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1、2011高考数学萃取精华30套(1)1重庆一模21(12分)已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点,它们在轴上有共同焦点,椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴,抛物线的顶点为坐标原点。()求这三条曲线的方程;()已知动直线过点,交抛物线于两点,是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆截得的弦长为定值?若存在,求出的方程;若不存在,说明理由。21(12分)解:()设抛物线方程为,将代入方程得(1分)由题意知椭圆、双曲线的焦点为(2分)对于椭圆,(4分)对于双曲线,(6分)()设的中点为,的方程为:,以为直径的圆交于两点,中点为令(7分)(12分)22(14分)已知正项数列中,点在抛物线上;数列中,点在过点,以方向
2、向量为的直线上。()求数列的通项公式;()若,问是否存在,使成立,若存在,求出值;若不存在,说明理由;()对任意正整数,不等式成立,求正数的取值范围。22(14分)解:()将点代入中得(4分)()(5分)(8分)()由(14分)2南京三模21.(本小题满分12分)将圆O: 上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变), 得到曲线C.(1) 求C的方程;(2) 设O为坐标原点, 过点的直线l与C交于A、B两点, N为线段AB的中点,延长线段ON交C于点E.求证: 的充要条件是.21(本小题满分12分)解: (1)设点, 点M的坐标为,由题意可知(2分)又.所以, 点M的轨迹C的方程为.(4分)(
3、2)设点, , 点N的坐标为,当直线l与x轴重合时, 线段AB的中点N就是原点O, 不合题意,舍去; (5分)设直线l: 由消去x, 得(6分),点N的坐标为.(8分)若, 坐标为, 则点E的为, 由点E在曲线C上, 得, 即 舍去). 由方程得又.(10分)若, 由得点N的坐标为, 射线ON方程为: ,由 解得 点E的坐标为.综上, 的充要条件是.(12分)22.(本小题满分14分)已知函数.(1) 试证函数的图象关于点对称;(2) 若数列的通项公式为, 求数列的前m项和(3) 设数列满足: , . 设.若(2)中的满足对任意不小于2的正整数n, 恒成立, 试求m的最大值.22(本小题满分1
4、4分)解: (1)设点是函数的图象上任意一点, 其关于点的对称点为.由 得所以, 点P的坐标为P.(2分)由点在函数的图象上, 得. 点P在函数的图象上.函数的图象关于点对称. (4分)(2)由(1)可知, , 所以,即(6分)由, 得 由, 得(8分)(3) , 对任意的. 由、, 得即.(10分)数列是单调递增数列.关于n递增. 当, 且时, .(12分)即 m的最大值为6. (14分)3重庆预测21(12分)、是椭圆的左、右焦点,是椭圆的右准线,点,过点的直线交椭圆于、两点。(1) 当时,求的面积;(2) 当时,求的大小;(3) 求的最大值。21(1)(2)因,则(1) 设 ,当时,22(14分)已知数列中,当时,其前项和满足,(2) 求的表达式及的值;(3) 求数列的通项公式;(4) 设,求证:当且时,。22(1)所以是等差数列。则。(2)当时,综上,。(3)令,当时,有 (1)法1:等价于求证。当时,令,则在递增。又,所以即。法(2) (2) (3)因所以由(1)(3)(4)知。法3:令,则所以因则所以 (5)由(1)(2)(5)知8