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1、1 高中数学基本不等式的巧用高中数学基本不等式的巧用 1基本不等式： ab ab 2 (1)基本不等式成立的条件：a0，b0. (2)等号成立的条件：当且仅当 ab 时取等号 2几个重要的不等式 (1)a2b22ab(a，bR)；(2) 2(a，b 同号)；(3)ab 2(a，bR)； b a a b ( ab 2 ) (4) 2(a，bR) a2b2 2 ( ab 2 ) 3算术平均数与几何平均数 设 a0，b0，则 a，b 的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两 ab 2ab 个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数 4利用基本不等式求最值问题 已知 x0，y0，则 (1)如
2、果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最小值是 2.(简记：积定和最小) p (2)如果和 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最大值是.(简记：和定积最大) p2 4 一个技巧 运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如 a2b22ab 逆用就是 ab；(a，b0)逆用就是 ab 2(a，b0)等还要注意“添、拆项” a2b2 2 ab 2ab ( ab 2 ) 技巧和公式等号成立的条件等 两个变形 (1) 2ab(a，bR，当且仅当 ab 时取等号)； a2b2 2 ( ab 2 ) (2) (a0，b0，当且仅当 ab 时取等号) a2b
3、2 2 ab 2ab 2 1 a 1 b 这两个不等式链用处很大，注意掌握它们 2 三个注意 (1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽 视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可 (2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆” “拼” “凑”等技巧，使其满足基本不等式中 “正” “定” “等”的条件 (3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致 应用一：求最值应用一：求最值 例 1：求下列函数的值域 （1）y3x 2 （2）yx 1 2x 2 1 x 解题技巧：解题技巧： 技巧一：凑项技巧一：凑项 例 1：已知，求函数
4、的最大值。 5 4 x 1 42 45 yx x 技巧二：凑系数技巧二：凑系数 例 1. 当时，求的最大值。(82 )yxx 技巧三技巧三： 分离分离 例 3. 求的值域。 2 710 (1) 1 xx yx x 。 技巧四技巧四：换元：换元 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数的单调性。的单调性。( ) a f xx x 例：求函数的值域。 2 2 5 4 x y x 练习求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. （1） （2） (3) 2 31,( 0) xx yx x 1 2,
5、3 3 yxx x 1 2sin,(0, ) sin yxx x 2已知，求函数的最大值.；3，求函数的最大值.01x(1)yxx 2 0 3 x(2 3 )yxx 条件求最值条件求最值 1.若实数满足，则的最小值是 .2ba ba 33 变式：若，求的最小值.并求x,y的值 44 loglog2xy 11 xy 技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。 。 3 2：已知，且，求的最小值。0,0 xy 19 1 xy xy 变式： （1）若且，求的最小值 Ryx,
6、12 yx yx 11 (2)已知且，求的最小值 Ryxba, 1 y b x a yx 技巧七、已知技巧七、已知x x，y y为正实数，且为正实数，且x x 2 21 1，求，求x x的最大值的最大值. . y y 2 2 2 21 1y y 2 2 技巧八：已知技巧八：已知a a，b b为正实数，为正实数，2 2b bababa a3030，求函数，求函数y y的最小值的最小值. . 1 1 a ab b 技巧九、取平方技巧九、取平方 5、已知x，y为正实数，3x2y10，求函数W的最值. 3x2y 应用二：利用基本不等式证明不等式应用二：利用基本不等式证明不等式 1已知为两两不相等的实数
7、，求证：cba,cabcabcba 222 1）正数a，b，c满足abc1，求证：(1a)(1b)(1c)8abc 例 6：已知a、b、c，且。求证：R1abc 111 1118 abc 应用三：基本不等式与恒成立问题应用三：基本不等式与恒成立问题 例：已知且，求使不等式恒成立的实数的取值范围。0,0 xy 19 1 xy xymm 应用四：均值定理在比较大小中的应用：应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例：若，则的大小关系是 .) 2 lg(),lg(lg 2 1 ,lglg, 1 ba RbaQbaPba RQP, 解：（1）y3x 22 值域为，+） 1 2x 266 （2）当x0 时
8、，yx 22； 1 x 4 当x0 时， yx = （ x ）2=2 1 x 1 x 值域为（，22，+） 解：因，所以首先要“调整”符号，又不是常数，所以对要进行拆、凑450 x 1 (42) 45 x x 42x 项， ， 5 ,540 4 xx 11 42543 4554 yxx xx 231 当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。 1 54 54 x x 1x 1x max 1y 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 解析：由知，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式 子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即2(82
9、 )8xx(82 )yxx 可。 当，即x2 时取等号 当x2 时，的最大值为 8。(82 )yxx 评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大 值。 解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x1）的项，再将其分离。 当,即时,（当且仅当x1 时取“”号） 4 21)59 1 yx x （ 解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x1，化简原式在分离求最值。 22 (1)7(1 +10544 =5 tttt yt ttt ） 当,即t=时,（当t=2 即x1 时取“”号）。 4 259yt t 评注：分式函数求最值
10、，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求 最值。即化为，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求( )(0,0) ( ) A ymg xB AB g x 最值。 解：令，则 2 4(2)xt t 2 2 5 4 x y x 2 2 11 4(2) 4 xtt t x 因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。 1 0,1tt t 1 t t 1t 2, 因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故。 1 yt t 1,2, 5 2 y 所以，所求函数的值域为。 5 , 2 5 分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且定值，因此考虑利用均值定理
11、求最小值， ba 33 解： 都是正数， ba 33 和 ba 33 632332 baba 当时等号成立，由及得即当时，的最小值是 ba 33 2ba ba 33 1 ba1 ba ba 33 6 错解错解：，且， 故 0,0 xy 19 1 xy 199 2212xyxyxy xyxy min12xy 。 错因：解法中两次连用基本不等式，在等号成立条件是，在等号成立2xyxyxy 199 2 xyxy 条件是即,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等式处理问题时，列 19 xy 9yx 出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。 正解正解：， 19 0
12、,0,1xy xy 199 106 1016 yx xyxy xyxy 当且仅当时，上式等号成立，又，可得时， 。 9yx xy 19 1 xy 4,12xymin16xy 分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab。 a 2b 2 2 同时还应化简中y2前面的系数为 ， xx x 1y 2 1 21y 22 下面将x，分别看成两个因式： x 即xx 3 41y 22 3 42 分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单 调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本二是直接用基本不等式
13、，对本题来说，因已 知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解 不等式的途径进行。 法一：a， abb 302b b1 302b b1 2 b 230b b1 由a0 得，0b15 令tb+1，1t16，ab2（t）34t28 2t 234t31 t 16 t 16 t ab18 y 当且仅当t4，即b3，a6 时，等号成立。 1 18 法二：由已知得：30aba2b a2b2 30ab2 2 ab2 ab 令u则u22u300， 5u3 ab222 3，ab18，y ab2 1 18 点评：本题考查不等式 6 的应用、不等式的解法及运算能力；如
14、何由已知不等式ab ba 2 ）（ Rba,230abab 出发求得的范围，关键是寻找到之间的关系，由此想到不等式）（ Rba,ababba与ab ba 2 ，这样将已知条件转换为含的不等式，进而解得的范围.）（ Rba,abab 变式：1.已知a0，b0，ab(ab)1，求ab的最小值。 2.若直角三角形周长为 1，求它的面积最大值。 解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，本题很简单 ab 2 a 2b 2 2 2 3x2y223x2y5 解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向 “和为定值”条件靠拢。 W0，W23x2y210210
15、()2()2 10(3x2y)20 3x2y3x2y3x2y W2 205 变式: 求函数的最大值。 15 2152 () 22 yxxx 解析：注意到与的和为定值。21x52x 22 ( 2152 )42 (21)(52 )4(21)(52 )8yxxxxxx 又，所以0y 02 2y 当且仅当=，即时取等号。 故。21x52x 3 2 x max 2 2y 评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件。 总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧， 积极创造条件利用基本不等式。 分析：不等式右边数字 8，使我们联想到
16、左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，又 ，可由此变形入手。 112 1 abcbc aaaa 解：a、b、c，。同理，R1abc 112 1 abcbc aaaa 12 1 ac bb 。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得 12 1 ab cc 。当且仅当时取等号。 111222 1118 bcacab abcabc 1 3 abc 解：令，,0,0,xyk xy 19 1 xy 99 1. xyxy kxky 109 1 yx kkxky 。 ， 103 12 kk 16k,16m 分析： 1 ba0lg, 0lgba （ 2 1 Qpbabalglg)lglg 7 RQP。Qabab ba R lg 2 1 lg) 2 lg(
