《2021年高考数学一轮复习题型归纳与高效训练试题:4.6 正弦定理、余弦定理的综合应用(解析版)文》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2021年高考数学一轮复习题型归纳与高效训练试题:4.6 正弦定理、余弦定理的综合应用(解析版)文(26页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、高考复习归纳训练高考复习精推资源题型归纳高效训练2021年高考理科数学一轮复习:题型全归纳与高效训练突破专题4.6 正弦定理、余弦定理的综合应用目录一、题型全归纳1题型一 解三角形中的实际问题1题型二 平面几何中的解三角形问题5题型三 与三角形有关的最值(范围)问题8二、高效训练突破10一、题型全归纳题型一 解三角形中的实际问题【题型要点】1.利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤(1)分析理解题意,分清已知与未知,画出示意图(2)建模根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在相关的三角形中,建立一个解斜三角形的数学模型(3)求解利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形,求得数学模型的解(
2、4)检验检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解2.实际测量中的常见问题求AB图形需要测量的元素解法求竖直高度底部可达ACB,BCa解直角三角形ABatan 底部不可达ACB,ADB,CDa解两个直角三角形AB求水平距离山两侧ACB,ACb,BCa用余弦定理AB河两岸ACB,ABC,CBa用正弦定理AB河对岸ADC,BDC,BCD,ACD,CDa在ADC中,AC;在BDC中,BC;在ABC中,应用余弦定理求AB3.三角应用题求解的关键是正确作图(平面图、立体图),并且条件对应好(仰角、俯角、方向角等)【例1】(2020宁德模拟)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被喻为“地球留给人
3、类保留宇宙秘密的最后遗产”,我国拥有世界上最深的海洋蓝洞,若要测量如图所示的蓝洞的口径A,B两点间的距离,现在珊瑚群岛上取两点C,D,测得CD80,ADB135,BDCDCA15,ACB120,则A,B两点的距离为_【答案】80【解析】由已知,在ACD中,ACD15,ADC150,所以DAC15,由正弦定理,得AC40(),在BCD中,BDC15,BCD135,所以DBC30,由正弦定理,得BC160sin1540();在ABC中,由余弦定理,AB2AC2BC22ACBCcosACB1600(84)1600(84)21600()()1600161600432000,解得AB80,则A,B两点的
4、距离为80.【例2】(2020长沙一中模拟)如图,在路边安装路灯,路宽为OD,灯柱OB高为10 m,灯杆AB长为1 m,且灯杆与灯柱成120角,路灯采用圆锥形灯罩,其轴截面的顶角为2,灯罩轴线AC与灯杆AB垂直若灯罩截面的两条母线所在直线中的一条恰好经过点O,另一条与地面的交点为E.则该路灯照在路面上的宽度OE的长是_ m.【答案】【解析】在AOB中,由余弦定理可得OA m,由正弦定理得sinBAO,因为BAO,所以cossinBAO,sin,则sin22sincos.易知ACO60,则sinAEOsin(60),在AOE中,由正弦定理可得OE m.【例3】如图所示,位于A处的信息中心获悉:在
5、其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援,则cos 的值为_【答案】【解析】在ABC中,AB40,AC20,BAC120,由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos 1202 800,得BC20.由正弦定理,得,即sinACBsinBAC.由BAC120,知ACB为锐角,则cosACB.由ACB30,得cos cos(ACB30)cosACBcos 30sinACBsin 30.题型二 平面几何中的解三角形问题【题型要点】与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路求解平
6、面图形中的计算问题,关键是梳理条件和所求问题的类型,然后将数据化归到三角形中,利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系具体解题思路如下:(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形,然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解;(2)寻找各个三角形之间的联系,交叉使用公共条件,求出结果【例1】(2020湖南衡阳第三次联考)如图,在平面四边形ABCD中,0DAB,AD2,AB3,ABD的面积为,ABBC.(1)求sinABD的值;(2)若BCD,求BC的长【答案】(1) (2)【解析】(1)因为ABD的面积SADABsinDAB23sinDAB,所以sinDAB.又0DAB,所以DAB,所以cosD
7、ABcos .由余弦定理得BD,由正弦定理得sinABD.(2)因为ABBC,所以ABC,sinDBCsin(ABD)cosABD.在BCD中,由正弦定理可得CD.由余弦定理DC2BC22DCBCcosDCBBD2,可得3BC24BC50,解得BC或BC(舍去)故BC的长为.【例2】如图,在平面四边形ABCD中,ABC,ABAD,AB1.(1)若AC,求ABC的面积;(2)若ADC,CD4,求sinCAD.【答案】(1);(2)【解析】(1)在ABC中,由余弦定理得,AC2AB2BC22ABBCcosABC,即51BC2BC,解得BC,所以ABC的面积SABCABBCsinABC1.(2)设C
8、AD,在ACD中,由正弦定理得,即,在ABC中,BAC,BCA(),由正弦定理得,即,两式相除,得,即4(sin cos )sin ,整理得sin 2cos .又因为sin2cos21,所以sin ,即sinCAD.题型三 与三角形有关的最值(范围)问题【题型要点】1.解三角形问题中,求解某个量(式子)的最值(范围)的基本思路为:要建立所求量(式子)与已知角或边的关系,然后把角或边作为自变量,所求量(式子)的值作为函数值,转化为函数关系,将原问题转化为求函数的值域问题这里要利用条件中的范围限制,以及三角形自身范围限制,要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善,避免结果的范围过大2.求解
9、三角形中的最值、范围问题的2个注意点(1)涉及求范围的问题,一定要搞清已知变量的范围,利用已知的范围进行求解,已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化(2)注意题目中的隐含条件,如本例中锐角三角形的条件,又如ABC,0A,bcabc,三角形中大边对大角等【例1】(2019全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asinbsin A.(1)求B;(2)若ABC为锐角三角形,且c1,求ABC面积的取值范围【答案】(1)B60(2)【解析】(1)由题设及正弦定理得sin Asinsin Bsin A.因为sin A0,所以sinsin B.由ABC180,可得sincos,
10、故cos2sincos.因为cos0,故sin,因此B60.(2)由题设及(1)知ABC的面积SABCa.由正弦定理得a.由于ABC为锐角三角形,故0A90,0C90.由(1)知AC120,所以30C90,故a2,从而SABC.因此,ABC面积的取值范围是【例2】(2020宁德模拟)在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,且2cb2acos B,a.(1)若c,求ABC的面积;(2)若ABC为锐角三角形,求bc的取值范围【答案】(1);(2)(,)【解析】(1)2cb2acos B,由正弦定理得2sin C sin B2sin Acos B,2sin(AB)sin B2sin Ac
11、os B,2cos Asin Bsin B.B(0,),sin B0,cos A.又A(0,),A.由余弦定理得7b232b,即b23b40,(b4)(b1)0,b4或b1(舍去),SABCbcsin A4.(2)由(1)知A.由正弦定理得,2,bc2sin Bsin(B)2(sin Bcos B)2sin(B)ABC是锐角三角形,B,B,sin(B),bc(,)二、高效训练突破一、选择题1一艘船以每小时15 km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔M在北偏东60方向,行驶4 h后,船到达B处,看到这个灯塔在北偏东15方向,这时船与灯塔的距离为()A15 km B30 kmC45 km D60
12、 km【答案】B【解析】作出示意图如图所示依题意有AB15460,DAC60,CBM15,MAB30,AMB45.在AMB中,由正弦定理,得,解得BM30.2如图,在离地面高400 m的热气球上,观测到山顶C处的仰角为15,山脚A处的俯角为45,已知BAC60,则山的高度BC为()A700 m B640 m C600 m D560 m【答案】C【解析】在RtAMD中,AM400(m),在MAC中,AMC451560,MAC180456075,MCA180AMCMAC45,由正弦定理得AC400(m)在RtABC中,BCACsinBAC400600(m)3.一名学生在河岸上紧靠河边笔直行走,某时
13、刻测得河对岸靠近河边处的参照物与学生前进方向成30角前进200 m后,测得该参照物与前进方向成75角,则河的宽度为()A50(1)mB100(1)mC50 m D100 m【答案】A【解析】如图所示在ABC中,BAC30,ACB753045,AB200 m,由正弦定理,得BC100(m),所以河的宽度为BCsin 7510050(1)(m)4.如图所示,一座建筑物AB的高为(3010) m,在该建筑物的正东方向有一座通信塔CD.在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A,塔顶C的仰角分别是15和60,在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30,则通信塔CD的高为()A30 m B60 mC30 m D4