《2021年高考数学一轮复习题型归纳与高效训练试题：4.5 正弦定理和余弦定理（解析版）文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年高考数学一轮复习题型归纳与高效训练试题：4.5 正弦定理和余弦定理（解析版）文（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高考复习归纳训练高考复习精推资源题型归纳高效训练2021年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破专题4.5 正弦定理和余弦定理目录一、题型全归纳1题型一 利用正、余弦定理解三角形1类型一用正弦定理解三角形2类型二用余弦定理解三角形2类型三 综合利用正、余弦定理解三角形3题型二 利用正、余弦定理边角互化5题型三 与三角形面积有关的问题7二、高效训练突破10一、题型全归纳题型一 利用正、余弦定理解三角形【题型要点】解三角形的常见题型及求解方法(1)已知两角A，B与一边a，由ABC及，可先求出角C及b，再求出c.(2)已知两边b，c及其夹角A，由a2b2c22bccos A，先求出a，再求出
2、角B，C.(3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C.(4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理可求出另一边b的对角B，由C(AB)，可求出角C，再由可求出c，而通过求角B时，可能有一解或两解或无解的情况类型一用正弦定理解三角形【例1】(2020北京朝阳区模拟)在ABC中，B，c4，cosC，则b()A3 B3 C. D.【答案】B【解析】因为cosC，C(0，)，所以sinC.又因为B，c4，所以由正弦定理得b3.【例2】(2020丹东模拟)在ABC中，C60，AC，AB，则A()A15 B45 C75 D105【答案】C【解析】在ABC中，C60，AC，AB，由正弦定理
3、得sinB.因为ABAC，所以CB，所以B，所以B45，又C60，所以A180BC180456075.类型二用余弦定理解三角形【例3】(2020贵阳模拟)平行四边形ABCD中，AB2，AD3，AC4，则BD()A4 B. C. D.【答案】B【解析】如图所示在ABC中，AB2，BCAD3，AC4，由余弦定理得cosABC，所以cosDABcosABC，在ABD中，由余弦定理得BD2AD2AB22ADABcosDAB322223210.所以BD.【例4】在ABC中，AB4，AC7，BC边上中线AD，则BC_【答案】9【解析】设BDDCx，ADC，ADB，在ADC中，72x2()22xcos ，在
4、ABD中，42x2()22xcos()，得x，BC9.类型三 综合利用正、余弦定理解三角形【例5】(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C.求A；若ab2c，求sin C.【答案】A60【解析】由已知得sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C，故由正弦定理得b2c2a2bc.由余弦定理得cos A.因为0A180，所以A60.由知B120C，由题设及正弦定理得sin Asin(120C)2sin C，即cos Csin C2sin C，可得cos(C60).由于0C120，所以sin(C60)，故sin
5、 Csin(C6060)sin(C60)cos 60cos(C60)sin 60.【例6】在ABC中，a3，bc2，cosB.(1)求b，c的值；(2)求sin(BC)的值【答案】（1）c5，b7.（2）.【解析】(1)由余弦定理b2a2c22accosB，得b232c223c.因为bc2，所以(c2)232c223c，解得c5，所以b7.(2)由cosB，得sinB.由正弦定理，得sinCsinB.在ABC中，B是钝角，所以C为锐角，所以cosC.所以sin(BC)sinBcosCcosBsinC.题型二 利用正、余弦定理边角互化【题型要点】1应用正、余弦定理转化边角关系的技巧技巧解读边化角
6、将表达式中的边利用公式a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC化为角的关系角化边将表达式中的角利用公式转化为边，出现角的正弦值用正弦定理转化，出现角的余弦值用余弦定理转化和积互化a2b2c22bccosA(bc)22bc(1cosA)可联系已知条件，利用方程思想进行求解三角形的边2利用正、余弦定理判断三角形形状的基本方法(1)“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状(2)“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要
7、注意应用ABC这个结论 【例1】(2020武汉调研)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cosA，则ABC为()A钝角三角形 B直角三角形C锐角三角形 D等边三角形【答案】A【解析】因为cosA，所以cbcosA，由正弦定理得sinCsinBcosA，又ABC，所以sinCsin(AB)所以sinAcosBcosAsinBsinBcosA，所以sinAcosB0，所以cosB0，B为钝角，所以ABC是钝角三角形【例2】(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinAbsinB4csinC，cosA，则()A6 B5 C4 D3【答案】A【解析】as
8、inAbsinB4csinC，由正弦定理得a2b24c2，即a24c2b2.由余弦定理得cosA，6.故选A.【例3】(2020黄冈模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足2acosAccosBbcosC.(1)求角A；(2)若a，6，求ABC的周长【答案】（1）A（2）7【解析】(1)因为2acosAbcosCccosB，在ABC中，由正弦定理2R，得a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，所以2sinAcosAsinBcosCcosBsinC，即2sinAcosAsin(BC)sinA，因为0A，所以sinA0，所以2cosA1，即cosA，所以A.(2)由余弦定
9、理a2b2c22bccosA，得13b2c22bc.得(bc)23bc13，由6，得bccosA6，所以bc12.所以(bc)23613，得bc7，所以ABC的周长为abc7.题型三 与三角形面积有关的问题【题型要点】1求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积.(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键2已知三角形的面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解(2)若求边，就寻求与该边(
10、或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解. 【例1】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin Acos A0，a2，b2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积【答案】（1）c4；（2）【解析】(1)由已知条件可得tan A，A(0，)，所以A，在ABC中，由余弦定理得284c24ccos ，即c22c240，解得c6(舍去)，或c4.(2)法一：如图，由题设可得CAD，所以BADBACCAD，故ABD面积与ACD面积的比值为1，又ABC的面积为42sinBAC2，所以ABD的面积为.法二：由余弦定理得cos C，在RtACD中，cos C，所以CD
11、，所以AD，DBCD，所以SABDSACD2sin C.法三：BAD，由余弦定理得cos C，所以CD，所以AD，所以SABD4sinDAB.【例2】(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b6，a2c，B，则ABC的面积为_【答案】6【解析】法一：因为a2c，b6，B，所以由余弦定理b2a2c22accos B，得62(2c)2c222cccos ，得c2，所以a4，所以ABC的面积Sacsin B42sin 6.法二：因为a2c，b6，B，所以由余弦定理b2a2c22accos B，得62(2c)2c222cccos ，得c2，所以a4，所以a2b2c2，所以A，
12、所以ABC的面积S266.【例3】(2020贵阳模拟)在ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列，C120.(1)求边长a；(2)求AB边上的高CD的长【答案】（1）a3；（2）【解析】(1)由题意得ba2，ca4，由余弦定理cos C得cos 120，即a2a60，所以a3或a2(舍去)，所以a3.(2)法一：由(1)知a3，b5，c7，由三角形的面积公式得absinACBcCD，所以CD，即AB边上的高CD.法二：由(1)知a3，b5，c7，由正弦定理得，即sin A，在RtACD中，CDACsin A5，即AB边上的高CD.二、高效训练突破一、选择题1设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定【答案】B【解析】由正弦定理得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A，sin(BC)sin2A，即sin(A)sin2A，sin Asin2A.A(0，)，sin A0，sin A1，即A，ABC为直角三角形2已知ABC中，A，B，a1，则b等于()A2 B1 C. D.【答案】D【解析】由正弦定理，得，所以，所以b.3.已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA，cosC，a1，则b等于()A2 B
