n k a成等比数列。 3 nnnnn sssss 232 , 成等差数列。 nnnnn sssss 232 ,成等比数列。 4 )( 1 1 nm nm aa n aa d nmn 1 1 a a q nn ， m nmn a a q )(nm 4、典型例题分析、典型例题分析 【题型题型 1】 等差数列与等比数列的联系等差数列与等比数列的联系 例例
4、1 （20102010 陕西文陕西文 1616）已知an是公差不为零的等差数列，a11，且 a1，a3，a9成等比数列.（） 求数列an的通项;（）求数列2an的前 n 项和 Sn. 解：解：（）由题设知公差 d0， 由 a11，a1，a3，a9成等比数列得 12 1 d 1 8 12 d d ， 解得 d1，d0（舍去） ， 故an的通项 an1+（n1）1n. ()由（）知2 m a =2n，由等比数列前 n 项和公式得 Sm=2+22+23+2n= 2(1 2 ) 1 2 n =2n+1-2. 小结与拓展：数列小结与拓展：数列是等差数列，则数列是等差数列，则数列是等比数列，公比为是等比数
5、列，公比为，其中，其中是常数，是常数，是是 n a n a a d aad 的公差。的公差。 （a0a0 且且 a1a1）. . n a 【题型题型 2】 与与“前前 n 项和项和 Sn 与通项与通项 an” 、常用求通项公式的结合、常用求通项公式的结合 例例 2 2 已知数列an的前三项与数列bn的前三项对应相同，且 a12a222a32n1an8n 对任意 的 nN*都成立，数列bn1bn是等差数列求数列an与bn的通项公式。 解：解：a12a222a32n1an8n(nN*) 当 n2 时，a12a222a32n2an18(n1)(nN*) 得 2n1an8，求得 an24n， 在中令
6、n1，可得 a18241， an24n(nN*) 由题意知 b18，b24，b32，b2b14，b3b22， 数列bn1bn的公差为2(4)2，bn1bn4(n1)22n6， 3 法一法一（迭代法）迭代法） bnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn1)8(4)(2)(2n8) n27n14(nN*) 法二法二（累加法）累加法） 即 bnbn12n8， bn1bn22n10， b3b22， b2b14， b18， 相加得 bn8(4)(2)(2n8) 8n27n14(nN*) (n1)(42n8) 2 小结与拓展：小结与拓展：1）在数列）在数列aan n 中，前中，前 n n 项和项和 S S
7、n n与通项与通项 a an n的关系为：的关系为： . .是重要考点；是重要考点；2 2）韦达定理应引起重视；）韦达定理应引起重视；3 3）迭代法、累加法及累乘）迭代法、累加法及累乘 )Nn, 2( ) 1( 1 11 nSS nSa a nn n 法是求数列通项公式的常用方法。法是求数列通项公式的常用方法。 【题型题型 3】 中项公式与最值（数列具有函数的性质）中项公式与最值（数列具有函数的性质） 例例 3 （20092009 汕头一模）汕头一模）在等比数列an中，an0 (nN） ，公比 q(0,1)，且 a1a5 + 2a3a5 +a 2a825，a3与 as的等比中项为 2。 （1）
8、求数列an的通项公式；（2）设 bnlog2 an，数列bn的 前 n 项和为 Sn当 12 12 n SSS n 最大时，求 n 的值。 解：解：（1）因为 a1a5 + 2a3a5 +a 2a825，所以， 2 3 a + 2a3a5 + 2 5 a25 又 ano，a3a55 又 a3与 a5的等比中项为 2，所以，a3a54 而 q（0,1） ，所以，a3a5，所以，a34，a51， 1 2 q ，a116，所以， 1 5 1 162 2 n n n a （2）bnlog2 an5n，所以，bn1bn1， 所以，bn是以 4 为首项，1 为公差的等差数列。所以， (9) , 2 n n
9、n S 9 2 n Sn n 所以，当 n8 时， n S n 0，当 n9 时， n S n 0，n9 时， n S n 0， 当 n8 或 9 时， 12 12 n SSS n 最大。 4 小结与拓展：小结与拓展：1 1）利用配方法、单调性法求数列的最值；）利用配方法、单调性法求数列的最值；2 2）等差中项与等比中项。）等差中项与等比中项。 2、数列的前数列的前 n 项和项和 1.前前 n 项和公式项和公式 Sn 的定义：的定义： S Sn=a1+a2+an。 2.数列求和的方法（数列求和的方法（1） （1 1）公式法：）公式法：1）等差数列求和公式；2）等比数列求和公式；3）可转化为等差
10、、等比数列的数列； 4）常用公式: ； 1 n k k 1 2 123(1)nn n ； 2 1 n k k 2222 1 6 123(1)(21)nn nn ； 3 1 n k k 33332 (1) 2 123 n n n 。 1 (21) n k k 2 n1)-(2n.531 （2 2）分组求和法：）分组求和法：把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数 列，然后由等差、等比数列求和公式求解。 （3 3）倒序相加法：）倒序相加法：如果一个数列an，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么 求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法。如：等差数列
11、的前 n 项和即是用此法推导的。 （4 4）裂项相消法：）裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。 适用于其中是各项不为 0 的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。如： 1nna a c n a 1）和（其中等差）可裂项为：；2） 1 1 nn aa 1 1 nn aa n a 11 1111 () nnnn aad aa 。 （根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消（根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消 求和）求和） 1 1 11 () nn nn aa daa 常见裂项公式常见裂项公式： （1）； 111 (1)1n nnn
12、（2）； 11 11 () () n nkknnk （3）； 1111 (1)(1)2(1)(1)(2) n nnn nnn （4） 11 (1)!(1)! n nnn 5 （5）常见放缩公式：. 212 11 11 2()2()nnnn nnnnn 3.典型例题分析典型例题分析 【题型题型 1】 公式法公式法 例例 1 等比数列的前项和 S2p，则_. n a 22 3 2 2 2 1n aaaa 解：解：1）当 n=1 时，；p-2a1 2）当时，。2n 1 -n1 -nn 1 -nnn 2p)-(2-p)-(2S-Sa 因为数列为等比数列，所以 n a1p12p-2a 1 - 1 1 从
13、而等比数列为首项为 1，公比为 2 的等比数列。 n a 故等比数列为首项为 1，公比为的等比数列。 2 n a4q 2 1)-(4 3 1 4-1 )4-1(1 n n 22 3 2 2 2 1 n aaaa 小结与拓展：小结与拓展：1）等差数列求和公式；2）等比数列求和公式；3）可转化为等差、等比数列 的数列；4）常用公式:（见知识点部分） 。5）等比数列的性质：等比数列的性质：若数列为等比数列， n a 则数列及也为等比数列，首项分别为、，公比分别为、。 2 n a n a 1 2 1 a 1 a 1 2 q q 1 【题型题型 2】 分组求和法分组求和法 例例 2 2 （2010201
14、0 年丰台期末年丰台期末 1818）数列中，且点在函数的 n a 1 1a 1 (, ) nn aa ()n N( )2f xx 图象上.（）求数列的通项公式；（）在数列中，依次抽取第 n a n a 3，4，6，项，组成新数列，试求数列的通项及前项和. 1 22 n n b n b n bn n S 解：解：（）点在函数的图象上，。 1 (, ) nn aa ( )2f xx 1 2 nn aa ，即数列是以为首项，2 为公差的等差数列， 1 2 nn aa n a 1 1a 。1 (1) 221 n ann （）依题意知： 1 1 22 2(22) 123 n nn n ba 6 =. 1
15、2nn Sbbb 11 (23)23 nn ii ii n 1 1 22 3232 1 2 n n nn 小结与拓展：小结与拓展：把数列的每一项分成多个项，再把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列， 然后由等差、等比数列求和公式求解。 【题型题型 3】 裂项相消法裂项相消法 例例 3 3 （20102010 年东城二模年东城二模 1919 改编）改编）已知数列 n a的前n项和为 n S， 1 1a ， 1 41 nn Sa ，设 1 2 nnn baa （）证明数列 n b是等比数列； （）数列 n c满足 2 1 log3 n n c b * ()nN，求 1 22 33 41nnn Tc cc cc cc c 。 证明：证明：（）由于 1 41 nn Sa ， 当2n 时， 1 41 nn Sa 得 11 44 nnn aaa 所以 11 22(2) nnnn aaaa 又 1 2 nnn baa ， 所以 1 2 nn bb 因为 1 1a ，且 121 41aaa，所以 21 314aa 所以 121 22baa故数列 n b是首项为2，公比为2的等比数列
