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1、教育资源 教育资源 1.5.2 综合法和分析法 1.了解综合法与分析法证明不等式的思维过程与特点. 2.会用综合法、分析法证明简单的不等式. 基础 初探 教材整理 1综合法 从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理，逐步推导，从而最 后导出要证明的命题，这种方法称为综合法. 已知 a0，1b0，则() A.aabab2B.ab2aba C.abaab 2 D.abab 2a 【解析】1b0，1b20b. 又 a0，abab2a. 【答案】D 教材整理 2分析法 从需要证明的命题出发， 分析使这个命题成立的充分条件，利用已知的一些 定理，逐步探索，最后达到命题所给出的条件(或者一个已证明
2、过的定理或一个 明显的事实 )，这种证明方法称为分析法. 已知 a0， 1 b 1 a1，求证： 1a 1 1b . 【证明】要证明1a 1 1b ， 只需证1a 1b 1， 即(1a)(1b)1， 只要证 abab0 成立. a0，1 b 1 a1， a0，b0， abab ab 0， 教育资源 教育资源 abab0 成立. 故1a 1 1b 成立. 质疑 手记 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： 小组合作型 用综合法证明不等 式 已知 a，b，c 是正数，求证： b2c2c2a2a 2b2 abc abc.
3、【精彩点拨】由 a，b，c 是正数，联想去分母，转化证明b2c2c2a2 a2b2abc(abc)，利用 x2y22xy 可证.或将原不等式变形为 bc a ac b ab c a bc后，再进行证明 . 【自主解答】法一： a，b，c 是正数， b2c2c2a22abc2，b2c2a2b22ab2c，c2a2a2b22a2bc， 2(b2c2c2a 2a2b2)2(abc2ab2ca2bc)， 即 b2c2c2a2a2b2abc(abc). 又 abc0， b2c2c2a2a2b2 abc abc. 教育资源 教育资源 法二： a，b，c 是正数， bc a ac b 2 bc a ac b
4、 2c. 同理 ac b ab c 2a，ab c bc a 2b， 2 bc a ac b ab c 2(abc). 又 a0, b0，c0， b2c2a2c2a2b2abc(abc). 故 b2c2c2a2a2b2 abc abc. 1.综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析 已知与求证之间、 不等式的左右两端之间的差异与联系，合理进行转换， 恰当选 择已知不等式 (切入点 )，这是证明的关键 . 2.综合法证明不等式的主要依据： (1)不等式的基本性质， (2)基本不等式及其 变形， (3)三个正数的算术 几何平均不等式等 . 再练一题 1.已知 a，b，c 为
5、ABC 的三条边，求证： abbcaca 2b2c20，b0，c0，a2b22ab，当且仅当 ab 时取等号 . b2c22bc，当且仅当 bc 时取等号， a2c22ac，当且仅当 ac 时取等号 . a2b2c2abbcac. 再证 a2b2c22ab2bc2ac. 法一：在ABC 中，abc，bac，cba，则 a2a(bc)，b2b(ac)， c2c(ba). 教育资源 教育资源 a2b2c2a(bc)b(ac)c(ab)， 即 a2b2c2bc， 0abc,0bca,0acb， (ab)2c2，(bc)2a2，(ac)2b2， (ab)2(bc)2(ac)2c2a2b2， 即 a2b
6、2c22ab2bc2ac. 综上，得 abbcaca2b2c2b0”，求证： ab 2 8a ab 2 ab ab 2 8b . 【证明】要证原不等式成立， 只需证 ab 2 4a ab2 ab ab 2 4b ， 即证 ab 2 a 2 (ab)2b0，所以只需证 ab 2 a ab ab 2 b ， 即 ab 2 a 1 ab 2 b ，即 b a1 a b. 只需证 b a1b0，b a1 a b成立， 原不等式成立 . 探究共研型 综合法与分析法的特 点 探究 1综合法与分析法证明不等式的逻辑关系是怎样的？ 【提示】综合法： A? B1? B2? ? Bn? B (已知)(逐步推演不等
7、式成立的必要条件)(结论). 分析法： B?B1?B2?Bn?A 教育资源 教育资源 (结论)(步步寻求不等式成立的充分条件)(已知). 在较复杂的不等式的证明中，往往需要把综合法与分析法结合起来使用. 探究 2如何理解分析法寻找的是充分条件？ 【提示】用分析法证明，其叙述格式是：要证明A，只需证明 B.即说明只 要有 B 成立，就一定有A 成立.因此分析法是 “执果索因 ”，步步寻求上一步成 立的充分条件 .分析法体现了数学思维中的逆向思维.逆求(不是逆推 )结论成立的 充分条件 . 探究 3综合法与分析法证明不等式的一般思路是什么？ 【提示】综合法的思路是 “由因导果 ”，也就是从已知的不
8、等式出发，不 断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出欲证的不等式； 分析法的思路是 “执果索因 ”，在表述中经常用符号 “?”，这里注意箭头的方向， 用分析法时， 一般用 “?”，用综合法时，一般用 “? ”，一般来说，无理不等式、三角不等 式以及含绝对值符号的不等式，采用分析法证明较方便. 设实数 x，y 满足 yx20，且 0a1，求证： loga(axby) 1 8loga2. 【精彩点拨】要证的不等式为对数不等式，结合对数的性质， 先用分析法 探路，转化为要证明一个简单的结论，然后再利用综合法证明. 【自主解答】由于 0a1，则 tlogax(x0)为减函数 . 欲证 loga(a
9、xay) 1 8loga2， 只需证 axay2a 1 8. yx20,0a1， xyxx2 x1 2 2 1 4 1 4. 教育资源 教育资源 当且仅当 x1 2时，(xy) max1 4. axya 1 4， axya 1 8. 又 axay2ax y(当且仅当 xy 取等号 ). 又 axay2a 1 8. 由于等号不能同时成立， 式等号不成立，即 axay2a 1 8成立. 故原不等式 loga(axay) 1 8loga2 成立. 1.通过等式或不等式运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从 而使原不等式易于证明 .体现了分析法与综合法之间互为前提，互相渗透，相互 转化的辩证
10、关系 . 2.函数与不等式综合交汇，应注意函数性质在解题中的运用. 再练一题 3.已知 x0，y0，求证： (x 2y2) 1 2 (x3y3) 1 3. 【证明】要证明(x 2y2) 1 2 (x 3y3) 1 3， 只需证 (x2y 2)3(x3y3)2， 即证 x63x4y23x2y4y6x62x3y3y6， 即证 3x4y23x2y42x3y3. x0，y0， x2y20， 即证 3x23y22xy. 3x 23y2x2y22xy， 3x 23y22xy成立. 教育资源 教育资源 (x2y2) 1 2 (x 3y3) 1 3. 构建 体系 综合法与分析法 综合法 由因寻果 分析法 执果
11、索因 定义与应用 1. 若 a，b，c 是常数，则“ a0，且 b24ac0”是“对任意的 xR，有 ax 2bxc0”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.即不充分也不必要条件 【解析】当 a0，b24ac0 时，ax2bxc0.反之， ax2bxc0 对任意的 xR 成立不能推出 a0，b24ac0.反例： ab0，c2. 【答案】A 2.要证 a2b21a2b20，只需证 () A.2ab1a2b20 B.a2b21a 4b4 2 0 C. ab 2 2 1a2b20 D.(a21)(b21)0 【解析】a2b21a2b2 (a21)(b21)0. 【答案】D
12、3.设 a0，b0，且 ab(ab)1，则() A.ab2( 21) B.ab21 C.ab( 21)2D.ab2( 21) 教育资源 教育资源 【解析】因为ab ab 2 ，所以 ab1 4(ab) 2， 1 4(ab) 2(ab)ab(ab)1， (ab)24(ab)40， 因为 a0，b0，所以 ab22 2成立(当且仅当 ab21 时取等 号). 【答案】A 4.已知 a0，b0 且 ab1，则 1 a 1 b 1 ab与 8 的大小关系是 _. 【导学号： 38000021】 【解析】a0， b0 且 ab1， 1ab2 ab0， 进而得 1 ab2， 于是得 1 ab4. 又 1
13、a 1 b 1 ab ab1 ab 2 ab2 1 ab8. 故1 a 1 b 1 ab8. 【答案】 1 a 1 b 1 ab8 5.设 a0，b0，c0.证明： (1)1 a 1 b 4 ab； (2) 1 2a 1 2b 1 2c 1 bc 1 ca 1 ab. 【证明】(1)a0，b0， 教育资源 教育资源 (ab) 1 a 1 b 2 ab 2 1 ab4， 1 a 1 b 4 ab. (2)由(1)知 1 a 1 b 4 ab. 同时， 1 b 1 c 4 bc ， 1 c 1 a 4 ca， 三式相加得： 2 1 a 1 b 1 c 4 bc 4 ca 4 ab， 1 2a 1 2b 1 2c 1 bc 1 ca 1 ab. 我还有这些不足： (1) (2) 我的课下提升方案： (1) (2)
