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1、备战中考初中数学导练学案50 讲 第 13 讲二次函数（暂不涉及复杂综合题） 【疑难点拨】 1. 把握不好抛物线与表达式的关系，从而出错. 主要表现为以下几点： （1）据抛物线的特征，判断yax2bxc（a0）的系数a、b、c 的符号容易混 淆； （2）关于二次函数的增减性和抛物线的对称性的题，由于同一个二次函数的增减性 也要以抛物线对称轴为分界线进行分类讨论，相对难度较大，有的同学容易出现错误， 还有就是“关于抛物线的对称轴对称”的抛物线上的点的特征，有的同学则把握不好； （3）由抛物线的平移造成表达式变化的题，也是同学们经常出错的地方. 求二次函数的表达式的方法很多，可以设成一般式y ax
2、2bxc（a0） ，顶点式 ya（xh）2 k（a0）和交点式ya（xx1） （ xx2） （a0） . 2. 许多同学因为不能灵活地选择求二次函数表达式的方式，导致解答费时费力，还 容易出错 . 3. 忽视自变量的实际取值范围而出错. 在利用二次函数知识解决生活中的“最大利润”和几何图形的最大面积等问题时， 利用二次函数表达式求抛物线的顶点坐标来解决问题成了部分同学的思维定式，却很少 考虑这些最大（小）值是否符合实际情况和题目要求，导致出错. 【基础篇】 一、选择题： 1.关于函数 y=2x 24x，下列叙述中错误的是（ ） A函数图象经过原点 B函数图象的最低点是（1， 2） C函数图象与
3、x 轴的交点为（ 0，0） ， （2，0） D当 x0 时， y 随 x 的增大而增大 2.（2018台湾分）已知坐标平面上有一直线L，其方程式为y+2=0，且 L 与二次函数y=3x 2+a 的 图形相交于A，B两点： 与二次函数y=2x 2+b 的图形相交于 C，D两点， 其中 a、b 为整数 若 AB=2 ， CD=4 则 a+b 之值为何？（） A1 B9 C16 D24 3.（2018?四川成都 ?3 分）关于二次函数，下列说法正确的是（） A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在轴的右侧 C. 当时，的值随值的增大而减小D. 的最小值为 -3 4. （2018?山东菏泽?
4、3 分）已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则一次函数 y=bx+a 与反比例 函数 y=在同一平面直角坐标系中的图象大致是（） ABCD 5.（2018?山东滨州? 3 分）如图，若二次函数y=ax 2+bx+c（a 0）图象的对称轴为 x=1，与 y 轴交于 点 C，与 x 轴交于点A、点 B（ 1，0） ，则 二次函数的最大值为a+b+c； ab+c0； b 24ac0； 当 y0 时， 1x3，其中正确的个数是（） A1 B2 C3 D4 二、填空题： 6.（2018广东广州 3 分）已知二次函数，当 x0 时， y 随 x 的增大而 _（填“增 大”或“减小”） 7.
5、 （2018 四川自贡 4 分） 若函数 y=x 2+2xm的图象与 x 轴有且只有一个交点，则 m的值为 8. (2018 四川省绵阳市) 右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m ，水面下降2m ，水面 宽度增加 _m 。 三、解答与计算题： 9.某商人将进价为每件8 元的某种商品按每件10 元出售， 每天可销出100 件他想采用提高售价的 办法来增加利润经试验，发现这种商品每件每提价1 元，每天的销售量就会减少10 件 （1）请写出售价x（元 / 件）与每天所得的利润y（元）之间的函数关系式； （2）每件售价定为多少元，才能使一天的利润最大？ 10.如图所示，电源电压U保持不变
6、，当滑动变阻器的滑片P从中点 c 移到 b 时，电压表前后示数之 比为 1.4 ：1 求： （1）若变阻器总电阻Rab=48，则电阻R的阻值是多少？ （2）若电源电压为12V，则在滑动变阻器的滑片P从 a 移到 b 的过程中，会使变阻器上消耗的功率 最大，这个最大值是多少？ 【能力篇】 一、选择题： 11.（2018?北京?2 分）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一运动员起跳后的飞行路线可以看作 是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y （单位： m ）与水平距离x（单位： m ）近似满 足函数关系 2 yaxbxc（0a） 下图记录了某运动员起跳后的x与 y 的三组数据，根据上述 函数模型和
7、数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为 A10mB 15mC 20mD 22.5m 12.（2018山东威海3 分）如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次 函数 y=4xx 2 刻画，斜坡可以用一次函数y=x 刻画，下列结论错误的是（） A当小球抛出高度达到7.5m 时，小球水平距O点水平距离为3m B小球距 O点水平距离超过4米呈下降趋势 C小球落地点距O点水平距离为7 米 D斜坡的坡度为1：2 13.（2018山东潍坊3 分）已知二次函数y=（ xh） 2（h 为常数），当自变量 x 的值满足2 x 5 时，与其对应的函数值y 的最大值为 1，则 h
8、的值为（） A3 或 6 B 1 或 6 C1 或 3 D4 或 6 二、填空题： 14.（2018湖北省孝感 3 分）如图，抛物线y=ax 2 与直线 y=bx+c 的两个交点坐标分别为A（ 2， 4） ，B（1，1） ，则方程ax 2=bx+c 的解是 15.（2018新疆生产建设兵团5 分）如图，已知抛物线y1=x 2+4x 和直线 y 2=2x我们规定：当x 取任意一个值时，x 对应的函数值分别为y1和 y2，若 y1y2，取 y1和 y2中较小值为M ；若 y1=y2，记 M=y1=y2当 x2 时， M=y2；当 x0 时， M随 x 的增大而增大；使得M大于 4 的 x 的值不存
9、在；若M=2 ，则 x=1上述结论正确的是（填写所有正确结论的序号） 三、解答与计算题： 16.（2018?山东滨州? 12 分）如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一 条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位： m ）与飞行时间x（单位： s）之间具有 函数关系y=5x 2+20 x，请根据要求解答下列问题： （1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是多少？ （2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ （3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？ 17.小明投资销售一种进价为每件20 元的护眼台灯销售过程中发现，每月销
10、售量y（件）与销售 单价 x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=10 x+500，在销售过程中销售单价不低于成 本价，而每件的利润不高于成本价的60% （1）设小明每月获得利润为w（元） ，求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系 式，并确定自变量x 的取值范围 （2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？ （3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000 元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本= 进价销售量） 18.定义：对于给定的两个函数，任取自变量x 的一个值，当x0 时，它们对应的函数值互为相反 数；当 x0 时，它们对应的函数值相等
11、，我们称这样的两个函数互为相关函数例如：一次函数 y=x1，它们的相关函数为y= （1）已知点 A（ 5，8）在一次函数y=ax3 的相关函数的图象上，求a 的值； （2）已知二次函数y=x 2+4x 当点 B（m ，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值； 当 3x3 时，求函数 y= x 2+4x 的相关函数的最大值和最小值 【探究篇】 19.（2018?江苏扬州? 10 分）“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本 为 30 元/ 件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2） 如果规定每天漆
12、器笔筒的销售量不低于240 件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大， 最大利润是多少？ （3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150 元给希望工程，为了保证捐款后 每天剩余利润不低于3600 元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围 20.（2018?江西? 12 分）小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程： 求解体验 (1) 已知抛物线 ?= -? 2 + ? - 3经过点 (-1,0),则= ，顶点坐标为， 该抛物线关于点(0,1 ）成中心对称的抛物线的表达式是 . 抽象感悟 我们定义：对于抛物线?= ? 2 + ? + ?(? 0), 以轴上的点 ?(0,
13、?)为中心，作该抛物线关于点?对 称的抛物线 , 则我们又称抛物线为抛物线的“衍生抛物线”，点 ?为“衍生中心”. (2) 已知抛物线 ?= -? 2 - 2?+ 5关于点 (0, ?)的衍生抛物线为，若这两条抛物线有交点，求 ? 的取值范围 . 问题解决 (3) 已知抛物线 ? = ? 2 + 2? - ?(? 0) 若抛物线的衍生抛物线为? = ? 2 -2? + ? 2 (? 0) , 两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点， 求? ，? 的值及衍生中心的坐标； 若抛物线关于点(0, ? + 12)的衍生抛物线为? 1 , 其顶点为 ?1；关于点 (0, ? + 2 2)的衍生抛物线为
14、? 2， 其顶点为 ? 2；关于点 (0, ?+ ? 2 )的衍生抛物线为? ?，其顶点为 ?；( 为 正整数 ). 求?+1的长 ( 用含的式子表示). 第 13 讲二次函数（暂不涉及复杂综合题） 【疑难点拨】 1. 把握不好抛物线与表达式的关系，从而出错. 主要表现为以下几点： （1）据抛物线的特征，判断yax2bxc（a0）的系数a、b、c 的符号容易混 淆； （2）关于二次函数的增减性和抛物线的对称性的题，由于同一个二次函数的增减性 也要以抛物线对称轴为分界线进行分类讨论，相对难度较大，有的同学容易出现错误， 还有就是“关于抛物线的对称轴对称”的抛物线上的点的特征，有的同学则把握不好；
15、 （3）由抛物线的平移造成表达式变化的题，也是同学们经常出错的地方. 求二次函数的表达式的方法很多，可以设成一般式y ax2bxc（a0） ，顶点式 ya（xh）2 k（a0）和交点式ya（xx1） （ xx2） （a0） . 2. 许多同学因为不能灵活地选择求二次函数表达式的方式，导致解答费时费力，还 容易出错 . 3. 忽视自变量的实际取值范围而出错. 在利用二次函数知识解决生活中的“最大利润”和几何图形的最大面积等问题时， 利用二次函数表达式求抛物线的顶点坐标来解决问题成了部分同学的思维定式，却很少 考虑这些最大（小）值是否符合实际情况和题目要求，导致出错. 【基础篇】 一、选择题： 1
16、.关于函数 y=2x 24x，下列叙述中错误的是（ ） A函数图象经过原点 B函数图象的最低点是（1， 2） C函数图象与x 轴的交点为（ 0，0） ， （2，0） D当 x0 时， y 随 x 的增大而增大 【分析】求出抛物线与坐标轴的交点坐标，利用配方法求出抛物线的顶点坐标即可解决问题 【解答】解：对于抛物线y=2x 2 4x， 令 x=0 则 y=0， 令 y=0 则 x=2 或 0， 抛物线经过原点，故A正确， 抛物线与x 轴交于点（ 0，0） ， （2，0） ，故 C正确， y=2（x1） 22， 抛物线顶点为（1， 2） ，故 B正确 x1 时， y 随 x 的增大而增大，故D错误， 故选： D 【点评】本题考查抛物线与x 轴的交点，配方法确定顶点坐标，函数的增减性等知识，解题的关键是 灵活运用这些知识解决问题，属于
