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1、欢迎使用 部编本 2017-2018 学年第二学期赣州市十四县（市）期中联考 高三理科数学试卷 一、选择题（本大题共12 个小题，每小题5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. ） 1. 设全集，集合，则为 （） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】由题意得， ， 选 D 2. 已知复数满足， 是 的共轭复数则（） A. B. 1 C. D. 【答案】 C 【解析】由题意得， ， 选 C 3. 以下有关命题的说法错误 的是（ ） A. 命题“若，则”的逆否命题为“若，则” B. “”是“”成立的必要不充分条件 C. 对于命题，使得，则，均有 D.
2、 若为真命题，则与 至少有一个为真命题 【答案】 D 【解析】 对于 A. 命题“若，则”的逆否命题为“若，则” 正确： 对于 B. “”则“”，故“”是“”成立的必要不充 分条件，正确； 欢迎使用 部编本 对于 C. 对于命题，使得，则，均有 正确； 对于 D.若为真命题，则与 至少有一个为真命题，故D错误 . 故选 D 4. 设 f(x) 为定义在R上的奇函数，当时，（b 为常数），则 f(-2)=（） A. 6 B. -6 C. 4 D. -4 【答案】 A . ， ， 选 A 5. 设等差数列的前n项和为，若，且，则的值是（） A. 8 B. 10 C. 4 D. 4或 10 【答案】
3、 A 【解析】由题意得，解得； ，解得 等差数列的公差， 选 A 6. 已知为单位向量，则的最大值为（） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】 C 【解析】设向量的夹角为 由题意得， ，当时等号成立， 故的最大值为2选 C 欢迎使用 部编本 7. 已知，执行下面的程序框图，如果输入的，那么输出的的值为 （） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】 B 【解析】由题意得 所以输入的 执行如图所示的程序，可得： ，不满足条件，继续运行； ，不满足条件，继续运行； ，满足条件，停止运行，输出4选 B 8. 设，满足约束条件，则目标函数z=x+y 的最优解 (x,y)是（） A. B
4、. C. D. 欢迎使用 部编本 【答案】 B 【解析】 作出表示的可行域，如图三角形内部及边界即为所作可行域，由图知平移 至点处达到最小值，联立，解得，即，目标函数 取最小值时的最优解是，故选 B. 【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数 最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）； （2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最 后通过的顶点就是最优解）； （3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 9. 某几何体的三视图如图所示，则此几何体的各面中最大面的面积为（） A.
5、 B. C. D. 【答案】 B 【解析】由三视图可得，该几何体为如图所示的三棱锥 欢迎使用 部编本 结合三视图中的数据可得， ，故此几何体的各面中最大面的面积为选 B 10. 已知函数的图象的一个对称中心为，且，则的最小值 为（） A. B. 1 C. D. 2 【答案】 A 【解析】由题意得或， 或， 或， 又， 或 的最小值为选 A 11. 已知双曲线：的左右焦点分别为，为双曲线上一点， 为双曲线C渐近线上一点，均位于第一象限，且，则双曲线 的离心率为（） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】由题意得，双曲线在第一、三象限的渐近线为，设点 Q坐标为， 欢迎使用 部编本 则， ，
6、 ， 设，由得， ， ， 点在双曲线上， ， ， ， 解得或， 双曲线的离心率为2选 B 点睛： 求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等 式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的 值或取值范围 12. 设，令，若，则数列 的前项和为，当时，的最小整数值为（） A. 2017 B. 2018 C. 2019 D. 2020 【答案】 A 【解析】由题意得 欢迎使用 部编本 ， ， ， 由此可得， 故可归纳得， ， ， 由题意得，解得 的最小整数值为2017选 A 点睛： （1）常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类： 数的归纳
7、包括数字的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及 项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳 （2）数列求和时，要根据数列项的特点，选择适合的方法本题中由于是分式型数列求和， 故选用列项求和的方法 第卷（非选择题共90 分） 二、填空题（本大题共4 小题，每题5 分，满分20 分 ） 13. 若的展开式的常数项是_ 【答案】 5 【解析】二项式展开式的通项为，令， 得，即二项式展开式中的常数项是. 14. 记直线的倾斜角为，则的值为 _. 【答案】 【解析】直线的斜率为2， 欢迎使用 部编本 ，
8、， ， 答案： 15. 九章算术中研究盈不足问题时，有一道题是“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一 尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”题意即为“有厚墙五尺，两 只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进 一尺，以后每天减半，问几天后两鼠相遇？” 赣州古城墙某处厚33 尺，两硕鼠按上述方式 打洞，相遇时是第_天 （用整数作答） 【答案】 6 【解析】由题意得 16. 为自然对数的底数，已知函数，若使得函数有三 个零点，则m的取值范围是 _ 【答案】 【解析】由得 欢迎使用 部编本 令， 则在上单调递减，且 又由得， 由得， 且当时，单调递
9、增； 当时，单调递减 所以当时有极大值，且极大值为 画出两函数的图象如图所示，结合图象可得，要使函数有三个零点， 需满足，解得 故所求m的取值范围是 答案： 点睛： 已知函数的零点个数（或方程根的个数）求参数取值范围时，一般借助函数的图象利用数形 结合的方法求解解题时可利用分离参数的方法使方程的一边只含有参数，而另一边是不含 参数的形式，然后在坐标系内画出函数的图象，并结合图象和零点个数来确定参数的取值范 围 三、解答题（共70 分） 17. 已知函数. （）求函数f(x) 的最小正周期和单调递减区间； （）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边， 若，的面积为， 求a边的长 . 【答案】
10、(1) 见解析 ;(2)5. 【解析】试题分析： （1）解析式可化为，由此可得最小正周期，将代入正弦函数的增区间， 欢迎使用 部编本 求得 x 的范围即可得到函数的单调增区间（2）由可得，根据的 面积为 可得，然后由余弦定理可得 试题解析： （1） 的最小正周期 由， 得, 函数的单调递减区间是 （2）由（ 1）得， ， ， . 又， ， 由余弦定理得， 又， ， 点睛：利用正、余弦定理求解三角形面积问题的题型与方法 (1) 利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的各个边角后，直接求三角形的面积 (2) 把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他各量 (3) 求三角形面积的最
11、值或范围，这时一般要先得到面积的表达式，再通过基本不等式、三角 函数的最值等方法求得面积的最值或范围 18. 在某单位的食堂中，食堂每天以10 元/ 斤的价格购进米粉，然后以 4.4 元/ 碗的价格出售， 欢迎使用 部编本 每碗内含米粉0.2 斤，如果当天卖不完，剩下的米粉以2元 / 斤的价格卖给养猪场.根据以往 统计资料，得到食堂每天米粉需求量的频率分布直方图如图所示，若食堂该天购进了80 斤米 粉，以（斤） （其中）表示米粉的需求量，（元）表示利润. （1）估计该天食堂利润不少于760 元的概率； （2）在直方图的需求量分组中，以区间中间值作为该区间的需求量，以需求量落入该区间的 频率作为
12、需求量在该区间的概率，求的分布列和数学期望. 【答案】 (1)0.65;(2)见解析 . 【解析】试题分析： (1) 由题意可得利润函数结合题意求解不等式有即. 则食 堂利润不少于760 元的概率是. (2) 由题意可知可能的取值为460，660，860， 960. 分别求得相应的概率有， ，. 据此得出分布列，然后计算数学期望有 . 试题解析： （1）一斤米粉的售价是元. 当时，. 当时，. 故 设利润不少于 760 元为事件， 利润不少于 760 元时，即. 解得，即. 由直方图可知，当时， . （2）当时，； 欢迎使用 部编本 当时，； 当时，； 当时，. 所以可能的取值为460，660
13、， 860，960. ， ， ， . 故的分布列为 . 19. 已知四棱锥，底面为菱形，为上的点，过的平面分别交 于点，且平面 （1）证明：； （2）当为的中点，与平面所成的角为，求平面AMHN与平面 ABCD所成锐二面角的余弦值 【答案】 (1) 见解析 ;(2). 【解析】试题分析： （1）连交于点，连，则得，进而可得平面，于是由线 面平行的性质可得，所以得 （2）由条件可得两两垂直，建立空间 直角坐标系，然后分别求出平面AMHN与平面ABCD的法向量，通过两法向量的夹角的余弦值 欢迎使用 部编本 可得所求 试题解析： （1）证明：连交于点，连 因为四边形为菱形， 所以，且为、的中点 因为
14、， 所以， 又且平面， 所以平面， 因为平面， 所以 因为平面，平面，平面平面， 所以， 所以 （2）由（ 1）知且， 因为，且为的中点， 所以， 又， 所以平面， 所以与平面所成的角为， 所以， 因为， 所以 分别以为轴，建立如图所示空间直角坐标系 设，则 ， 所以 设平面的法向量为， 欢迎使用 部编本 则，令，得 由题意可得平面的法向量为， 所以 所以平面AMHN与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为 20. 已知椭圆系方程：(，) ，是椭圆的焦点，是 椭圆上一点，且. （1）求的方程； （2） 为椭圆上任意一点，过且与椭圆相切的直线与椭圆交于，两点，点关于原 点的对称点为，求证：的面积为定
15、值，并求出这个定值 【答案】 (1);(2) 见解析 . 【解析】试题分析： 欢迎使用 部编本 试题解析： （1）由题意得椭圆的方程为：，即 ， 又为椭圆上一点， ，即， 又， , 椭圆的方程为 （2）解：当直线斜率存在时，设方程为, 由消去 y 整理得， 直线 与椭圆相切， ，整理得 设，则，且， 点到直线 的距离， 欢迎使用 部编本 同理由消去 y 整理得， 设， 则， ， 当直线斜率不存在时，易知 综上可得的面积为定值 点睛： （1）圆锥曲线中的定点、定值问题是高考中的常考题型，难度一般较大，常常把直线、圆及 圆锥曲线等知识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是函数思想、数形结合思想、 分类讨论思想的考查 （2）求定值问题常见的方法：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关直接 推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值 21. 已知函数. （1）若，求的单调区间； （2）若关于的不等式对一切恒成立，求实数的取值范围； （3）求证：对，都有. 【答案】 (1) 见解析 .(2)；(3) 证明见解析 【解析】试题分析： (1) 求解导函数有. 结合函数的定义域和导函数与原函数之间的关系可得的单调 增区间为，单调减区间为. (2) 二次求导可得. 分类讨论： 欢迎使用 部编本 当时，对一切恒成立 . 当时，对一切不恒成
