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1、- 1 -北京市丰台区 2012 年高三二模 2012.5数学（文科）第一部分 （选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1复数 的虚部是i2(A)1 (B) 35(C) i(D) 3i52设 ， 是向量，命题“ 若 ，则 ”的否命题是abab(A)若 ，则(B) 若 ，则ab(C)若 ，则(D) 若 ，则3 设等比数列 的前 n 项和为 ，若 ， ，则 的值为nanS25144S(A) 152(B) 516(C) 6(D) 524如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M ，N，P，Q 分别是AA1，
2、A1D1，CC 1，BC 的中点，给出以下四个结论：A 1CMN； A1C平面 MNPQ；A 1C 与 PM 相交；NC 与 PM 异面其中不正确的结论是(A) (B) (C) (D) 5函数 ()sin()fxxR(A) 是偶函数，且在 上是减函数,+(B) 是偶函数，且在 上是增函数(,+)(C) 是奇函数，且在 上是减函数()(D) 是奇函数，且在 上是增函数6在ABC 中，BAC =90，D 是 BC 的中点，AB=4，AC =3，则 =ADBC(A) -7 (B) 72(C) 72(D) 77 已知函数 的图象如图所示，则函数 的图象可能是sin(0)yaxblog()ayxb QP
3、NMD1 C1A1 B1DCAB- 2 -(A) (B)(C) (D)8已知平面上四个点 ， ， ， 设 是四边形1(0,)A2(3,)3(24,)A4(,0)D及其内部的点构成的集合，点 是四边形对角线的交点，若集合1234A0P，则集合 S 所表示的平面区域的面积为0|,4iSPD(A) 16 (B) 8 (C) 4 (D) 2- 3 -开始结束， ，0S1n3a2a1n输出 S是否6n第二部分 （非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9已知集合 A =x2 x-x20 ，B =xx1 ，则 _ AB10某地区恩格尔系数 与年份 的统计数据如下表：(
4、%)y年份 x 2004 2005 2006 2007恩格尔系数 y(%) 47 45.5 43.5 41从散点图可以看出 y 与 x 线性相关，且可得回归方程为，则 =_，据此模型可预测 2012 年该地区405.2ybb的恩格尔系数(%)为_ 11已知 ，则 的值为_ cosincos212 执行如右图所示的程序框图，则输出的结果是_ 13 已知双曲线 上一点 M 到两个焦点的距离分别218xym为 20 和 4，则该双曲线的离心率为_ 14在平面直角坐标系中，若点 ， 同时满足：点 ， 都在函数 图象上；ABAB()yfx点 ， 关于原点对称，则称点对( , )是函数 的一个“姐妹点对”
5、 （规定点AB()yfx对( , )与点对( , )是同一个“姐妹点对” ） 那么函数 的24,0,xf“姐妹点对”的个数为_三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15.（本小题共 13 分）已知函数 1()cos(3sin)2fxx（）求 的值；6（）求函数 在区间 上的最小值，并求使 取得最小值时的 x()yfx0,()yfx的值- 4 -QPBACD16.（本小题共 13 分）某地区农科所为了选择更适应本地区种植的棉花品种，在该地区选择了 5 块土地，每块土地平均分成面积相等的两部分，分别种植甲、乙两个品种的棉花，收获时测得棉花的亩产量如下图所示： （
6、）请问甲、乙两种棉花哪种亩产量更稳定，并说明理由；（）求从种植甲种棉花的 5 块土地中任选 2 块土地，这两块土地的亩产量均超过种植甲种棉花的 5 块土地的总平均亩产量的概率17.（本小题共 14 分）如图所示，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，Q 是棱 A上的动点（）若 Q 是 PA 的中点，求证： PC/平面BDQ； （）若 PB=PD，求证：BD CQ；（）在（）的条件下，若 PA=PC，PB=3，ABC= 60，求四棱锥 P-ABCD 的体积18.（本小题共 13 分）已知等差数列a n的公差 ，该数列的前 n 项和为 ，且满足 0dnS235a（）求数列
7、a n的通项公式；（）设 ， ，求数列b n的通项公式1b*12()nabN19.（本小题共 14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 的中心在原点，焦点 ， 在 轴上，焦距为C1F2x， 是椭圆上一动点， 的面积最大值为 2P12PF（）求椭圆的标准方程；（）过点 的直线 交椭圆 于 两点，交 轴于点 ，若 ，(,0)Ml,AByN1AM01438725 519乙乙- 5 -，求证： 为定值2NBM1220.（本小题共 13 分）已知函数 f(x)=lnx， ，两函数图象的交点在 x 轴上，且在该点处切线相()bgax同（）求 a，b 的值；（）求证：当 x1 时，f(x )S乙甲所以乙
8、种棉花的平均亩产量更稳定 8 分（）从种植甲种棉花的 5 块土地中任选 2 块土地的所有选法有 (95，102)，(95，105) ，(95，107) ，(95，111) ，(102，105)，(102，107)，(102 ，111)，(105， 107)，(105，111) ，(107，111) 共 10 种，设“亩产量均超过种植甲种棉花的 5 块土地的总平均亩产量 ”为事件 A， 包括的基本事件为(105，107)，(105，111) ，(107，111)共 3 种 - 7 -OQPBACD所以 3()=10PA13 分答：两块土地的亩产量均超过种植甲种棉花的 5 块土地的总平均亩产量的概
9、率为 31017 证明：（ ）连结 AC，交 BD 于 O因为 底面 ABCD 为菱形， 所以 O 为 AC 中点 因为 Q 是 PA 的中点，所以 OQ/ PC， 因为 OQ 平面 BDQ，PC 平面 BDQ，所以 PC/平面 BDQ 5 分（）因为 底面 ABCD 为菱形，所以 ACBD ， O 为 BD 中点因为 PB=PD，所以 POBD 因为 POBD =O， 所以 BD 平面 PAC因为 CQ 平面 PAC，所以 BDCQ 10 分（）因为 PA=PC，所以 PAC 为等腰三角形 因为 O 为 AC 中点，所以 POAC由（）知 POBD，且 ACBD =O，所以 PO平面 ABC
10、D，即 PO 为四棱锥 P-ABCD 的高 因为四边形是边长为 2 的菱形，且 ABC=60，所以 BO= ，3所以 PO= 6所以 ，即 12623PABCDV2PABCDV14 分18 解：（ ）因为 352Sa所以 ，即 112()4da123ad因为 ， ， 250所以 2- 8 -所以 12ad所以 n6 分（）因为 ，*12()nanbN所以 ，12，23a 1nanb相加得 112na= = 13232n (4)13 分即 213nb19 解：（ ）设椭圆的标准方程为 21xyab因为焦距为 ，所以 c= 2当点 P 在短轴的顶点时， P 到 F1F2 的距离最大，所以此时PF
11、1F2 的面积最大，所以 ， 所以 ScbA b因为 ， 所以 ，224a24a椭圆方程为 1xy5 分（）依题意，直线 的斜率存在，可设为 ，则直线 ： lkl(1)ykx设 ， ， 1(,)Axy2(,)B联立 消 y 得 240()k 22(1)40kxk- 9 -显然 ，且 ， 021241kx241kx因为直线 交 轴于点 ，所以 lyN(0,)所以 ， ，且1(,)AMx1Axky1NAM所以 ，同理 12所以 . 12121212()83xxx即 为定值是 . 128314 分20 解：（ ）因为 与 的图象在 轴上有公共点 (1，0)，()fxgx所以 ，即 100ab又因为 ， ，()fx 2()x由题意 ，1g所以 ， 2ab4 分（）设 ，1()()ln()2Fxfgxx则 210 所以 在 时单调递减()x由 可得当 时， 即 10F1x()0Fx()fgx9 分（）由（）得， 1()ln2x()令 ，则kx1111ln()()()222kkk，- 10 -所以 ， 1ln()l()2kk1,23.kn将上述 n 个不等式依次相加得 ，1ln(.)2()n所以 1.l(1)l()232()n13 分（若用其他方法解题，请酌情给分）
