《大学概率论与数理统计复习资料》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大学概率论与数理统计复习资料（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、word 第一章随机事件及其概率 知识点：概率的性质事件运算古典概率 事件的独立性条件概率全概率与贝叶斯公式 常用公式 )()()()()()2(加法定理ABPBPAPBAP ),()()( 21 11 有限可加性两两互斥设 n n i i n i i AAAAPAP ),(0)( )()()()( 互不相容时 独立时与 BAABP BABPAPABP )()()()()5(ABPAPBAPBAP )()()()()(时当ABBPAPBAPBAP )0(,( )( )/()()()6( 21 1 in n i ii APAAA ABPAPBP 且的一个划分为其中 全概率公式 ),()(11)(
2、 21 11 相互独立时 n n i i n i i AAAAPAP )/()()/()()()4(BAPBPABPAPABP )(/)()/()3(APABPABP )( )/()( )/()( )/()7( 1 逆概率公式 n i ii ii i ABPAP ABPAP BAP )(/)()(/)()1(SLALAPnrAP word 应用举例 1、 已知事件,A B满足)()(BAPABP， 且6.0)(AP， 则)(BP（） 。 2、 已知事件,A B相互独立，,)(kAP6. 0)(,2 .0)(BAPBP， 则k （） 。 3、已知事件,A B互不相容， , 3.0)(AP)(,
3、5.0)(BAPBP则（） 。 4、若,3.0)(AP )(,5.0)(,4.0)(BABPBAPBP（） 。 5、,A B C是三个随机事件， CB，事件ACB与A的关系是 （） 。 6、5 张数字卡片上分别写着1，2，3，4，5，从中任取 3 张， 排成 3 位数，则排成3 位奇数的概率是（） 。 7、某人下午5:00 下班。他所积累的资料表明： 到家时间 5:305:40 5:405:50 5:506:00 6:00 以后 乘地铁0.3 0.4 0.2 0.1 乘汽车 0.2 0.3 0.4 0.1 某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车。 （1）试求他在5:405:50 到家的概率； （
4、2）结果他是5:47 到家的。试求他是乘地铁回家的概率。 解 （1） 设 1 A= 他是乘地铁回家的 ， 2 A= 他是乘汽车回家的， i B= 第i段 时 间 到 家 的 ，4, 3,2, 1i分 别 对 应 时 间 段 5:305:40，5:405:50，5:506:00，6:00 以后 则由全概率公式有 )|()()|()()( 2221212 ABPAPABPAPBP 由上表可知4. 0)|( 12 ABP，3.0)|( 22 ABP，5 .0)()( 21 APAP 35. 05. 03.04 .05 . 0)( 2 BP （2）由贝叶斯公式 7 4 35. 0 4.05. 0 )(
5、 )( )|( 2 21 21 BP BAP BAP 8、盒中 12 个新乒乓球，每次比赛从中任取3 个来用，比赛 后仍放回盒中，求：第三次比赛时取到3 个新球的概率。 看作业习题1: 4, 9, 11, 15, 16 word 第二章随机变量及其分布 知识点：连续型（离散型）随机变量分布的性质 连续型（离散型）随机变量分布（包括随机变量函 数的分布）常用分布 重要内容 ）（Rxxf0)( )()()(1 2121 xFxFxxxF单调递增，即）（ 1)(lim)( 0)(lim)(2 xFF xFF x x ）（ )()0()(3xFxFxF右连续，即）（ RxxF10)4(）（ 1 i i
6、 p 2分布律的性质 .)2, 1( , 10ipi 1.分布函数的性质 （1）非负性 （2）规范性 3.分布密度函数的性质 1)(dxxf （1）非负性 （2）规范性 word 4. 概率计算 5.常用分布 ）（或泊松分布PXX)( )0,.;1 , 0( , ! )(ke k kXP k 1221 ()()()P xXxP XxP Xx )()(aFaXP )0()()(aFaFaXP 2 1 )()( 21 x x dxxfxXxP 0)0()()(aFaFaXP a dxxfXaP)()( a dxxfaXP)()( 为连续型随机变量：X ),(,pnbXpnBX）或（记为 二项分布
7、: ),.1 , 0( ,)(nkqpCkXP knkk n 条件：较大且很小 泊松定理)( , ! )1(npe k ppC k knkk n word ，其他 均匀分布 0 , 1 )( ),( bxa ab xf baUX ，其他 指数分布 0 )0( ,0, )( )( xe xf EX x ),(, 2 1 )( ),( 2 2 2 )( 2 xexf NX x 正态分布 x xF)( 5.0)0()1( )(1)()2(xx 73.993| %45.952| %27.681| XP XP XP word 应用举例 1、设 2 ( )(0) x f xkex是某随机变量的密度函数，则
8、k（） 。 2、设随机变量 X的概率密度为) 22 (,cos 2 1 )(xxxf，则 )01(XP（） 。 3、设随机变量 X的分布函数为 ., 1 ,1,ln , 1,0 )( ex exx x xF则 )2(XP=（） 。 4、设),( 2 NX,满足)1()1(XPXP的参数（） 。 5、离散型随机变量X的分布律为 1 1 ()(1,2,3) ! P Xkk c k ，则c= （） 。 6、土地粮食亩产量（单位：kg）)60,360( 2 NX.按亩产量高低 将土地分成等级.若亩产量高于420kg 为一级，在 360420kg 间为二级， 在 315360kg 间为三等， 低于 31
9、5kg 为四级 .求等 级Y的概率分布。 (5.0)0(,8413.0)1(,7734.0)75.0() 解 3154 3603153 4203602 4201 X X X X Y 7、110 在长度为t的时间 (单位： h)间隔内收到的紧急呼救的 次数X服从参数为t 2 1 的泊松分布 ,而与时间间隔的起点无关. 求某一天中午12 时至下午 3 时至少收到1 次呼救的概率。 解X的分布律为),2, 1 ,0( ! ) 2 ( )( 2 k k t e kXP k t 中午 12 时到下午 3 时，表明 3t求)1(XP word 8、一批产品由8 件正品、 2 件次品组成。若随机地从中每次
10、抽取一件产品后，无论抽出的是正品还是次品总用一件正品 放回去，直到取到正品为止，求抽取次数X的分布律。 解X所有可能的取值为1,2,3 i A= 第i次取到正品 （3,2, 1i） 看作业习题2: 4，7, 17，20，24，26, 27，28 word 第三章多维随机变量及其分布 知识点：二维连续型（离散型）随机变量分布的性质 二维连续型（离散型）随机变量的分布（包括边际分布） 随机变量的独立性二维常用分布 内容提要 1.概率分布的性质 2.二维概率计算 3.边际密度函数计算 4.常用分布 ,2, 1, 0jipij离散型非负性 1 11ij ij p归一性 1),(dxdyyxf连续型归一
11、性 ;),()(dyyxfxf XdxyxfyfY),()( (,)( , ) G PX YGf x y dxdy 其他 ），（ ），（均匀分布 0 1 Dyx A yxf word 二维正态分布 5.随机变量的独立性 6.正态分布的可加性 )()(),(yFxFyxF YX ), 2, 1,(jippp jiij )()(),(yfxfyxf YX 2 12 2 12 11 (,) (1,2) , (,) iii n nn nii ii Nin N 设 且相互独立 则 ),(),( 2 22 2 11 NYNX ),(),( 2 2 2 121 NYX word 应用举例 1、设YX,的密度
12、函数 其他,0 0,0, , 2 yxke yxf yx 则k=（） 。 2 、 设 离 散 型 随 机 变 量(,)X Y的 联 合 分 布 律 为 (,) (1,1) (1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3) 1/ 61/ 91/181/ 3 X Y P 且YX ,相互独立，则（） 。 3、某箱中有100 件产品，其中一、二、三等品分别为70、 20、 10 件，现从中随机的抽取一件，记 等品抽到 其它 i Xi 1 0 ，3 ,2, 1i 求（ 1） 1 X和 2 X的联合分布律； （2）并求)( 21 XXP。 4、设随机变量),(YX在曲线 xy，xy围成的区域D里服从 均
13、匀分布，求联合概率密度和边缘概率密度。 5、设二维随机变量),(YX的概率密度为 其它0 1 4 21 ),( 22 yxyx yxf求)(XYP 6、设随机变量 321 ,XXX相互独立，并且均服从正态分布 3, 2, 1),( 2 iNX iii ，则 3 1 )( i iii bXaX（） 。 看作业习题3： 1,2,3,4,5,6,7,9,10，11,12,13,18 word 第四章随机变量的数字特征 知识点：随机变量的数学期望的性质与计算 随机变量的方差（协方差、相关系数）的性质与计算 主要内容 1、数学期望的计算 dxxxfXEpxXE XEX i ii )()()( ).(,1
14、 连续型离散型 求的分布已知）（ dxxfxgYEpxgYE YEXgYX i ii )()()()()( ).(),(,2 连续型离散型 求且的分布已知）（ dydxyxyfYEpyYE dydxyxxfXEpxXE YEXEYX R ji ijj R ij iji 2 2 ),()()( ),()()(:1 ).()(,),(4 连续型离散型 连续型离散型 方法 或求的联合分布已知）（ dydxyxfyxgZEpyxgZE ZEYXgZYX R ij ijji 2 ),(),()(),()( ).(),(),(3 连续型离散型 求，且的联合分布已知）（ dyyyfYEpyYE dxxxfX
15、EpxXE Yj j j Xi i i )()()( )()()( ,:2 . . 连续型离散型 连续型离散型 则先求出边际分布方法 word 2、性质 当随机变量相互独立时 3、方差的计算 4,、方差性质 5、协方差与相关系数 协方差的计算 EXEYEXYYXCOV),( DYDXYXCOV XY ),( 相关系数的计算 DYDX YXCOV XY ),( )()()()( 2121nn XEXEXEXXXE 1212 ()()( ); ()()()(). nn E XYE XE Y E X XXE XE XE X 2 ()()D XE XEX即 22 ()()()D XE XE X易证 2
16、 (2)()()D aXba D X 2 ,()()D aXa D X特别地 (3)()()( )2 ()( )D XYD XD YEXE XYE Y (1) ( )0D c ,()()( )XYD XYD XD Y特别地 当与独立时 12 :, n XXX推广 当相互独立时有 n i i n i i DXXD 11 )( (,)()( )Cov X YE XE XYE Y word 应用举例 1. 某农产品的需求量X(单位：吨 )服从区间 1200,3000 上的 均匀分布。若售出这种农产品1 吨，可赚 2 万元，但若销 售不出去，则每吨需付仓库保管费1 万元，问每年应准备 多少吨产品才可得到最大平均利润？ 解 设每年准备该种产品k 吨（ 1200k3000 ）,则利润 Y 为 （此时有库存） （此时无库存） kXXkX kXk XY )(2 2 )( )()(XgEYE 2. 设 随 机 变 量X和Y的 方 差 存 在 且 不 等 于 ， 则 ()()(
