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1、一、选择题1(2011陕西)某几何体的三视图如下，则它的体积是A8B8C82 D.解析由三视图可知该几何体是一个棱长为2的正方体内部挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥，所以V2328，故选A.答案A2正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q、E、F分别是AB、AD、B1C1、C1D1的中点，则正方体的过P、Q、E、F的截面图形的形状是A正方形 B平行四边形C正五边形 D正六边形解析如图所示，由EFPQ，可确定一个平面，此平面与正方体的棱BB1、DD1分别相交于点M、N，由此可得截面图形的形状为正六边形PQNFEM，故应选D.答案D3在ABC中，AB2，BC1.5，ABC120，若ABC绕直线B
2、C旋转一周，则所形成的几何体的体积是A. B.C. D.解析依题意可知，ABC绕直线BC旋转一周，可得如图所示的一个几何体，该几何体是由底面半径为2sin 60，高为1.52cos 602.5的圆锥，挖去一个底面半径为，高为1的圆锥所形成的几何体，则该几何体的体积V()2(2.51)，故应选A.答案A4(2011惠州模拟)下图是某几何体的直观图，其三视图正确的是解析由三视图的知识可知A正确答案A5已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为3，体积为6，则这个球的表面积是A16 B20C24 D32解析设正四棱锥的底面边长为a，则63a2，得a，HC，设球心为O，半径为R，则R2(3R)23(如图
3、(1)或R2(R3)23，解得R2，S16. 图(1) 图(2)答案A6(2011丰台模拟)四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OAOB2，OC3，D为四面体OABC外一点给出下列命题不存在点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形；不存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥；存在点D，使CD与AB垂直并且相等；存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球球面上其中真命题的序号是A BC D解析依题意得，AB2，ACBC.对于，取点D，使得DA3，DB，DC2(注：这样的点D是分别以点A，B，C为球心、3，2为半径的球面的公共点，显然这三个球面有公共点，即满足这样的条件的点D存在)，
4、此时有DA2AB217DB2，DC2CB217DB2，DA2DC213AC2，即有DAAB，DCCB，DADC，即四面体ABCD有三个面是直角三角形，因此不正确；对于，取点D，使得DADB2，DC(注：这样的点D的产生过程类似于中的点D)，此时DAB是等边三角形，三条侧棱相等，四面体ABCD，即CABD是正三棱锥，因此不正确；对于，将该四面体补成一个正四棱柱，易知取上底面的与点C相对的顶点作为点D，此时CD与AB垂直并且相等，因此正确；对于，将该四面体补成一个正四棱柱，作出该正四棱柱的外接球，在这个球面上任取一点(异于点A，B，C，O)作为点D都能满足点O在四面体ABCD的外接球球面上，因此正
5、确综上所述，其中真命题的序号是，选D.答案D二、填空题7(2011福建)三棱锥PABC中，PA底面ABC，PA3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥PABC的体积等于_解析PA底面ABC，PA为三棱锥PABC的高，且PA3.底面ABC为正三角形且边长为2，底面面积为22sin 60，VPABC3.答案8一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2，它的三视图中的俯视图如图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是_解析设底面边长为x，则Vx2x2，x2.由题意知这个正三棱柱的左视图为长为2，宽为的矩形，其面积为2.答案29如图，半径为4的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面
6、积与该圆柱的侧面积之差是_解析解法一圆柱的轴截面如图所示，设球的半径与圆柱的高所成的角为，则圆柱底面半径为4sin ，高为8cos ，S圆柱侧24sin 8cos 32sin 2.当sin 21时，S圆柱侧最大为32.此时S球表S圆柱侧4423232.解法二设圆柱底面半径为r，则其高为2，S圆柱侧2r2442R2.又R4，S圆柱侧最大为32.此时S球表S圆柱侧4423232.答案32三、解答题10如图所示，在单位正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P，使APD1P最短，求APD1P的最小值解析设A1Px，则在AA1P中，AP，在RtD1A1P中，D1P.yAPD1P，下面求
7、对应的函数y的最小值将函数y变形，得y ，它表示平面直角坐标系中，在x轴上存在一点P(x,0)，它到点M与到点N(0，1)的距离之和最小，当P、M、N三点共线时，这个值最小，则为 .11如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，PD底面ABCD，且PDa，PAPCa，若在这个四棱锥内放一球求此球的最大半径解析设放入的球的半径为r，球心为O，连接OP、OA、OB、OC、OD，则把此四棱锥分割成四个三棱锥和一个四棱锥，这些小棱锥的高都是r，底面分别为原四棱锥的侧面和底面，则VPABCDr(SPABSPBCSPCDSPADS正方形ABCD)r(2)a2.由题意，知PD底面ABC
8、D，VPABCDS正方形ABCDPDa3.由体积相等，得r(2)a2a3，解得r(2)a.12如图1，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ACBC，D为侧棱PC上一点，它的正(主)视图和侧(左)视图如图2所示(1)证明：AD平面PBC；(2)求三棱锥DABC的体积；(3)在ACB的平分线上确定一点Q，使得PQ平面ABD，并求此时PQ的长解析(1)证明因为PA平面ABC，所以PABC，又ACBC，所以BC平面PAC，所以BCAD.由三视图可得，在PAC中，PAAC4，D为PC的中点，所以ADPC，所以AD平面PBC.(2)由三视图可得BC4，由(1)知ADC90，BC平面PAC，又三棱锥DABC的体积即为三棱锥BADC的体积，所以所求三棱锥的体积VADCDBC224.(3)取AB的中点O，连接CO并延长至Q，使得CQ2CO，连接PQ，OD，点Q即为所求因为O为CQ的中点，D为PC的中点，所以PQOD，因为PQ平面ABD，OD平面ABD，所以PQ平面ABD，连接AQ，BQ，因为四边形ACBQ的对角线互相平分，且ACBC，ACBC，所以四边形ACBQ为正方形，所以，CQ即为ACB的平分线，又AQ4，PA平面ABC，所以在RtPAQ中，PQ4.- 7 -
