误差传播定律-

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1、第五章 测量误差的基本知识,测量误差概述 衡量精度的标准 误差传播定律及其应用 等精度观测值的算术平均值及精度评定,5-1 测量误差概述,误差的概念及来源 误差：对于某一个客观存在的量，尽管采用了比较精密的仪器和合理的观测方法，测量人员工作的态度也很认真负责，但多次测量的结果观测值与观测值之间，或观测值与理论值（真值）之间总是存在差异，这种不可避免的差异叫做误差， 。 仪器误差：由于仪器设计、制作不完善，或经检验校正还存在残余误差，给观测值带来的误差。 人为误差：由于人的感觉器官鉴别能力的限制，技术水平的高低和工作态度的好坏，给观测值带来的误差。 外界条件的影响：由于测量时外界自然条件如温度、

2、湿度、风力等的变化，给观测值带来的误差。 观测条件 等精度观测与非等精度观测,误差的分类,系统误差 在相同的观测条件下进行一系列的观测，如果误差出现的符号和大小具有确定性的规律，这种误差称为系统误差。 系统误差具有累积性。可以在观测前采取有效的预防措施、观测时采用合理的方法，观测后对观测结果进行必要的计算改正，来尽量消除或减小系统误差的影响。 偶然误差 在相同的观测条件下进行一系列的观测，如果单个误差出现的符号和大小都表现出偶然性，但多次观测的误差总体上具有一定的统计规律性，这种误差称为偶然误差。 任何观测值都会包含系统误差和偶然误差，有时还包含粗差（错误）。 当观测值中的粗差被剔除，系统误差

3、被消除或削弱到最小限度，可以认为观测值中仅含偶然误差，从而把观测值和偶然误差都当作随机变量，用概率统计的方法来研究。,偶然误差的分布,一定的观测条件，对应着一个确定的误差分布。 偶然误差服从数学期望为0的正态分布，即 。,偶然误差的统计特性,在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值超过一定限度的概率为0； 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大； 绝对值相等的正误差与负误差出现的概率相等； 当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值趋近于零。,5-2 衡量精度的标准,中误差：在测量工作中，用来反映误差分布的密集程度的量，其大小为该组观测值所对应的标准差的近似值。 由真误差计算中误差的公式 容许

4、误差：测量中规定的误差的限值，通常取中误差的三倍或两倍作为限差。 相对误差：中误差与观测值的比值，并将分子化作1。,5-3 误差传播定律及其应用,误差传播定律 解决如何根据观测值的中误差，求得观测值函数的中误差。 线性函数的误差传播定律 非线性函数的误差传播定律 误差传播定律在测量上应用举例 水准测量的精度 距离测量的精度 水平角测量的精度 根据实际要求确定观测精度和观测方法,误差传播定律（线性函数）,设t个独立观测值的线性函数 则有 假若对该组观测值进行n次观测，有 将上列n个式子平方后求和，得 其中 有,误差传播定律（线性函数）,两种特殊情况 （1）设Z是一组同精度独立观测值的代数和，该组

5、观测值的中误差均为m，即 则 （2）对某量同精度观测n次，算术平均值为 设一次观测的中误差为m, 则,误差传播定律（非线性函数）,设t个独立观测值的非线性函数 对该式求全微分，并用真误差代替微分量，有 再利用线性函数的误差传播定律公式，可得,误差传播定律（非线性函数）,设沿倾斜面上A、B两点间量得距离 ，并测得两点之间的高差 。 试求水平距离 及其中误差 。 解： 对 求全微分，得 于是 即 。,误差传播定律（非线性函数）,设对下图中的三角形测得 ， ； 试求 边的长度及其中误差 。 解： 为便于对 求全微分，先对其取自然对数，得 ，然后对上式求全微分，有 统一单位后 ，则有 即 。,运用误差

6、传播定律的方法,（1）建立函数 （2）对于独立观测值的线性函数，可直接应用误差传播定律公式；若自变量中有非独立观测值，应变换成独立观测值的线性函数后，才能应用误差传播定律。 （3）对非线性函数，必须先求其全微分化成线性形式。 （4）连乘连除的非线性函数，可先取对数，再求全微分。 （5）注意统一单位。,误差传播定律在测量上应用举例,（1）水准测量的精度 设A、B两水准点间的高差h施测了n个测站，则 若各测站观测的精度相同，其中误差均为 ，则 。 设各测站的S大致相等，A、B间的距离为L，则测站数 如果L、S均以千米为单位，则 为一千米观测高差的中误差，令 则有,误差传播定律在测量上应用举例,（2

7、）距离丈量的精度 若用长度为l的钢尺量距，连续丈量n个尺段，设全长为D，则 设每尺段的量距中误差为 则 其中 是定值，为单位长度的量距中误差。 即,误差传播定律在测量上应用举例,(3)水平角测量的精度 J6级经纬仪一测回方向中误差为 角值是两个方向值之差，故一测回角值中误差为 设n边形各内角均观测一测回，其闭合差为 n边形闭合差的中误差为 取三倍中误差为容许误差，则多边形闭合差的容许误差为 一般取 或 。,误差传播定律在测量上应用举例,（4）根据实际要求确定观测精度和观测方法 设对某三角形观测了 及 ，若 角以3的精度观测，为使 角的中误差 5，问 应以怎样的精度进行观测？若使用J6级经纬仪应

8、测几测回？ 解： 根据误差传播定律，有 所以 J6级经纬仪一测回测角中误差为8.5， 若观测n个测回， 角平均值的中误差为 则有 即 角应测5测回。,5-4 等精度观测值的算术平均值及其精度评定,算术平均值 算术平均值的中误差 观测值的中误差 由观测值的真误差计算中误差 改正数的概念 由观测值的改正数计算中误差 实例,算术平均值及其中误差,算术平均值 设在相同的观测条件下对某量进行n次独立观测，则观测值的真误差为 。 将上式求和后除以n，得 ， 即 其中， 称为观测值的算术平均值。 当观测次数n趋近于无穷大时，观测值的算术平均值的极限就是该量的真值。所以，算术平均值又叫做最或然值或最可靠值。 算术平均值的中误差,观测值的中误差,由观测值的真误差计算中误差 （1） 其中 （2） 改正数的概念 （3） 由观测值的改正数计算中误差 （2）+（3），得 令算术平均值的真误差为 （4） 则有 （5）,观测值的中误差,由（3）可知（5）中 所以有 而 当n无限增大时，上式右端第二项趋于零，于是有 由改正数计算观测值的中误差,实例,设对某角同精度观测6测回，观测值见下表。试求该角的最或然值、观测值中误差和最或然值中误差。（计算在表格中进行，注意检核。）,