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1、第7章,第七章 随机变量的数字特征,分布函数能完整地描述 r.v.的统 计特性, 但实际应用中并不都需要知 道分布函数，而只需知道 r.v.的某些 特征.,判断棉花质量时, 既看纤维的平均长度,平均长度越长,偏离程度越小, 质量就越好;,又要看 纤维长度与平均长度的偏离程度,例如：,考察一射手的水平, 既要看他的平均环数是否高, 还要看他弹着点的范围是否小, 即数据的波动是否小.,由上面例子看到，与 r.v. 有关的 某些数值，虽不能完整地描述 r.v.但 能清晰地描述 r.v.在某些方面的重要 特征 , 这些数字特征在理论和实践上 都具有重要意义.,随机变量某一方面的概率特性 都可用数字来描
2、写,7.1随机变量的数学期望,加 权 平 均,3:3:4 2:3:5 2:2:6,73.7 70.0 66.8,73.2 70.1 67.8,甲 乙 乙,引例 学生甲乙参加数学竞赛, 观察其胜负,7.1,为这 3 个数字的加权平均,称,数学期望的概念源于此,设 X 为离散 r.v. 其分布为,若无穷级数,其和为 X 的数学期望 记作 E( X ), 即,定义,绝对收敛,则称,设连续 r.v. X 的 d.f. 为,若广义积分,绝对收敛, 则称此积分为 X 的数学期望 记作 E( X ), 即,数学期望的本质 加权平均 它是一个数不再是 r.v.,定义,例1 X B ( n , p ), 求 E
3、( X ) .,解,特例 若Y B ( 1 , p ), 则 E(Y),例1,例2 X N ( , 2 ), 求 E ( X ) .,解,例3 设 X 参数为 p 的几何分布，求E ( X ).,解,例2,常见 r.v. 的数学期望（P159）,区间(a,b)上的 均匀分布,E(),N(, 2),注意 不是所有的 r.v.都有数学期望,例如：柯西(Cauchy)分布的密度函数为,它的数学期望不存在!,设离散 r.v. X 的概率分布为,若无穷级数,绝对收敛，则,设连续 r.v. 的 d.f. 为f (x),绝对收敛, 则,若广义积分,设离散 r.v. (X ,Y ) 的概率分布为,Z = g(
4、X ,Y ),绝对收敛 , 则,若级数,设连续 r.v. (X ,Y )的联合 d.f. 为,f (x ,y) ，Z = g(X ,Y ),绝对收敛, 则,若广义积分,例3 设 (X ,Y ) N (0,1;0,1;0), 求,的数学期望.,解,例3,解 (1) 设整机寿命为 N ,五个独立元件,寿命分别为,都服从参数为 的指数分布，若将它们 (1) 串联； (2) 并联 成整机，求整机寿命的均值. （P.142 例6）,例4,例4,即 N E( 5),(2) 设整机寿命为,可见, 并联组成整机的平均寿命比串联 组成整机的平均寿命长11倍之多.,例5 设X N (0,1), Y N (0,1)
5、, X ,Y 相互独 立，求E (max(X ,Y ) .,解,D1,D2,例5,其中 称为 概率积分,一般地，若,X ,Y 相互独立，则,所以,E (C ) = C,E (aX ) = a E (X ),E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ),当X ,Y 独立时，E (X Y ) = E (X )E (Y ) .,若存在数 a 使 P(X a) = 1, 则 E (X ) a ； 若存在数 b 使 P(X b) = 1, 则 E (X ) b.,期望性质,性质 4 的逆命题不成立，即,若E (X Y ) = E (X )E (Y )，X ,Y 不一定独立,反例见附录 1,注
6、,设 X 连续，d.f. 为 f (x), 分布函数为 F(x), 则,故,证 性质5,例6 将 4 个不同色的球随机放入 4 个盒子 中, 每盒容纳球数无限, 求空盒子数的 数学期望.,解一 设 X 为空盒子数, 则 X 的概率分布为,例6,解二 再引入 X i ,i = 1,2,3,4,例7 设二维 r.v. (X ,Y ) 的 d.f. 为,求E(X), E(Y), E( X + Y ), E(X Y), E(Y / X),解,例7,由数学期望性质,数学期望的应用,应用,据统计65岁的人在10年内正常死亡,解,应用1,的概率为0. 98, 因事故死亡概率为0.02.保险,公司开办老人事故
7、死亡保险, 参加者需交纳,保险费100元.若10 年内因事故死亡公司赔偿,a 元, 应如何定 a , 才能使公司可期望获益;,若有1000人投保, 公司期望总获益多少?,设Xi 表示公司从第 i 个投保者身上所得,的收益, i =11000 . 则,Xi ,应用1,由题设,公司每笔赔偿小于5000元, 能使公司获益.,公司期望总收益为,若公司每笔赔偿3000元, 能使公司期望 总获益40000元.,为普查某种疾病, n 个人需验血. 验血方 案有如下两种： 分别化验每个人的血, 共需化验 n 次； 分组化验, k 个人的血混在一起化验, 若 结果为阴性, 则只需化验一次; 若为阳性, 则 对
8、k 个人的血逐个化验, 找出有病者, 此时 k 个人的血需化验 k + 1 次. 设每人血液化验呈阳性的概率为 p, 且 每人化验结果是相互独立的.试说明选择哪 一方案较经济.,验血方案的选择,应用2,应用2,解 只须计算方案(2)所需化验次数的期望. 为简单计, 不妨设 n 是 k 的倍数，共分成 n / k 组.,设第 i 组需化验的次数为X i, 则,例如,当 时, 选择方案(2) 较经济.,市场上对某种产品每年需求量为 X 吨 ，X U 2000,4000 , 每出售一吨可赚 3万元 ,售不出去，则每吨需仓库保管费1 万元，问应该生产这中商品多少吨, 才能 使平均利润最大？,解,设每年
9、生产 y 吨的利润为 Y,显然，2000 y 4000,应用3,应用3,显然，,故 y=3500 时, E(Y )最大, E (Y )= 8250万元,设由自动线加工的某种零件的内径 X (mm) N ( ,1).已知销售每个零件的利润 T (元)与销售零件的内径 X 有如下的关系：,问平均直径 为何值时, 销售一个零件的 平均利润最大？ (P.171习题四15题),应用4,应用4,解,即,可以验证，,零件的平均利润最大.,作业 P94,2 3,习题,补 充 作 业 设 g(x) 是取正值的非减函数, X 为连续 型 r.v., 且 E( g(X) )存在， 证明: 对任意常数 a,柯西,Au
10、gustin-Louis Cauchy,1789 - 1857,柯西,法国数学家,柯 西 简介,法国数学家 27岁当选法国科学院院士,早在1811年就解决了拉格朗日向他提出的一个问题：凸多面体的角是否被它的面所决定？柯西作了肯定的回答.这一直是几何学中一个精彩的结果.,在概率论中他给出了有名的柯西分 布. 然而他一生中最重要的数学贡献在 另外三个领域：微积分学、复变函数和 微分方程.,柯西在代数学、几何学、误差理论以及 天体力学、光学、弹性力学诸方面都有出色 的工作，特别是他弄清了弹性理论的基本数 学结构，为弹性力学奠定了严格的理论基础.,在这三个领域中我们常常能见到以柯西 名字命名的定理、公
11、式和方程等:,微积分在几何上的应用 1826 年,柯西的著作大多是急就章，但都朴实无 华，有思想, 有创见. 他所发现和创立的定理 和公式, 往往是一些最简单、最基本的事实. 因而，他的数学成就影响广泛，意义深远.,柯西是一位多产的数学家，一生共发表 论文 800 余篇，著书7本.柯西全集共有 27卷，其中最重要的为：,分析教程 1821 年,无穷小分析教程概论 1823 年,若 X 服从柯西(Cauchy)分布, 其 p.d.f. 为,简记 X C( )分布,性质 4 的逆命题不成立，即,若E (X Y ) = E (X )E (Y )，X ,Y 不一定独立,反例 1,p j,pi,附录1,附录1,但,反例2,但,几个重要的 r.v. 函数的数学期望, X 的 k 阶原点矩, X 的 k 阶绝对原点矩, X 的 k 阶中心矩, X 的 方差,附录2,附录2, X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩, X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩, X ,Y 的 二阶原点矩, X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差, X ,Y 的相关系数,
