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1、第 1 页 共 10 页 北京市丰台区 2012 届高三年级第二学期统一练习（二）数学文2012.5第一部分 （选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1复数 i2的虚部是(A)1 (B) 35(C) i(D) 3i52设 a， b是向量，命题“若 ab，则”的否命题是(A)若 ，则 (B) 若 ab，则 (C)若 ，则 (D) 若 ，则3设等比数列 na的前 n 项和为 nS，若 2， 514，则 4S的值为(A) 152(B) 516(C) 6(D) 524如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M，
2、N，P，Q 分别是AA1，A 1D1，CC 1，BC 的中点，给出以下四个结论：A 1CMN；A 1C平面 MNPQ；A 1C 与 PM 相交； NC 与 PM异面其中不正确的结论是(A) (B) (C) (D) 5函数 ()sin()fxxR(A) 是偶函数，且在 ,+上是减函数(B) 是偶函数，且在 (,+)上是增函数(C) 是奇函数，且在 (,)上是减函数 (D) 是奇函数，且在 ,上是增函数6在ABC 中，BAC=90，D 是 BC 的中点，AB=4，AC=3，则 ADBC=(A) -7 (B) 72(C) 72(D) 77已知函数 sin(0)yaxb的图象如图所示，则函数 log(
3、)ayxb的图象可能是QPNMD 1 C1A1 B1DCAB第 2 页 共 10 页 开始结束， ，0S1n3a2a1n输出 S是否6n(A) (B)(C) (D)8已知平面上四个点 1(0,)A， 2(3,)， 3(24,)A， 4(,0)设 D是四边形1234A及其内部的点构成的集合，点 0P是四边形对角线的交点，若集合0|,4iSPD，则集合 S 所表示的平面区域的面积为(A) 16 (B) 8 (C) 4 (D) 2第二部分 （非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9已知集合 A =x2x -x20 ，B =xx1 ，则 AB_ 10某地区恩格尔
4、系数 (%)y与年份 的统计数据如下表：年份 x 2004 2005 2006 2007恩格尔系数 y(%) 47 45.5 43.5 41从散点图可以看出 y 与 x 线性相关，且可得回归方程为405.2yb，则 b=_，据此模型可预测 2012 年该地区的恩格尔系数(%)为_ 11已知 cosin，则 cos2 的值为_ 第 3 页 共 10 页 12执行如右图所示的程序框图，则输出的结果是_ 13已知双曲线218xym上一点 M 到两个焦点的距离分别为 20 和 4，则该双曲线的离心率为_ 14在平面直角坐标系中，若点 A， B同时满足：点 A， B都在函数 ()yfx图象上；点 A，
5、B关于原点对称，则称点对( , )是函数 ()yfx的一个“姐妹点对” （规定点对( , )与点对( , )是同一个“姐妹点对” ） 那么函数 24,0,xf 的“姐妹点对”的个数为_三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15.（本小题共 13 分）已知函数 1()cos(3sin)2fxx（）求 6的值；（）求函数 ()yfx在区间 0,上的最小值，并求使 ()yfx取得最小值时的 x的值16.（本小题共 13 分）某地区农科所为了选择更适应本地区种植的棉花品种，在该地区选择了 5 块土地，每块土地平均分成面积相等的两部分，分别种植甲、乙两个品种的棉花，收
6、获时测得棉花的亩产量如下图所示： （）请问甲、乙两种棉花哪种亩产量更稳定，并说明理由；（）求从种植甲种棉花的 5 块土地中任选 2 块土地，这两块土地的亩产量均超过种植甲种棉花的 5 块土地的总平均亩产量的概率17.（本小题共 14 分）01438725 519乙乙第 4 页 共 10 页 QPBACD如图所示，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，Q 是棱 A上的动点（）若 Q 是 PA 的中点，求证： PC/平面BDQ； （）若 PB=PD，求证：BD CQ；（）在（）的条件下，若 PA=PC，PB=3，ABC=60，求四棱锥 P-ABCD 的体积18.（本小题共
7、 13 分）已知等差数列a n的公差 0d，该数列的前 n 项和为 nS，且满足 235a（）求数列a n的通项公式；（）设 1b， *12()nabN，求数列b n的通项公式19.（本小题共 14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C的中心在原点，焦点 1F， 2在 x轴上，焦距为2， P是椭圆上一动点， 12PF的面积最大值为 （）求椭圆的标准方程；（）过点 (,0)M的直线 l交椭圆 于 ,AB两点，交 y轴于点 N，若 1AM，2NB，求证： 12为定值20.（本小题共 13 分）已知函数 f(x)=lnx， ()bgax，两函数图象的交点在 x 轴上，且在该点处切线相第 5 页
8、 共 10 页 同（）求 a，b 的值；（）求证：当 x1 时，f(x )S乙甲 ， 所以乙种棉花的平均亩产量更稳定 8 分（）从种植甲种棉花的 5 块土地中任选 2 块土地的所有选法有(95，102) ，(95，105)，(95，107)，(95，111)，(102，105)，(102，107)，(102 ，111)，(105 ， 107)，(105，111) ，(107，111) 共 10 种，设“亩产量均超过种植甲种棉花的 5 块土地的总平均亩产量”为事件 A， 包括的基本事件为(105，107)，(105，111) ，(107，111)共 3 种 所以 3()=10PA 13 分答：两
9、块土地的亩产量均超过种植甲种棉花的 5 块土地的总平均亩产量的概率为 31017证明：（）连结 AC，交 BD 于 O因为 底面 ABCD 为菱形， 所以 O 为 AC 中点 因为 Q 是 PA 的中点，所以 OQ/ PC， 第 7 页 共 10 页 因为 OQ平面 BDQ，PC 平面 BDQ，所以 PC/平面 BDQ 5 分（）因为 底面 ABCD 为菱形，所以 ACBD，O 为 BD 中点因为 PB=PD，所以 POBD 因为 POBD =O， 所以 BD 平面 PAC因为 CQ平面 PAC，所以 BDCQ 10 分（）因为 PA=PC，所以 PAC 为等腰三角形 因为 O 为 AC 中点
10、，所以 POAC由（）知 POBD，且 ACBD =O，所以 PO平面 ABCD，即 PO 为四棱锥 P-ABCD 的高 因为四边形是边长为 2 的菱形，且ABC=60，所以 BO= 3，所以 PO= 6所以 12623PABCDV，即 2PABCDV 14 分18解：（）因为 352Sa 所以 112()4da，即 123ad 因为 25， 0， 所以 2 所以 1ad 所以 2n 6 分（）因为 *1()nanbN，所以 12，第 8 页 共 10 页 23ab， 1nan 相加得 112nab = 13232n = (4) 13 分即213nb 19解：（）设椭圆的标准方程为21xyab
11、因为焦距为 2，所以 c= 当点 P 在短轴的顶点时，P 到 F1F2 的距离最大，所以此时PF 1F2 的面积最大，所以 2ScbA， 所以 b因为 4a， 所以 24a，椭圆方程为21xy 5 分（）依题意，直线 l的斜率存在，可设为 k，则直线 l： (1)ykx 设 1(,)Axy， 2(,)B， 联立240()k消 y 得 22(1)40kxk显然 ，且 212xk，21k因为直线 l交 y轴于点 N，所以 (0,)所以 1(,)AMx， 1Axky，且 1NAM第 9 页 共 10 页 所以 1x，同理 21x所以 1221212 1()83xx. 即 12为定值是 83. 14 分20解：（）因为 ()fx与 g的图象在 x轴上有公共点(1，0) ，所以 10，即 0ab又因为 ()fx， 2()x，由题意 1g，所以 2a， b 4 分（）设 1()()ln()2Fxfgxx，则 210 所以 ()x在 时单调递减由 10F 可得当 1x时， ()0Fx即 ()fgx 9 分（）由（）得， 1()ln2x ()令 kx，则1111ln()()()222kkk，所以 llnk， ,3.n将上述 n 个不等式依次相加得 11ln()(.)22()n，所以 1.l()l()23()n 第 10 页 共 10 页 13 分（若用其他方法解题，请酌情给分）
