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1、【专项冲击波】2013年高考数学 讲练测系列 专题12 数学思想方法（教师版）【考纲解读】1.熟练掌握函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想.2.能够对所学知识进行分类或归纳,能应用数学思想方法分析和解决问题,系统地把握知识间的内在联系.【考点预测】1.函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点，也是高考的一个热点。对函数试题的设计仍然会围绕几个基本初等函数和函数的性质、图象、应用考查函数知识；与方程、不等式、解析几何等内容相结合，考查函数知识的综合应用；在函数知识考查的同时，加强对函数方程、分类讨论、数形结合、等价转化等数
2、学思想方法的考查。2.预测在今年的高考中,数形结合与分类讨论思想仍是考查的一个热点，数形结合的考查方式常以数学式、数学概念的几何意义、函数图象、解析几何等为载体综合考查,分类讨论思想的考查重点为含有参数的函数性质问题、与等比数列的前n项和有关的计算推证问题、直线与圆锥曲线的位置关系不定问题等。3.预测在今年的高考中,运用化归与转化思想解题的途径主要有：借助函数、方程（组）、辅助命题、等价变换、特殊的式与数的结构、几何特征进行转化,其方法有:正反转化、数形转化、语义转化、等与不等、抽象问题与具体问题化归，一般问题与特殊问题化归，正向思维与逆向思维化归。【要点梳理】1.函数与方程思想：我们应用函数
3、思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。2.数形结合的思想:是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧,特别是在解选择与填空题时发挥着奇特功效.具体操作时,应注意以下几点:(1)准确画图,注意函数的定义域;(2)用图象法讨论方程的解的个数.3与分类讨论有关的知识点有：直线的斜
4、率分为存在和不存在两种情形、等比数列中的公比和、由参数的变化引起的分类讨论、由图形的不确定性引起的分类讨论、指对函数的底数分为和两种情形等。分类的原则是：不重复、不遗漏、分层次讨论。分类讨论的一般流程是：明确讨论的对象、选择分类的标准、逐类进行讨论、归纳整合。4转化与化归常用的方法有：直接转化法、换元法、数形结合法、构造法、坐标法、类比法、特殊化方法等。 【考点在线】考点一 函数与方程思想函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的
5、性质是：f(x)、f(x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。例1. (2012年高考湖北卷文科3) 函数f(x)=xcos2x在区间0,2上的零点个数为( )A 2 B 3 C 4 D 5练习1: (2012
6、年高考北京卷文科5)函数的零点个数为（ ）（A）0 （B）1（C）2 （D）3【答案】B【解析】的零点，即令，根据此题可得，在平面直角坐标系中分别画出幂函数和指数函数的图象，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选B.考点二 数形结合思想 数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。数形结合就是根据数学问题
7、的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立
8、关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。例2. 若方程lg(x3xm)lg(3x)在x(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围。【解析】 原方程变形为 ,即：,设曲线y(x2) , x(0,3)和直线y1m，图像如图所示.由图可知： 当1m0时，有唯一解，m1; 当11m4时，有唯一解，即3m0, m1或3m0此题也可设曲线y(x2)1 , x(0,3)和直线ym后画出图像求解。【名师点睛】将对数方程进行等价变形，转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题，再利用二次函数的图像进行解决.【备考提示】：一般地，方程的解、不等式的解集、函数的性质等进行讨论时，可以借助
9、于函数的图像直观解决，简单明了。此题也可用代数方法来讨论方程的解的情况，还可用分离参数法来求（也注意结合图像分析只一个x值）.练习2：(2012年高考天津卷文科14)已知函数的图像与函数的图像恰有两个交点，则实数的取值范围是 .【答案】或。【解析】函数，当时，当时，综上函数，做出函数的图象，要使函数与有两个不同的交点，则直线必须在蓝色或黄色区域内，如图，则此时当直线经过黄色区域时，满足，当经过蓝色区域时，满足，综上实数的取值范围是或.考点三 分类讨论思想例3. (2012年高考浙江卷文科21)（本题满分15分）已知aR，函数（1）求f(x)的单调区间（2）证明：当0x1时，f(x)+ 0.则有
10、01-0+1减极小值增1所以.当时，.故.【名师点睛】本题综合考察导数的概念、性质、求导法则、导数的应用、分类讨论等概念、性质、方法和思想，通过分类讨论确定函数的最值,要深入理解和把握并进行拓展.【备考提示】：分类讨论思想是高考的热点,年年必考,深刻领会分类讨论的思想是解决好本类题目的关键.练习3：(2012年高考广东卷文科21)（本小题满分14分）设，集合，.（1）求集合（用区间表示）（2）求函数在内的极值点. 当时，则恒成立，所以综上所述，当时，；当时，（2）， 令，得或 当时，由（1）知因为，所以，所以随的变化情况如下表：0极大值所以的极大值点为，没有极小值点 当时，由（1）知所以随的变
11、化情况如下表：00极大值极小值所以的极大值点为，极小值点为综上所述，当时，有一个极大值点，没有极小值点；当时，有一个极大值点，一个极小值点.考点四 转化与化归的思想等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。在数学操作中实施转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁
12、琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。按照这些原则进行数学操作，转化过程省时省力，有如顺水推舟，经常渗透等价转化思想，可以提高解题的水平和能力.例4. 若x、y、zR且xyz1，求(1)( 1)( 1)的最小值。【名师点睛】对所求式进行等价变换：先通分，再整理分子，最后拆分。将问题转化为求的最小值，则不难由平均值不等式而进行解决.本题的关键是将所求式进行合理的变形，即等价转化,此题属于代数恒等变形题型，即代数式
13、在形变中保持值不变.【备考提示】：熟练转化与化归的思想是解答好本题的关键.练习4. (2012年高考全国卷文科8)已知正四棱柱中 ，为的中点，则直线与平面的距离为（ ）（A） （B） （C） （D）【考题回放】1. (2012年高考北京卷文科1)已知集合A=xR|3x+20 B=xR|（x+1）(x-3)0 则AB=（ ）A（-，-1） B（-1，-） C（-,3） D (3,+)【答案】D【解析】和往年一样，依然的集合(交集)运算，本次考查的是一次和二次不等式的解法。因为，利用二次不等式可得或画出数轴易得：故选D2.(2012年高考山东卷文科10)函数的图象大致为（ ）【答案】D【解析】函数
14、为奇函数，所以图象关于原点对称，排除A,令得，所以，函数零点有无穷多个，排除C,且轴右侧第一个零点为，又函数为增函数，当时，所以函数，排除B，选D.3.(2012年高考山东卷文科12)设函数，.若的图象与的图象有且仅有两个不同的公共点，则下列判断正确的是（ ） (A)(B)(C)(D)由此得.不妨设，则.所以，比较系数得，故.，由此知，故答案为B.4(2012年高考湖南卷文科9)设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2的偶函数，是f(x)的导函数，当时，0f(x)1；当x（0，） 且x时 ，则函数y=f(x)-sinx在-2，2 上的零点个数为（ ）A .2 B .4 C.5 D. 8 5(2012年高考北京卷文科14)已知，若，或，则m的取值范围是_。【答案】【解析】首先看没有参数，从入手，显然时，；时，。而对，或成立即可，故只要，(*)恒成立即可当时，不符合(*)式，舍去；当时，由0得，并不对成立，舍去；当时，由0，注意，故，所以，即，又，故，所以，又，故，综上，的取值范围是。6.(2011年高考江苏卷14)设集合, , 若 则实数m的取值范围是_7. （2012年高考江苏卷18）（本小题满分16分）已知a，b是实数，1和是函数的两个极值点（1）求a和b
