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1、第六讲 von Neumann-Morgenstern 期望效用函数,金融经济学第六讲,2,金融经济学第六讲,3,金融经济学第六讲,4,金融经济学第六讲,5,6.1 “圣彼德堡悖论”的讨论,金融经济学第六讲,6,概率论的早期历史,Jacob Bernoulli (1654-1705),1713 年发表猜度术 (Ars Conjectandi)。这是当时最重要、最有原创性的概率论著作。由此引起所谓“圣彼德堡悖论”问题。,金融经济学第六讲,7,“圣彼德堡悖论”问题,有这样一场赌博：第一次赢得 1 元，第一次输第二次赢得 2 元，前两次输第三次赢得 4 元，一般情形为前 n-1 次输，第 n 次赢得
2、 元。问：应先付多少钱，才能使这场赌博是“公平”的？ 如果用数学期望来定价，答案将是无穷！,金融经济学第六讲,8,金融经济学第六讲,9,“圣彼德堡悖论”的金融学含义,“倍赌策略”是一种“套利策略”。在一个有等价概率鞅测度的“二叉树”“存贷赌博”市场上，采用“倍赌策略”，如果允许无限借贷和无限次赌博，那么其“赢钱概率”为 1。 它可以作为某些股票在一定时期内会“疯涨”的理由。,金融经济学第六讲,10,“圣彼德堡悖论”,1738 年发表对机遇性赌博的分析提出解决“圣彼德堡悖论”的“风险度量新理论”。指出用“钱的数学期望”来作为决策函数不妥。应该用“钱的函数的数学期望”。,Daniel Bernou
3、lli （1700-1782),金融经济学第六讲,11,金融经济学第六讲,12,6.2 von Neumann-Morgenstern 期望效用函数的公理化陈述,金融经济学第六讲,13,金融经济学第六讲,14,期望效用函数,1944 年在巨著对策论与经济行为中用数学公理化方法提出期望效用函数。这是经济学中首次严格定义风险。,John von Neumann (1903-1957),Oskar Morgenstern (1902-1977),金融经济学第六讲,15,用期望效用函数来刻划风险,所谓期望效用函数是定义在一个随机变量集合上的函数，它在一个随机变量上的取值等于它作为数值函数在该随机变量上
4、取值的数学期望。用它来判断有风险的利益，那就是比较“钱的函数的数学期望”。 假定 (x,y,p) 表示以概率 p 获得 x, 以概率 (1-p) 获得 y 的机会，那么其期望效用函数值为 u(x,y,p)=pu(x)+(1-p)u(y).,金融经济学第六讲,16,一个简化的公理体系,公理 1 “不确定利益”是随机变量所构成的一个集合 L ，并且对于任何两个“不确定利益” x,y 来说，“以概率 p 获得 x,以概率 1-p 获得 y” 也是“不确定利益”。这一“不确定利益”可称为 x 以概率 p 与 y 的“平均”，并记为(x,y;p). 公理 2 任何两个“不确定利益”都可比较好坏。 公理
5、3 “不确定利益”中有一个最好的以及一个最差的。,金融经济学第六讲,17,一个简化的公理体系 (续),公理 4 如果有三个“不确定利益”一个比一个好，那么处于中间的 “不确定利益”相当于另外两个“不确定利益”的对某个概率的“平均” 。反之，两个“不确定利益”的对某个概率的“平均” 的好坏必处于两者之间。 假定 b “最好”，w “最坏”。那么任何 x 一定相当于 b 关于概率 p 与 w 的“平均”。取 u(x)=p, 即得所求期望效用函数。,金融经济学第六讲,18,金融经济学第六讲,19,金融经济学第六讲,20,金融经济学第六讲,21,金融经济学第六讲,22,金融经济学第六讲,23,金融经济
6、学第六讲,24,金融经济学第六讲,25,期望效用函数的争论,期望效用函数似乎是相当人为、相当主观的概念。一开始就受到许多批评。其中最著名的是“ Allais 悖论” (1953)。 由此引起许多非期望效用函数的研究，涉及许多古怪的数学。但都不很成功。,Maurice Allais (1911-) 1986 年诺贝尔经济奖获得者。,金融经济学第六讲,26,6.3 Allais 悖论和 Kahneman-Tversky 的研究,金融经济学第六讲,27,金融经济学第六讲,28,金融经济学第六讲,29,金融经济学第六讲,30,金融经济学第六讲,31,金融经济学第六讲,32,Kahneman-Tvers
7、ky 理论,Daniel Kahneman, (1934-) 2002 年诺贝尔经济学奖获得者,Kahneman 与 Amos Tversky, (1937-1996) 两位心理学家于 1979 年发表的论文“展望理论 (Prospect Theory)”已成为计量经济学 (Econometrica)有史以来被引证最多的经典。他们企图改变期望效用函数理论框架。,金融经济学第六讲,33,Kahneman 诺贝尔演说的问题,问题 1. 假设有一场这样的赌博：你赢 150 元的概率是 50%, 而你输 100 元的概率也是 50%. 你能接受这样的赌博吗？如果你身边的钱少于 100 元，你是否会改变
8、你的决定？ 调查结果是：除非把所赢的钱提高到 200 元以上，绝大多数的人都不接受这样的赌博，只有少数人接受这样的赌博。但对于后一种情况，所有人都不接受。,金融经济学第六讲,34,Kahneman 诺贝尔演说的问题,问题 2. 现在有这样两种情况：一种情况是肯定损失 100 元；另一种情况是参加这样的赌博：你赢 50 元的概率是 50%, 而你输 200 元的概率也是 50%. 对于这样的两种情况你选择哪一种？如果你身边的钱多于 100 元，你是否会改变你的决定？ 调查结果是绝大多数的人选择赌博，即使身边有多于 100 元的钱也并没有多大影响。,金融经济学第六讲,35,金融经济学第六讲,36,
9、金融经济学第六讲,37,金融经济学第六讲,38,金融经济学第六讲,39,金融经济学第六讲,40,金融经济学第六讲,41,金融经济学第六讲,42,6.4 Arrow-Pratt 风险厌恶度量,金融经济学第六讲,43,有风险与无风险之间的比较,机会 (x,y,p) 与肯定得到 px+(1-p)y 之间的利益比较就是比较 u(x,y,p)=pu(x)+(1-p)u(y) 与 u(px+(1-p)y) 之间的大小。如果它们相等，表示对风险中性 (不在乎)；一般取 表示对风险爱好。 把 u 理解为“定价”，这就是“非线性定价”与“P-F 线性定价”之间的比较。,金融经济学第六讲,44,金融经济学第六讲,
10、45,Arrow-Pratt 风险厌恶度量,这就归结为函数 u 的凸性的比较。它的程度可用 u/u 来度量。它由 Arrow (1965) 和 Pratt (1964) 所提出。,金融经济学第六讲,46,金融经济学第六讲,47,金融经济学第六讲,48,金融经济学第六讲,49,金融经济学第六讲,50,金融经济学第六讲,51,金融经济学第六讲,52,金融经济学第六讲,53,6.5 若干典型期望效用函数,金融经济学第六讲,54,金融经济学第六讲,55,金融经济学第六讲,56,6.6 随机占优的概念,金融经济学第六讲,57,金融经济学第六讲,58,金融经济学第六讲,59,金融经济学第六讲,60,金融经济学第六讲,61,金融经济学第六讲,62,金融经济学第六讲,63,金融经济学第六讲,64,金融经济学第六讲,65,金融经济学第六讲,66,
