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1、中考数学压轴题汇编 3、 （福建龙岩） 如图，抛物线 2 54yaxax经过ABC的三个顶点， 已知BCx 轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且ACBC （1）求抛物线的对称轴； （2）写出ABC， ，三点的坐标并求抛物线的解析式； （3）探究：若点 P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在PAB 是等腰 三角形若存在，求出所有符合条件的点 P坐标；不存在，请说明理由 解： （1）抛物线的对称轴 55 22 a x a 2 分 （2）( 3 0)A，(5 4)B，(0 4)C， 5 分 把点A坐标代入 2 54yaxax中，解得 1 6 a 6 分 215 4 66 yxx 7 分 （3）
2、 存在符合条件的点P共有 3 个 以下分三类情形探索 设抛物线对称轴与x轴交于N，与CB交于M 过 点B作BQx轴 于Q， 易 得4BQ，8AQ， 5.5AN， 5 2 BM 以 AB为腰且顶角为角A的PAB有 1 个： 1 PAB A C B y x 0 1 1 A x 0 1 1 2 P 1 P 3 P y 22222 8480ABAQBQ 8 分 在 1 RtANP中， 22222 11 199 80(5.5) 2 PNAPANABAN 1 5199 22 P ， 9 分 以AB为腰且顶角为角B的PAB有 1 个： 2 P AB 在 2 RtBMP中， 2222 22 25295 80
3、42 MPBPBMABBM10 分 2 5 8295 22 P ，11 分 以AB为底，顶角为角 P的PAB 有 1 个，即 3 P AB 画AB的垂直平分线交抛物线对称轴于 3 P，此时平分线必过等腰ABC的顶点C 过点 3 P作 3 P K垂直y轴，垂足为K，显然 3 RtRtPCKBAQ 31 2 P KBQ CKAQ 3 2.5P KQ5CK于是1OK13 分 3(2.5 1)P，14 分 注：第（ 3）小题中，只写出点 P的坐标，无任何说明者不得分 5、 （甘肃陇南）如图，抛物线 2 1 2 yxmxn交x轴于A、B两点，交 y 轴于点C，点P 是它的顶点，点A的横坐标是3，点B的横
4、坐标是1 (1) 求m、n的值； (2 ）求直线PC的解析式； (3 ）请探究以点A为圆心、直径为5 的圆与直线 PC的位置关系，并说明理由( 参考数：21.41，31.73，52.24) 解： (1) 由已知条件可知：抛物线 2 1 2 yxmxn经过A(-3 ，0) 、B(1 ，0) 两点 9 03, 2 1 0. 2 mn mn 2分 解得 3 1, 2 mn3分 (2) 2 13 22 yxx ， P(-1 ，-2) ，C 3 (0,) 2 4分 设直线PC的解析式是ykxb，则 2, 3 . 2 kb b 解得 13 , 22 kb 直线PC的解析式是 13 22 yx6分 说明：只
5、要求对 13 22 kb， ，不写最后一步，不扣分 (3) 如图，过点A作AEPC，垂足为E 设直线PC与x轴交于点D，则点D的坐标为 (3 ，0) 7分 在 RtOCD中， OC= 3 2 ， 3OD ， 2233 ( )35 22 CD8 分 OA=3，3OD，AD=69 分 COD=AED=90 o， CDO公用， CODAED 10 分 OCCD AEAD ， 即 33 5 22 6AE 6 5 5 AE11 分 6 52.6882.5 5 ; ， 以点A为圆心、直径为5 的圆与直线PC相离 12 分 7、 （河南）如图，对称轴为直线x 2 7 的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）
6、 （1）求抛物线解析式及顶点坐标； （2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对 角线的平行四边形，求四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取 值范围； （3）当四边形OEAF的面积为24 时，请判断OEAF是否为菱形？ 是否存在点E，使四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请 说明理由 O E F x= 7 2 B(0,4) A(6,0) x y 9、 （湖北荆门）如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O(0 ，0)， A(4 ，0)，C(0 ， 3)，点P是OA边上的动点 ( 与点O、A不重合
7、 ) 现将PAB沿PB翻折， 得到PDB；再在OC边上选取适当的点E，将POE沿PE翻折， 得到PFE，并使直线PD、 PF重合 (1) 设P(x， 0)，E(0 ，y) ，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值； (2) 如图 2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式； (3) 在 (2) 的情况下， 在该抛物线上是否存在点Q，使PEQ是以PE为直角边的直角三 角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标 解： (1) 由已知PB平分APD，PE平分OPF， 且PD、PF重 合 ， 则 BPE=90 OPE APB=90又APBABP=90， OPE=PBA R
8、tPOERtBPA2 分 POBA OEAP 即 3 4 x yx y= 2 114 (4) 333 xxxx(0 x 4) 且当x=2 时，y有最大值 1 3 4 分 (2) 由已知，PAB、POE均为等腰三角形，可得P(1，0) ，E(0 ，1) ，B(4，3) 6 分 设过此三点的抛物线为y=ax 2 bxc，则 1, 0, 1643. c abc abc 1 , 2 3 , 2 1. a b c y= 213 1 22 xx8 分 图 1 F E P D y x B A C O 图 2 O C A B x y D P E F (3) 由 (2) 知EPB=90，即点Q与点B重合时满足条件9 分 直线PB为y=x1，与y轴交于点 (0 ， 1) 将PB向上平移 2 个单位则过点E(0 ，1) ， 该直线为y=x 110 分 由 2 1, 13 1, 22 yx yxx 得 5, 6. x y Q(5，6) 故该抛物线上存在两点Q(4 ，3)、 (5 ，6)满足条件12 分 y x NH D P Q E M C B AO
