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1、教育资源 教育资源 第 1 章综合测评卷 一、 选择题 ( 每题 3 分，共 30 分) 1. 下列各式中 ，y 是 x 的二次函数的是( C). A.x 2+2y2=2 B.x=y2 C.3x2-2y=1 D. 2 1 x +2y-3=0 2. 对于二次函数y=(x-1) 2+3 的图象 ，下列说法正确的是 ( C). A.开口向下B.对称轴是直线x=-1 C.顶点坐标是 (1 ， 3)D.与 x 轴有两个交点 （ 第 3 题） 3. 如图所示 ，一边靠墙 ( 墙有足够长 ) ，其他三边用12m长的篱笆围成一个矩形(ABCD)花园 ， 这个矩形花园的最大面积是( C). A.16m 2 B.
2、12m2 C.18m 2 D. 以上都不对 4. 如果抛物线y=mx 2+(m-3)x-m+2 经过原点 ，那么 m的值等于 ( C). A.0B.1 C.2D.3 5. 如图所示 ，直线 x=1 是抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴 ，那么有 ( D). A.abc 0 B.ba+c C.a+b+c0 D.c2b ( 第 5题) ( 第 6题) ( 第 7题) ( 第 8题) 6. 已知二次函数的图象(0 x3)如图所示 . 关于该函数在所给自变量的取值范围内， 下列说 法中正确的是 ( C). A.有最小值0，有最大值3B.有最小值 -1 ，有最大值0 C.有最小值 -1 ，有最大值3
3、D.有最小值 -1 ，无最大值 7. 如图所示 ，抛物线 y=ax 2+bx+c 的顶点为点 P(-2 ，2)，与 y 轴交于点 A(0，3). 若平移该抛 物线使其顶点P由 (-2 ，2) 移动到 (1 ，-1) ，此时抛物线与y 轴交于点A，则 AA 的长度为 ( A). A.3 4 3 B.2 4 1 C.32 D.3 8. 如图所示 ，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽度 AB=8m ，然后用一根长4m的小竹竿CD竖直地接触地面和门的内壁，测得 AC=1m ，则门高 OE 为( B). 教育资源 教育资源 A.9m B. 7 64 mC.8.7mD.9.
4、3m 9. 已知二次函数y=x 2+bx+c 与 x 轴只有一个交点 ，且图象过A(x1，m)， B(x1+n，m)两点 ， 则 m ，n 满足的关系为(D). A.m= 2 1 n B.m= 4 1 n C.m= 2 1 n 2 D.m= 4 1 n 2 10. 已知二次函数y=-(x-1) 2+5，当 m xn 且 mn 0 时，y 的最小值为 2m ，最大值为2n， 则 m+n的值为 ( D). A. 2 5 B.2 C. 2 3 D. 2 1 （第 10 题答图 ） 【解析 】二次函数y=-(x-1) 2 +5的大致图象如答图所示： 当 m 0 xn1 时，当 x=m时 y 取最小值
5、， 即 2m=-(m-1) 2+5， 解得 m=-2或 m=2(舍去 ). 当 x=n 时 y 取最大值 ， 即 2n=-(n-1)2+5， 解得 n=2 或 n=-2( 均不合题意 ，舍去 ). 当 m 0 x1n 时，当 x=m时 y 取最小值 ，由 知 m=-2. 当 x=1 时 y 取最大值 ，即 2n=-(1-1) 2+5，解得 n= 2 5 ，或 x=n 时 y 取最小值 ，x=1 时 y 取最大值 ，2m=-(n-1) 2+5，n= 2 5 ，m= 8 11 . m 0， 此种情形不合题意. m+n= -2+ 2 5 = 2 1 . 故选 D. 二、 填空题 ( 每题 4 分，共
6、 24 分) 11. 如果某个二次函数的图象经过平移后能与y=3x 2 的图象重合 ，那么这个二次函数的表达 式可以是 y=3 （x+2） 2+3 ( 只要写出一个 ) 12. 如图所示 ，抛物线y=ax 2+bx+c(a 0) 的对称轴是过点 (1，0) 且平行于y 轴的直线 . 若点 P(5，0) 在抛物线上 ，则 9a-3b+c 的值为 0 . （第 12 题）（第 13 题）(第 14 题 ) ( 第 15 题) 13. 如图所示 ，抛物线 y=ax 2+bx+c 与 x 轴相交于点 A， B(m+2 ， 0), 与 y 轴相交于点C，点 D 在该抛物线上 ，坐标为 (m，c) ，则点
7、 A的坐标是 (-2,0) . 14. 如图所示 ，将两个正方形并排组成矩形OABC ，OA和 OC分别落在x 轴和 y 轴的正半轴上. 教育资源 教育资源 正方形 EFMN 的边 EF 落在线段CB上，过点 M ，N 的二次函数的图象也过矩形的顶点B，C， 若三个正方形边长均为1，则此二次函数的表达式为 y=- 3 4 x 2+ 3 8 x+1 15. 某种工艺品利润为60 元/ 件，现降价销售 ，该种工艺品销售总利润w(元) 与降价x( 元) 的函数关系如图所示. 这种工艺品的销售量y（ 件） 关于降价x（ 元） 的函数表达式为 y=60+x 16. 已知抛物线y=a(x-1)（x+ a
8、2 ）的图象与x 轴交于点A，B，与 y 轴交于点 C，若ABC为 等腰三角形 ，则 a 的值是2 或 3 4 或 2 51 三、 解答题 ( 共 66 分) 17.(6 分 )已知抛物线的顶点坐标是(2 ，-3) ，且经过点（ 1，- 2 5 ） (1) 求这个抛物线的函数表达式，并作出这个函数的大致图象 (2) 当 x 在什么范围内时， y 随 x 的增大而增大 ？当 x 在什么范围内时， y 随 x 的增大而减小？ 【答案 】 (1) 设抛物线的函数表达式为y=a （ x-2 ） 2-3 ， 把(1,- 2 5 ) 代入 , 得- 2 5 =a-3 ， 即 a= 2 1 . 抛物线的函数
9、表达式为y= 2 1 x 2 -2x-1. 图略 . (2) 抛物线对称轴为直线x=2, 且 a0, 当 x2 时，y 随 x 的增大而增大 ；当 x2 时，y 随 x 的增大而减小. 18.(8 分 ) 今有网球从斜坡点O处抛出 ，网球的运动轨迹是抛物线y=4x- 2 1 x 2 的图象的一段 ， 斜坡的截线OA是一次函数y= 2 1 x 的图象的一段，建立如图所示的平面直角坐标系 ( 第 18 题) (1) 求网球抛出的最高点的坐标 (2) 求网球在斜坡上的落点A的竖直高度 【答案 】(1) y=4x - 2 1 x 2=- 2 1 （x-4 ） 2 +8， 网球抛出的最高点的坐标为（4，
10、 8）. (2) 由题意得4x- 2 1 x 2= 2 1 x, 解得 x=0 或 x=7. 当 x=7 时，y= 2 1 7= 2 7 . 网球在斜坡的落点A 的垂直高度为 2 7 . 教育资源 教育资源 19.(8 分 )若直线 y=x+3 与二次函数y=-x 2+2x+3 的图象交于 A， B两点 ， (1) 求 A，B两点的坐标 (2) 求OAB的面积 (3)x为何值时 ， 一次函数的值大于二次函数的值？ 【答案 】(1) 由题意得 32 3 2 xxy xy ，解得 3 0 y x 或 4 1 y x . A， B 两点的坐标分别 为（ 0，3） ， （1，4）. (2) A， B两
11、点的坐标是 （0，3） ， （1，4） ，OA=3 ， OA边上的高线长是1. S OAB= 2 1 31= 2 3 . (3) 当 x0 或 x1 时，一次函数的值大于二次函数的值. 20. （10 分）随着地铁和共享单车的发展， “ 地铁 +单车 ” 已成为很多市民出行的选择，李华从 文化宫站出发 ，先乘坐地铁 ，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共 享单车回家 ，设他出地铁的站点与文化宫的距离为x(km) ，乘坐地铁的时间y1(min) 是关于 x 的一次函数 ，其关系如下表所示： 地铁站A B C D E x(km) 8 9 1 11.5 13 y1(min) 1
12、8 2 22 25 28 (1) 求 y1关于 x 的函数表达式. (2) 李华骑单车的时间也受x 的影响 ，其关系可以用y2= 2 1 x 2-11x+78 来描述 ，请问 ：李华应 选择在那一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？ 并求出最短时间. 【答案 】(1) 设 y1=kx+b，将(8 ，18)， (9 ，20) 代入 ，得 209 188 bk bk , 解得 2 2 b k . y 1关 于 x 的函数表达式为y1=2x+2. 教育资源 教育资源 (2) 设李华从文化宫回到家所需的时间为y. 则 y=y1+y2=2x+2+ 2 1 x 2-11x+78= 2 1 x
13、2- 9x+80. 当 x=9 时，y 有最小值 ，ymin= 2 1 4 980 2 1 4 2 =39.5. 李华应选择在B 站出地铁 ，才能使他从 文化宫回到家所需的时间最短，最短时间为39.5min. 21. （10 分）已知二次函数y=ax 2+bx+ 2 1 (a 0，b 0)的图象与x 轴只有一个公共点A. (1) 当 a= 2 1 时，求点 A的坐标 . (2) 过点 A的直线 y=x+k 与二次函数的图象相交于另一点B，当 b-1 时，求点 B的横坐标m 的取值范围 . 【答案 】(1) 二次函数y=ax 2+bx+ 2 1 (a 0， b0) 的图象与x 轴只有一个公共点A
14、， =b 2- 4a 2 1 =b 2- 2a=0.a= 2 1 ， b 2=1.b 0， b=- 1. 二次函数的表达式为 y= 2 1 x 2-x+ 2 1 .当 y=0 时， 2 1 x 2-x+ 2 1 =0，解得 x1=x2=1，A(1， 0). (2) b 2=2a，a= 2 1 b 2，y= 2 1 b 2x2+bx+ 2 1 = 2 1 (bx+1) 2. 当 y=0 时 ，x=- b 1 ，A （- b 1 ，0）. 将点 A（ - b 1 ,0 ）代入 y=x+k，得 k= b 1 . 由 b xy bxxby 1 2 1 2 1 22 消去 y 得 2 1 b 2x2 +
15、(b-1)x+ 2 1 - b 1 =0， 解得 x1=- b 1 ， x2= 2 2 b b . 点 A的横坐标为 - b 1 ， 点 B的横坐标 m= 2 2 b b . m= 2 2 b b =2（ 2 1 b - b2 1 ）=2（ b 1 - 4 1 ） 2- 8 1 . 2 0， 当 b 1 4 1 时， m 随 b 1 的增大而减小. -1 b 0， b 1 - 1. m 2 （ -1- 4 1 ） 2- 8 1 =3，即 m 3. 22.(12分) 设函数 y=kx 2+(2k+1)x+1(k 为实数 ) (1) 写出符合条件的两个函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一平面直
16、角坐标系内， 用描点法画出这两个函数的图象 (2) 根据所画的函数图象， 提出一个对任意实数k，函数的图象都具有的特征的猜想，并给 教育资源 教育资源 予证明 (3) 对任意负实数k，当 x0，函数图象与 x 轴有两个交点, 函数 y=kx 2+(2k+1)x+1 的图象与x 轴至少有1 个交点 . (3)只要写出的m 1 就可以 .k0，函数y=kx 2+(2k+1)x+1 的图象在对称轴直线x= k k 2 12 的左侧，y 随 x 的增大而增大.由题意得 m k k 2 12 .当 k 1.m 1. 23.(12 分)如图 1 所示，点 P(m，n)是抛物线y= 4 1 x 2-1 上任意一点， l 是过点 (0，-2)且与 x 轴 平行的直线，过点P 作直线 PH
