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1、三维设计】(江苏专版)2013高中数学二轮专题 第二部分 专题2配套专题检测1已知函数f(x)|2x1|,若abf(c)f(b),则下列结论中必成立的是_(填序号)a0,b0,c0;a0;2a2c;2a2c2.解析:画出f(x)的图象如下:由图象可得:a0,b在(a,c)之间,但符号不确定,排除,因为a0f(c),所以ac,所以2a2c,排除,故选.答案:2设函数g(x)x22,f(x)则f(x)的值域是_解析:依题意知f(x)即f(x)由图象得f(x)值域为(2,)答案:(2,)3已知u1,v1且(logau)2(logav)2loga(au2)loga(av2)(a1),则loga(uv)
2、的最大值为_,最小值为_解析:令xlogau,ylogav,则已知式可化为(x1)2(y1)24(x0,y0)再设tloga(uv)xy(x0,y0),则当线段yxt(x0,y0)与圆弧(x1)2(y1)24(x0,y0)相切时,如图截距t取最大值tmax22(图中CD位置);当线段端点是圆弧端点时,t取最小值tmin1(图AB位置)因此loga(uv)的最大值是22,最小值是1.答案:2214若直角坐标平面内两点P,Q满足条件:P、Q都在函数f(x)的图象上;P、Q关于原点对称,则称点对(P,Q)是函数f(x)的一个“友好点对”(点对(P,Q)与点对(Q,P)看作同一个“友好点对”)已知函数
3、f(x)则f(x)的“友好点对”有_个解析:设P(x,y)、Q(x,y)(x0)为函数f(x)的“友好点对”,则y,y2(x)24(x)12x24x1,2x24x10,在同一坐标系中作函数y1、y22x24x1的图象,y1、y2的图象有两个交点,所以f(x)有2个“友好点对”答案:25已知:函数f(x)满足下面关系:f(x1)f(x1);当x1,1时,f(x)x2,则方程f(x)lg x解的个数是_解析:由题间可知,f(x)是以2为周期,值域为0,1的函数又f(x)lg x,则x(0,10,画出两函数图象,则交点个数即为解的个数由图象可知共9个交点答案:96(2012江苏高考)已知正数a,b,
4、c满足:5c3ab4ca,cln bacln c,则的取值范围是_解析:由条件可得令x,y,则问题转化为约束条件为求目标函数z的取值范围作出不等式组所表示的平面区域(如图中阴影部分),过原点作yex的切线,切线方程为yex,切点P(1,e)在区域内故当直线yzx过点P(1,e)时,zmine;当直线yzx过点C时,zmax7,故e,7答案:e,77设正项等差数列an的前n项和为Sn,若S410,S515,则a4的最大值为_解析:设等差数列的首项为a1,公差为d,则S44a16d10,即2a13d5,S55a110d15,即a12d3.又a4a13d,因此求a4的最值可转化为在线性约束条件下的线
5、性目标函数的最值问题,作出可行域,如图可知当a4a13d,经过点A(1,1)时有最大值4.答案:48已知AC,BD为圆O:x2y24的两条相互垂直的弦,垂足为M(1,),则四边形ABCD的面积的最大值为_解析:如图,设弦AC,BD的中点分别为P,Q,连结OP,OQ,OM,则OPAC,OQBD,又ACBD,故四边形OPMQ为矩形,设圆心O到AC,BD的距离分别为d1,d2,则ddOM23.又AC2,BD2,四边形ABCD的面积SACBD28(dd)5,当且仅当d1d2时,等号成立答案:59函数u的值域是_解析:可令x,y,消去t得:x22y216(0x4,0y2),所给函数化为含参数u的直线系y
6、xu,如图知umin2,当直线与椭圆相切于第一象限时u取最大值,此时由方程组得3x24ux2u2160,由0u2,因直线过第一象限,umax2,故所求函数的值域为2,2答案:2,210.如图放置的等腰直角三角形ABC薄片(ACB90,AC2)沿x轴滚动,设顶点A(x,y)的轨迹方程是yf(x),则f(x)在其相邻两个零点间的图象与x轴围成的封闭图形的面积为_解析:作出点A的轨迹中相邻两个零点间的图象,如图所示其轨迹为两段圆弧,一段是以C为圆心,CA为半径的四分之一圆弧;一段是以B为圆心,BA为半径,圆心角为的圆弧故其与x轴围成的封闭图形的面积为2222(2)224.答案:2411.为加强安全防
7、范,某商场在门前5 m处的灯杆上B处安装了一个监控探头,用来监视商场大门附近发生的情况若商场门FG的高为h m(0h4),紧接门上有一高为1 m的平面镜制的幕墙EF,探头安装在距离地面x m(6x9)处,设探头通过平面镜的监控宽度为CD,如图所示,记CD的长为y m(yGDGC)(1)当门的高度h3 m时,求监控宽度y关于x的函数关系式并求出函数的最大值;(2)为了使探头通过平面镜EF能监控到A点,即灯杆的下端点A在C,D之间(包括端点C,D),C,D为C,D在平面镜中所成的像,问商场门的高h在什么范围时可以实现解:由题意知,ACBGCF,所以,即,解得GC.又GDEADB,所以,即,解得GD
8、.(1)当h3 m时,由于C,D为C、D在平面镜中所成的像,所以yGDGCGDGC,则y,即y(6x9)y.当x6,9时,y0,所以函数y在6,9上单调递减,所以当x6时,ymax5.(2)若探头通过平面镜EF能监控到A点,即GCGAGD.所以GC5GD,即5在x6,9上总成立,即解得2hx2h2.故所以3h3.5,即h的范围为3,3.512已知函数f(x)x3ax2bx1(a、bR,且b2),当x,时,总有f(x)0.(1)求函数f(x)的解析式;(2)设函数g(x)3f(x)mx26x(mR),求证:当x0,1时,|g(x)|1的充要条件是1m.解:(1)由条件,得f(x)3x2a2xbx2axb,当x,时,总有f(x)0,结合f(x)x2axb的图象,所以有即由得,42b0b2.又b2,b2.把b2代入和得即所以a0.因此f(x)x32x1.(2)证明:g(x)3mx26xx3mx23,g(x)3x22mx是关于x的二次函数,观察yg(x)的图象因为g(0)0,所以当x0,1时,|g(x)|1或或1m.5