《2021年高考数学一轮复习题型归纳与高效训练试题：4.6 正弦定理、余弦定理的综合应用（解析版）文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年高考数学一轮复习题型归纳与高效训练试题：4.6 正弦定理、余弦定理的综合应用（解析版）文（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高考复习归纳训练高考复习精推资源题型归纳高效训练2021年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破专题4.6 正弦定理、余弦定理的综合应用目录一、题型全归纳1题型一 解三角形中的实际问题1题型二 平面几何中的解三角形问题5题型三 与三角形有关的最值(范围)问题8二、高效训练突破10一、题型全归纳题型一 解三角形中的实际问题【题型要点】1.利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤(1)分析理解题意，分清已知与未知，画出示意图(2)建模根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在相关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型(3)求解利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解(
2、4)检验检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解2.实际测量中的常见问题求AB图形需要测量的元素解法求竖直高度底部可达ACB，BCa解直角三角形ABatan 底部不可达ACB，ADB，CDa解两个直角三角形AB求水平距离山两侧ACB，ACb，BCa用余弦定理AB河两岸ACB，ABC，CBa用正弦定理AB河对岸ADC，BDC，BCD，ACD，CDa在ADC中，AC；在BDC中，BC；在ABC中，应用余弦定理求AB3.三角应用题求解的关键是正确作图(平面图、立体图)，并且条件对应好(仰角、俯角、方向角等)【例1】(2020宁德模拟)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人
3、类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD80，ADB135，BDCDCA15，ACB120，则A，B两点的距离为_【答案】80【解析】由已知，在ACD中，ACD15，ADC150，所以DAC15，由正弦定理，得AC40()，在BCD中，BDC15，BCD135，所以DBC30，由正弦定理，得BC160sin1540()；在ABC中，由余弦定理，AB2AC2BC22ACBCcosACB1600(84)1600(84)21600()()1600161600432000，解得AB80，则A，B两点的
4、距离为80.【例2】(2020长沙一中模拟)如图，在路边安装路灯，路宽为OD，灯柱OB高为10 m，灯杆AB长为1 m，且灯杆与灯柱成120角，路灯采用圆锥形灯罩，其轴截面的顶角为2，灯罩轴线AC与灯杆AB垂直若灯罩截面的两条母线所在直线中的一条恰好经过点O，另一条与地面的交点为E.则该路灯照在路面上的宽度OE的长是_ m.【答案】【解析】在AOB中，由余弦定理可得OA m，由正弦定理得sinBAO，因为BAO，所以cossinBAO，sin，则sin22sincos.易知ACO60，则sinAEOsin(60)，在AOE中，由正弦定理可得OE m.【例3】如图所示，位于A处的信息中心获悉：在
5、其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，则cos 的值为_【答案】【解析】在ABC中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos 1202 800，得BC20.由正弦定理，得，即sinACBsinBAC.由BAC120，知ACB为锐角，则cosACB.由ACB30，得cos cos(ACB30)cosACBcos 30sinACBsin 30.题型二 平面几何中的解三角形问题【题型要点】与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路求解平
6、面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系具体解题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果【例1】(2020湖南衡阳第三次联考)如图，在平面四边形ABCD中，0DAB，AD2，AB3，ABD的面积为，ABBC.(1)求sinABD的值；(2)若BCD，求BC的长【答案】（1） （2）【解析】(1)因为ABD的面积SADABsinDAB23sinDAB，所以sinDAB.又0DAB，所以DAB，所以cosD
7、ABcos .由余弦定理得BD，由正弦定理得sinABD.(2)因为ABBC，所以ABC，sinDBCsin(ABD)cosABD.在BCD中，由正弦定理可得CD.由余弦定理DC2BC22DCBCcosDCBBD2，可得3BC24BC50，解得BC或BC(舍去)故BC的长为.【例2】如图，在平面四边形ABCD中，ABC，ABAD，AB1.(1)若AC，求ABC的面积；(2)若ADC，CD4，求sinCAD.【答案】（1）；（2）【解析】(1)在ABC中，由余弦定理得，AC2AB2BC22ABBCcosABC，即51BC2BC，解得BC，所以ABC的面积SABCABBCsinABC1.(2)设C
8、AD，在ACD中，由正弦定理得，即，在ABC中，BAC，BCA()，由正弦定理得，即，两式相除，得，即4(sin cos )sin ，整理得sin 2cos .又因为sin2cos21，所以sin ，即sinCAD.题型三 与三角形有关的最值(范围)问题【题型要点】1.解三角形问题中，求解某个量(式子)的最值(范围)的基本思路为：要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大2.求解
9、三角形中的最值、范围问题的2个注意点(1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化(2)注意题目中的隐含条件，如本例中锐角三角形的条件，又如ABC，0A，bcabc，三角形中大边对大角等【例1】(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asinbsin A.(1)求B；(2)若ABC为锐角三角形，且c1，求ABC面积的取值范围【答案】（1）B60（2）【解析】(1)由题设及正弦定理得sin Asinsin Bsin A.因为sin A0，所以sinsin B.由ABC180，可得sincos，
10、故cos2sincos.因为cos0，故sin，因此B60.(2)由题设及(1)知ABC的面积SABCa.由正弦定理得a.由于ABC为锐角三角形，故0A90，0C90.由(1)知AC120，所以30C90，故a2，从而SABC.因此，ABC面积的取值范围是【例2】(2020宁德模拟)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且2cb2acos B，a.(1)若c，求ABC的面积；(2)若ABC为锐角三角形，求bc的取值范围【答案】（1）；（2）(，)【解析】(1)2cb2acos B，由正弦定理得2sin C sin B2sin Acos B，2sin(AB)sin B2sin Ac
11、os B，2cos Asin Bsin B.B(0，)，sin B0，cos A.又A(0，)，A.由余弦定理得7b232b，即b23b40，(b4)(b1)0，b4或b1(舍去)，SABCbcsin A4.(2)由(1)知A.由正弦定理得，2，bc2sin Bsin(B)2(sin Bcos B)2sin(B)ABC是锐角三角形，B，B，sin(B)，bc(，)二、高效训练突破一、选择题1一艘船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15方向，这时船与灯塔的距离为()A15 km B30 kmC45 km D60
12、 km【答案】B【解析】作出示意图如图所示依题意有AB15460，DAC60，CBM15，MAB30，AMB45.在AMB中，由正弦定理，得，解得BM30.2如图，在离地面高400 m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15，山脚A处的俯角为45，已知BAC60，则山的高度BC为()A700 m B640 m C600 m D560 m【答案】C【解析】在RtAMD中，AM400(m)，在MAC中，AMC451560，MAC180456075，MCA180AMCMAC45，由正弦定理得AC400(m)在RtABC中，BCACsinBAC400600(m)3.一名学生在河岸上紧靠河边笔直行走，某时
13、刻测得河对岸靠近河边处的参照物与学生前进方向成30角前进200 m后，测得该参照物与前进方向成75角，则河的宽度为()A50(1)mB100(1)mC50 m D100 m【答案】A【解析】如图所示在ABC中，BAC30，ACB753045，AB200 m，由正弦定理，得BC100(m)，所以河的宽度为BCsin 7510050(1)(m)4.如图所示，一座建筑物AB的高为(3010) m，在该建筑物的正东方向有一座通信塔CD.在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别是15和60，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30，则通信塔CD的高为()A30 m B60 mC30 m D4
