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1、第一节 初等函数 函数是高中知识的主干知识，是高中知识的一条主线，它涉及了函数的概念和性质，基本初等函数，数列，不等式，方程，导数，解析几何和立体几何等，是历年高考的重点、热点和必考点.初等函数（由基本初等函数经过运算或复合组成的）是基础. 一般地, 在高考试题中，考察函数知识都是以初等函数为载体.单独以定义域、值域、奇偶性等命题大多是选择题或填空题，综合题中涉及函数性质的往往只是试题的一部分. 难度值一般控制在0.50.8之间.考试要求： 了解映射概念,理解函数的概念,会选择适当方法表示函数;会求一些简单函数的定义域和值域；了解函数的奇偶性,能判断简单函数的奇偶性；了解反函数的概念及指数函数
2、与对数函数互为反函数；理解有理指数幂的含义,掌握幂的运算(性质),掌握指数函数、对数函数的概念,对数的运算性质.题型一 判定初等函数的性质例1 求函数的值域.点拔 函数是三次函数与三角函数复合函数而成的，令得，本题就转化为求，的值域. 三次函数求值域常用导数的方法.解,则,由,得或；由,，得，列表：t100减函数有极小值增函数函数有极小值又,.易错点 令，忽略了；错误地认为最值一定在端点处取得.变式与引申1： （2010江西文第6题） 函数的值域为（）A. B. C. D.题型二 抽象函数的性质例2 已知函数对任意实数都有，且当时，求在上的值域.点拔 此题是抽象函数，但是初等函数中，可以找到一
3、个具体函数满足条件，如，由此猜想抽象函数在是递增函数，再用定义证明递增.：设，且，则，再利用判断与的大小关系.下面只要求出的值就行.解 设，且，则，由条件当时， 又 为增函数， 令得，再令用得出,令 得 上的值域为易错点 利用性质“当时，”证明单调性，易出错.变式与引申2： 设函数y=是定义在R上的函数，并且满足下面三个条件： 对任意正数有；当时，； .(1)求的值; （2）证明上是减函数.题型三 函数奇偶性的判断例3 判断函数的奇偶性.点拔 利用定义判断函数的奇偶性：第一步：看定义域是否关于原点对称:若定义域不关于原点对称，则为非奇偶非函数；若定义域关于原点对称，则进行第二步：验证与的关系，
4、若（或）则为偶函数；若（或）则为奇函数.当难于得出和的时候，可以考虑验证特殊值.解 当时，为偶函数； 当时，,；,，,既不是奇函数也不是偶函数.易错点 用定义判断奇偶性时，容易漏掉的情况.的情况难于得出与的关系，易出错.变式与引申3： 设为实数，函数讨论的奇偶性.题型四 函数思想的应用例4 关于 x的方程有四个不同的解，求的取值范围.点拔 此题有多种思考方法：法1： 原方程看作含绝对值的方程，则采用去绝对值的方法，分段讨论解一元二次方程：和.原方程有四个不同的解，等价于有2个不等的正解，且有2个不同的负数解.问题就转化为两个一元二次方程根的分布问题.法2：把原方程看作是关于的一元二次方程，则令
5、，则原问题等价于有2个不等的正数解.法3：采用函数思想来观察方程，则可以把原方程变为：，问题等价于函数和的图像有四个不同的交点.事实上，我们还有下面各种变形：解 法1 有四个不同的解等价于有2个不等的正解，且有2个不同的负数解.有2个不等的正解有2个不同的负数解综上所述：.法2 令则原问题等价于有2个不等的正数解.法3 在同一直角坐标系内画出直线与曲线的图像，如图观图可知，图的取值必须满足,解得.易错点 作为二次方程分类，运算量大，易出错;易忽略;同学们很难将四个不同解等价转化其它问题.变式与引申4： (2009山东理)若函数有两个零点，则实数a的取值范围是.本节主要考查 初等函数的基本性质（
6、定义域，值域，奇偶性等）,理解函数的基本问题是初等函数问题；通过变量代换将一般函数问题转化为初等函数问题解题；熟练作出初等函数的图像利用数形结合；函数思想.点评 （1）基本方法：熟练掌握基本初等函数的性质和图像；初等函数利用变量代换转化为基本初等函数； 求出中间变量的范围.（2）求定义域的常用方法:根据函数解析式求函数的定义域，利用函数式有意义，列出不等式组，再解出.函数式有意义的依据是：分式分母不为；偶次方根的被开放数不能小于；对数函数的真数大于,底数大于且不等于1；终边在轴上的角的正切没有意义；没有意义；复合函数的定义域，要保证内函数的值域是外函数的定义域.（3）求值域的常用方法:观察法；
7、配方法；导数法；不等式法；单调性法；数形结合法；求定义域开始关于原点对称是否输出“为非奇非偶函数”否输出“为非奇非偶函数”输出“为奇或偶函数”是结束判别式法；有界性法；换元法.（4）判断函数奇偶性的步骤：习题111. 函数的图象( ).A关于原点对称 B关于直线yx对称C关于x轴对称 D关于y轴对称2. 已知函数的值域是,则实数的取值范围是_3. 已知定义域为的函数是奇函数，求的值.4. 定义在上的函数,当时,且对任意的、,有.（1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的,恒有；5. 设函数.试讨论关于的方程:在区间上的根的个数.第二节 导数与积分 导数是高考命题的热点,也是难点.纵观近几年
8、的各省高考试题,导数的考题分两个层次. （1）知识性试题 以函数为载体，以导数为工具，以考查函数诸多性质和导数极值理论、单调性质、几何意义及其应用为目标，是高考导数与函数交汇试题的显著特点和命题趋向（其中多项式函数一般不超过三次，以e为底的对数函数较多）. （2）综合性试题导数与不等式、导数与数列常是高考压轴题，同时考查函数与方程、数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想，尤其是分类讨论思想，是近三年来高考命题的热点.难度值一般控制在之间. 考试要求 了解导数概念的实际背景；理解导数的几何意义；能求简单的复合函数的导数；能用导数研究单调性,会求函数的单调区间；了解函数在某点取得极值的充分条件和
9、必要条件,会求极大值、极小值及闭区间上的最值；会利用导数解决某些实际问题；（7）了解定积分的实际思想、基本思想及概念，了解微积分基本定理.题型一 导数的几何意义、极值理论及单调性质等例题1 给定两个函数解决下列问题：（I）若在处取得极大值，求函数的单调区间；（）若在区间为增函数，求的取值范围；（）在（）的条件下，若关于的方程有三个不同的根，求的取值范围.点拔:第（I）小题在处取得极大值，即知，能解决函数所含参数，进而求单调区间.第（）小题是运用导数研究函数单调性求参数的逆向问题,即求导函数的函数值在区间上恒大于,进而转化为不等式的恒成立求函数最值.第（）小题可将问题转化为函数的图象与轴有三个不
10、同的交点,通过导数讨论函数的单调性与极值,利用数形结合求解.解:（I）因为在处取得极值,所以.故.所以.易知函数单调增区间是;单调递减区间是.（）由题意可知,因为在区间（2，+）为增函数,所以在区间上恒成立,即恒成立.由于,所以,故.（）设故.令，得，由（）知.当时，在上是单调递增，显然不合题意.当时,随的变化情况如下表：1+00+极大值极小值欲使方程有三个不同的根，即函数与轴有三个不同的交点，则有，解得.综上，的取值范围是.易错点:本题中在不同区间单调时用“和”,而不能用“”连接.恒成立问题分离变量易错求是.通过导数讨论函数的单调性与极值,并利用数形结合求解,学生难以掌握.图1-2-1变式与
11、延申1： (2010江西考试大纲调研卷七第21题)函数的图象如图所示.若函数在处的切线方程为求函数的解析式；在（1）条件下，是否存在实数，使得的图象与的图象有且只有在三个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.题型二 导数与不等式例题2 （2010新课标全国卷第21题）设函数.(1)若求的单调区间;(2)若时,求的取值范围.点拔:本题主要考查导数与不等式的相关知识,主要涉及利用导数判断函数的单调性,由(1)可得出的不等式(此不等式较隐蔽,有时甚至需要构造函数以便产生这样的不等式),是本小题的突破口,然后讨论参数的取值对导函数值符号的影响.分类讨论思想在此应用甚为关键.解:(1
12、) 时, 当当故在单调减少,在单调增加.(2) .由(1)知当且仅当时等号成立.故,从而当即时, ,而,于是当时, .又由可得,从而当时,故当时, ,而,于是当,综合得的取值范围为易错点: 第(2)小题利用导数求的最小值,但方程难以求解;对(1)式提供的不等式使用意识较低;需强化分类讨论思想方法在解决含参不等式中的应用.变式与延申2： （2010湖北卷第21题）已知函数级的图象在点处的切线方程为.(1)用表示出;(2)若在上恒成立,求的取值范围;(3)题型三 导数与数列例题3 （2010湖南卷第21题）数列中，是函数的极值点.（1）当时，求通项；（2）是否存在，使数列是等比数列？若存在的取值范
13、围；若不存在，请说明理由. 点拔:本题导数的使用有如用药的“药引”，由极值的讨论唤出了的数列系列问题.由题明确求数列通项的本质是找递推式,而题中的递推式变化较大，应细致讨论.第(2)问中构造函数,利用导数将不等式的恒成立转化为求函数最值. 解:易知,令 故在.(1)当时,则.由知, .因,则由知,.因为则由知, ,又因为则由知, .由此猜想:当时,.下面用数学归纳法证明:当时,事实上,当时,由前面的讨论知结论成立.假设当时, 成立,则由知,从而,所以.所以当时,成立.于是由知,当,而因此 (2)存在，使数列是等比数列.事实上,由知,若对任意的,都有,则,即数列是首项为,公比为的等比数列,且.而
14、要使,即对一切都成立,只需对一切都成立.记，则.令,因此,当时,从而函数在上单调递减,故当,数列单调递减,即数列中最大项为,于是当时,必有,这说明,当时, 数列是等比数列.当时,可得,由知,无极值,不合题意.当,可得数列不是等比数列.当时, 由知,无极值,不合题意.当可得数列不是等比数列.综上,存在，使数列是等比数列,且易错点:多情况的分类讨论;知识和方法较为综合.变式与延申3： 当正整数时,比较与的大小.（本题可将去掉,供思考）题型四 导数与积分例题4 （2010福建卷第20题）（）已知函数，其图象记为曲线C.（i）求函数的单调区间；（ii）证明：若对于任意非零实数，曲线C与其在点处的切线交于另一点，曲线C与其在点处的切线交于另一点，线段与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为，则为定值；（）对于一般的三次函数请给出类似于（）（ii）的正确命题，并予以证明.点拔:需把握好两点：一是定积分上下限的确定；二是降维思想的应用，寻求上下限变量之间的
