《高一数学优质课件精选——人教A版必修4课件:1.6 三角函数模型的简单应用》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高一数学优质课件精选——人教A版必修4课件:1.6 三角函数模型的简单应用(44页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、1.6 三角函数模型的简单应用,明目标 知重点,填要点 记疑点,探要点 究所然,内容 索引,01,02,03,当堂测 查疑缺,04,会用三角函数解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.,明目标、知重点,1.三角函数的周期性 yAsin(x) (0)的周期是T ; yAcos(x) (0)的周期是T ; yAtan(x) (0)的周期是T .,2 |,填要点记疑点,2 |, |,2.函数yAsin(x)k (A0,0)的性质 (1)ymax ,ymin . (2)A ,k . (3)可由 确定,其中周期T可观察图象获得. (4)由x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5
2、 中的一个确定的值.,Ak,Ak,0,2,3.三角函数模型的应用 三角函数作为描述现实世界中 现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.,周期,探要点究所然,情境导学,生活中普遍存在着周期性变化规律的现象,昼夜交替四季轮回,潮涨潮落、云卷云舒,情绪的起起落落,庭前的花开花谢,用数学语言可以说这些现象具有周期性,而我们所学的三角函数是刻画周期变化数量的典型函数模型,这节课我们就来通过几个具体例子,来研究这种三角函数模型的简单应用.,探究点一利用基本三角函数的图象研究其他函数,思考怎样作出函数y|sin x|的图象,并根据图象判断其周期和
3、单调区间? 答函数ysin x位于x轴上方的图象不动,位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方即可得到函数y|sin x|的图象,如下图所示:,小结一些函数图象可以通过基本三角函数图象翻折得到.例如:(1)由函数yf(x)的图象要得到y|f(x)|的图象,只需将yf(x)的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方,x轴上方的图象保持不动,即“上不动,下翻上”.(2)由函数yf(x)的图象要得到yf(|x|)的图象,应保留yf(x)位于y轴右侧的图象,去掉y轴左侧的图象,再由y轴右侧的图象翻折得到y轴左侧的图象,即“右不动,右翻左”.,例1(1)作出函数y|cos x|的图象,判断其奇偶性、周期性并写出
4、单调区间.,解y|cos x|图象如图所示.,由图象可知:T;y|cos x|是偶函数;,(2)作出函数ysin|x|的图象并判断其周期性.,解sin(x)sin x,,其图象如图.,由图象可知,函数ysin|x|不是周期函数.,反思与感悟 结合三角函数图象的特点,一般地有以下结论:y|sin x|的周期是;y|cos x|的周期是;y|tan x|的周期是;y|Asin(x)|(A0)的周期是 | ;y|Asin(x)k|(Ak0)的周期是 2 | .,跟踪训练1求下列函数的周期:,探究点二三角函数模型的应用,思考1数学模型是什么,什么是数学模型的方法? 答简单地说,数学模型就是把实际问题用
5、数学语言抽象概括,再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时,所得出的关于实际问题的数学描述.数学模型的方法,是把实际问题加以抽象概括,建立相应的数学模型,利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法.,思考2上述的数学模型是怎样建立的? 答解决问题的一般程序是: 1审题:逐字逐句的阅读题意,审清楚题目条件、要求、理解数学关系; 2建模:分析题目变化趋势,选择适当函数模型; 3求解:对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论; 4还原:把数学结论还原为实际问题的解答.,思考3怎样处理搜集到的数据? 答画出散点图,分析它的变化趋势,确定合适的函数模型. 小结利用三角函数模型解决实际问题的具体步骤如下:
6、 (1)收集数据,画出“散点图”; (2)观察“散点图”,进行函数拟合,当散点图具有波浪形的特征时,便可考虑应用正弦函数和余弦函数模型来解决; (3)注意由第二步建立的数学模型得到的解都是近似的,需要具体情况具体分析.,探究点三三角函数模型在物理学中的应用,例2如图,某地一天从614时的温度变化曲线近似满足函数yAsin(x)b.,(1)求这一天614时的最大温差;,解由图可知:这段时间的最大温差是20;,(2)写出这段曲线的函数解析式.,反思与感悟本例中所给出的一段图象实际上只取614即可,这恰好是半个周期,注意抓关键.本例所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特别
7、注意自变量的变化范围,这点往往被忽略掉. 如果实际问题中,某种变化着的现象具有一定的周期性,那么它就可以借助三角函数来描述,从而构建三角函数模型.,跟踪训练2下图表示电流I与时间t的函数关系式:IAsin(t) 在同一周期内的图象. (1)据图象写出IAsin(t)的解析式;,(2)为使IAsin(t)中t在任意一段 1 100 的时间内电流I能同时取得最大值和最小值,那么正整数的最小值是多少?,故最小正整数为629.,例3某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训,该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0t24,单位:小时)而周期性变化,每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表:,(1)试在图中描出
8、所给点;,解描出所给点如图所示:,(2)观察图,从yatb,yAsin(t)b,yAcos(t)中选择一个合适的函数模型,并求出该拟合模型的解析式;,解由(1)知选择yAsin(t)b较合适. 令A0,0,|.,故所求拟合模型的解析式为,(3)如果确定在一天内的7时至19时之间,当浪高不低于0.8米时才进行训练,试安排恰当的训练时间.,即12k1t12k7(kZ), 注意到t0,24,所以0t7, 或11t19,或23t24. 再结合题意可知,应安排在11时到19时训练较恰当.,反思与感悟数据拟合问题实质上是根据题目提供的数据画出简图,求相关三角函数的解析式进而研究实际问题.在求解具体问题时需
9、弄清A,的具体含义,只有把握了这三个参数的含义,才可以实现符号语言(解析式)与图形语言(函数图象)之间的相互转化.,处理曲线拟合与预测问题时,通常需要以下几个步骤: 1.根据原始数据给出散点图. 2.通过考察散点图,画出与其“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线. 3.根据所学函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式. 4.利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测和控制,以便为决策和管理提供依据.,跟踪训练3某港口水深y(米)是时间t (0t24,单位:小时)的函数,下面是水深数据:,据上述数据描成的曲线如图所示,经拟合,该曲线可近似的看成正弦函数模型yAsin tB的图象.,(1
10、)试根据数据表和曲线,求出yAsin tB的解析式;,解从拟合的曲线可知,函数yAsin tB的一个周期为12小时,因此 2 T 6 .又ymin7,ymax13, A 1 2 (ymaxymin)3, B 1 2 (ymaxymin)10. 函数的解析式为y3sin 6 t10 (0t24).,(2)一般情况下,船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的,如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米,那么该船在什么时间段能够安全进港?若该船欲当天安全离港,它在港内停留的时间最多不能超过多长时间?(忽略离港所用的时间),解由题意,得水深y4.57, 即y3sin 6 t1011.5,t0,
11、24,,t1,5或t13,17, 所以,该船在100至500或1300至1700能安全进港. 若欲于当天安全离港,它在港内停留的时间最多不能超过16小时.,当堂测查疑缺,1,2,3,4,1.方程|x|cos x在(,)内() A.没有根 B.有且仅有一个根 C.有且仅有两个根 D.有无穷多个根,C,1,2,3,4,2.如图所示,设点A是单位圆上的一定点,动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P所旋转过的弧AP的长为l,弦AP的长为d,则函数df(l)的图象大致是(),(,1,2,3,4,答案C,1,2,3,4,1,2,3,4,4.如图所示,一个摩天轮半径为10 m,轮子的底部在地面上2
12、 m处,如果此摩天轮按逆时针转动,每30 s转一圈,且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时.,1,2,3,4,(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式;,1,2,3,4,(2)在摩天轮转动的一圈内,约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.,故此人有10 s相对于地面的高度不小于17 m.,呈重点、现规律,1.三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型.三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用. 2.三角函数模型构建的步骤 (1)收集数据,观察数据,发现是否具有周期性的重复现象. (2)制作散点图,选择函数模型进行拟合. (3)利用三角函数模型解决实际问题. (4)根据问题的实际意义,对答案的合理性进行检验.,