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1、第三章 导数及其应用,3.1.2 导数的概念,1、平均变化率,一般的，函数在区间上 的平均变化率为,一.复习回顾：,2.求函数的平均变化率的步骤: (1)先计算函数值的改变量y=f(x2)-f(x1); (2)再计算自变量的改变量 (3)计算平均变化率,2、平均变化率其几何意义是: 表示曲线上两点连线（就是曲线的割线）的斜率。,求2时的瞬时速度？,我们先考察2附近的情况。任取一个时刻2，是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0. 当0时，在2之前； 当0时，在2之后。,二.新课学习,在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)=
2、 - 4.9 t2+ 6.5t +10.,在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.,当t = 0.01时,当t = 0.01时,当t = 0.001时,当t =0.001时,当t = 0.0001时,当t =0.0001时,t = 0.00001,t = 0.00001,t = 0.000001,t =0.000001,平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.,如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?,当t趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?,瞬时速度:,在局部以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限
3、，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。,思考： 如何求瞬时速度？,lim是什么意思？,在其下面的条件下求右面的极限值。,运动员在某一时刻0的瞬时速度如何表示?,、函数的平均变化率怎么表示？,思考：,导数的概念:,注意:1.平均变化率与导数的关系:,导数的作用：,在例2中，高度h关于时间t的导数是运动员的 瞬时速度；,在例1中，我们用的是平均膨胀率，那么半径r 关于体积v的导数是气球的瞬时膨胀率,导数可以描绘任何事物的瞬时变化率,小结： 由导数的定义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本步骤是：,注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负.自变量 的增量x的形式是多样的,但
4、不论x选择哪种形式, y也 必须选择与之相对应的形式.,即三步走：一差、二比、三极限,三.例题讲解,例2. 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单位: )为 f (x) = x2 7x+15 ( 0 x8 ) . 计算第2h和第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.,解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是,和,根据导数的定义,所以,同理可得,f (6)=5 说明在第6h附近，原油温度大约以5 /h的速度上升；,f (2)=-3说明在第2h附近，原油温度大约以3 /h的速度下降；,小结：导数的意义:,
5、C,-12,四.练习,由导数的定义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的步骤是：,小 结:,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率的定义。,(2)求平均变化率,(3)取极限,得导数,(1)求函数的增量,再见,(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该 点处的导数 (3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度. (4)求函数y=x+1/x在x=2处的导数.,三典例分析,例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数.,练习1、以初速度为v0(v00)作竖直上抛运动的物体，t 秒时的高度为h(t)=v0t-gt2,求物体在时刻t0时的 瞬时速度。,1
6、 2,所以物体在时刻t0处的瞬时速度为v0-gt0.,2.质点按规律s(t)=at2+1做直线运动(位移单位：m , 时间单位：s). 若质点在t=2时的瞬时速度为8m/s,求常数a的值。,a=2,3.函数f(x)=|x|在点x0=0处是否有导数？若有，求出来若没有， 请说明理由.,例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数.,三典例分析,题型一：求函数在某处的导数,例1.(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数,三典例分析,题型二：求函数在某处的导数,例1.(3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度.,三典例分析,题型二：求函数在某
7、处的导数,例2:(1)求函数y=x2在x=1处的导数; (2)求函数y=x+1/x在x=2处的导数.,练习:,思考： 物体作自由落体运动,运动方程为： 其中位移单位是m,时间单位是s,g=10m/s2.求： (1) 物体在时间区间2,2.1上的平均速度； (2) 物体在时间区间2,2.01上的平均速度； (3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度.,分析:,解:,(1)将 t=0.1代入上式，得:,(2)将 t=0.01代入上式，得:,例2质量为kg的物体，按照s(t)=3t2+t+4的规律做直线运动， （）求运动开始后s时物体的瞬时速度； （）求运动开始后s时物体的动能。,Thank you!,
8、1. 注意：这里的速度是指平均速度但运动员的平均 速度不一定能反映物体在某一时刻的运动情况。 2.定义：物体在某一时刻的速度为瞬时速度。,自由落体运动中，物体在不同时刻的速度是不一样的。,时间间隔 很小很小,例1、自由落体运动的运动方程为s= -gt2， 计算t从3s到3.1s， 3.01s ， 3.001s 各段时间 内的平均速度（位移的单位为m）。,1 2,所以,同理,解：设在2.9，3内的平均速度为v4，则,t1=3-2.9=0.1(s),s1=s(3)-s(2.9)= 0.5g32-0.5g2.92=0.295g(m),所以,设在2.99，3内的平均速度为v5，则,设在2.999，3内
9、的平均速度为v6，则,由上表可看出：当t0时，物体的速度趋近于一个确定的值3g,-,-,各种情况的平均速度,即在 t=3s 这一时刻的瞬时速度等于在 3s 到 (3+t)s 这段时间 内的平均速度当t0的极限，,让我们再来看一个例子,P,相切,相交,再来一次,例、,P,再来一次,设曲线C是函数 y=f(x) 的图象，在曲线C上取一点 P及P点邻近的任一点Q(x0+x,y0+y) , 过P,Q两点作割线，则直线PQ的斜率为,上面我们研究了切线的斜率问题,可以将以上的过程概括如下：,当直线PQ转动时，Q逐渐向P靠近，也即x 变小,当x0时，PQ无限靠近PT,因此：,设物体的运动方程是 s=s(t)
10、, 物体在时刻 t 的瞬时速度为 v ,就是物体在 t 到 t+t 这段时间内,当t0 时平均速度的极限 ，即,一般结论,注意：,1、函数应在点的附近有定义，否则导数不存在。,2、在定义导数的极限式中，x趋近于0 可正、可负，但不为0，而y可能为0。,3、导数是一个局部概念，它只与函数在x0 及其附近的函数值有关，与x无关。,4、若极限 不存在，则称函数在点x0处 不可导。,5、导数的物理意义：物体的运动方程 s=s(t)在t0处的导数 即在t0处的瞬时速度vt0,6、导数的几何意义：函数y=f(x)在x0处的导数即曲线在x0处的 切线斜率,7.导数可以描述任何事物的瞬时变化率瞬时变化率除了瞬时速度，切线的斜率 还有：点密度，国内生产总值(GDP)的增长率，经济学上讲的一切边际量等,练习:,导函数的概念:,题2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单位: )为 f (x) = x2 7x+15 ( 0 x8 ) . 计算第2h和第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.,练习: 计算第3h和第5h时原油的瞬时变化率, 并说明它们的意义.,
