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1、二、由参数方程所确定的函数的导数,一、隐函数的导数,2.4隐函数和参数方程求导,三、相关变化率,一、隐函数的导数,显函数与隐函数 形如yf(x)的函数称为显函数 例如 ysin x yln xex 都是显函数 由方程F(x y)0所确的函数称为隐函数,把一个隐函数化成显函数 叫做隐函数的显化,例如 方程xy310确定的隐函数为,隐函数的求导法 把方程两边分别对x求导数 然后从所得的新的方程中把隐函数的导数解出.,例1 求由方程eyxye0所 确定的隐函数y的导数,(ey)(xy)(e)(0),即 eyyy+xy0,方程中每一项对x求导得,解,例2 求由方程y52yx3x70 所确定的隐函数yf
2、(x)在 x0处的导数y|x0,因为当x0时 从原方程得 y0 所以,5y4y2y121x60,方程两边分别对x求导数得,解,例3. 求椭圆,在点,处的切线方程.,解: 椭圆方程两边对 x 求导,故切线方程为,即,解,上式两边再对x求导 得,方程两边对x求导 得,y f(x)ln f(x) 对数求导法适用于求幂指函数yu(x)v(x)的导数及多因子之积和商的导数,此方法是先在yf(x)的两边取对数 然后用隐函数求导法求出y的导数,设yf(x) 两边取对数 得 ln yln f(x) 两边对x 求导 得,对数求导法,例5 求yx sin x (x0)的导数,解法二,这种幂指函数的导数也可按下面的
3、方法求.,解法一,上式两边对x 求导 得,两边取对数 得,ln ysin xln x,yx sin xe sin xln x ,上式两边对x求导 得,说明 严格来说 本题应分x4 x1 2x3三种情况讨论 但结果都是一样的,例6,先在两边取对数 得,解,设xj(t)具有反函数tj-1(x) 且tj-1(x)与yy(t)构成复合函数yyj-1(x) 若xj(t)和yy(t)都可导 则,二、由参数方程所确定的函数的导数,解,再求速度的方向 设a是切线的倾角 则轨道的切线方向为,于是抛射体在时刻 t 的运动速度的大小为,x (t)=v1,y(t)=v2-gt,速度的水平分量与铅直分量分别为,先求速度
4、的大小,解,讨论: 已知xj(t), yy(t) 如何求y对x的二阶导数y?,例9. 设,求,例10. 设, 且,求,解:,解:,的函数yf(x)的二阶导数,解,(t2np n为整数),三、相关变化率,为两可导函数,之间有联系,之间也有联系,称为相关变化率,相关变化率问题解法:,找出相关变量的关系式,对 t 求导,得相关变化率之间的关系式,求出未知的相关变化率,例12. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,其速率为,当气球高度为 500 m 时, 观察员,视线的仰角增加率是多少?,解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 ,则,两边对 t 求导,已知,h = 500m 时,作业：p-111 习题2-4,1(1) , (4) ; 2 ; 3 (3) , (4) ; 4 (2) , (4); 5 (2) ; 7 (2) ; 8 (2) ,(4) ; 9 (2) ; 10 ; 12,
