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1、1教 案进 度课题名称 6.4 MATLAB 符 号 计 算 时 数 2应知 简单了解 MATLAB 符号表达式的基本运算函数和化简函数及替换函数。教学目标 应会 会运用 Matlab 求符号微积分、符号方程、及级数重点MATLAB 的符号微积分和符号方程求解教材分析 难点 MATLAB 的泰勒级数教学方法 讲授教学资源 教材、网上资源教具 投影仪教 学 内 容 时间分配一、符号对象1、创建符号变量和符号矩阵2、符号表达式的基本运算函数3、符号表达式的化简函数4、符号表达式的替换函数二、符号微积分1、符号极限2、符号求导3、符号积分4、积分变换三、符号方程求解1、代数方程2、符号微分方程求解四
2、、级数1、级数的符号求和2、函数的泰勒级数105555510101010105作业教学后记2内 容 备注6.4 MATLAB 符 号 计 算一、符号对象1、创建符号变量和符号矩阵MATLAB 的符号数学工具箱提供了两个 sym 和 syms 基本函数，用来创建符号变量和符号矩阵。 函数 sym 的调用格式为：符号变量名=sym（表达式 ）说明：函数 sym 可创建一个符号变量，表达式可以是字符、字符串、数学表达式或字符表达式等。 函数 syms 的调用格式：syms 符号变量名 1 符号变量名 2 符号变量名 3 说明：函数 syms 可一次创建多个符号变量。例 6.25 创建符号变量。 a=
3、sym(matlab)a =matlab b=sym(3*x2+4*x+7)b =3*x2+4*x+7在工作空间浏览器上可以看到 A、B、C 三个符号变量。使用 sym 函数和syms 函数也可以创建符号矩阵。符号矩阵是一个数组，它的元素是符号表达式。MATLAB 在内部把符号表达式表示成字符串，以与数字变量或运算相区别；否则，这些符号表达式几乎完全像基本的 MATLAB 命令。例 6.26 创建符号矩阵。 e=1 3 5;2 4 6;7 9 11; %建立数值矩阵 m=sym(e) %创建符号矩阵m = 1, 3, 5 2, 4, 6 7, 9, 11在命令窗口的显示中，数值矩阵只显示元素的
4、数值，而符号矩阵的每行3元素放在一对方括号内；在工作空间窗口显示的变量图标两者也不同，数值矩阵的图标为 ，符号矩阵（也称为符号对象）的图标为 ，二者很容易区分。2、符号表达式的基本运算函数符号表达式的运算与普通数值运算的方式不同，它的运算结果是符号表达式或符号矩阵。在 MATLAB 运算中，浮点运算速度最快，而符号计算占用时间和内存都比较多，但它的计算结果最精确。在默认情况下，当用函数 sym生成符号变量后，MATLAB 将对这些变量进行符号计算。在 MATLAB 符号计算工具箱中提供来了很多函数用于符号计算。下面将介绍一些常用的符号运算函数，如表 6-6 所示。表 6-6 常用的符号函数函数
5、格式 说明symadd(S1，S 2) 符号表达式 S1 加上符号表达式 S2symsub(S1，S 2) 符号表达式 S1 减去符号表达式 S2symmul(S1，S 2) 符号表达式 S1 乘上符号表达式 S2symdiv(S1， S2) 符号表达式 S1 除符号表达式 S2sympow(S，p) 符号表达式 S1 的 p 次幂， p 可以是表达式例 6.27 计算表达式 x3-1 与表达式 x-1 的和、差、积、商和乘方。 syms x s1=x3-1; s2=x-1; symadd(s1,s2)ans =x3-2+x symsub(s1,s2)ans =x3-x symmul(s1,s
6、2)ans =(x3-1)*(x-1) symdiv(s1,s2)ans =(x3-1)/(x-1) sympow(s1,s2)4ans =(x3-1)(x-1)3、符号表达式的化简函数符号数学工具箱提供了符号表达式的因式分解、展开、合并、化简、通分等函数，见表 6-7 所示。表 6-7 符号表达式的化简函数函数格式 说明 函数格式 说明collect(s，x) 合并自变量 x 的同幂系数 simple(s) 寻找表达式的最简型expand(s) 符号表达式 s 的展开 simplify(s) 符号表达式的化简factor(s) 因式分解 radsimp(s) 对含根式的表达式 s 化简num
7、den(s) 符号表达式 s 的分式通分 horner(s) 符号表达式 s 的嵌套形式例 6.28 对表达式 进行因式分解。13xf syms x %在命令窗口创建符号变量 x f=factor(x3-1) f =(x-1)*(x2+x+1)例 6.29 展开三角表达式 sin(a+b)。 s=sym(sin(a+b); %用 sym 函数创建符号变量 expand(s)ans =sin(a)*cos(b)+cos(a)*sin(b)例 6.30 化简分式(4x 2+8x+3)/(2x+1)。 syms x s=(4*x2+8*x+3)/(2*x+1); simplify(s)ans =2*
8、x+34、符号表达式的替换函数MATLAB 的符号数学工具箱提供了两个符号表达式的替换函数 subexpr和 subs，可以通过符号替换使表达式的输出形式化简，得到一个简单的表达式。 函数 Subexpr 的调用格式为：5R，SYM=subexpr(S，SYM)说明：此函数用变量 SYM（字符或字符串）的值代替符号表达式 S 中重复出现的字符串，R 是返回替换后的结果。 函数 subs 的调用格式：R=subs(S，old，new) 说明：该函数是用新的符号变量 new 替换原来符号表达式 S 中的变量old，R 是替换后的符号表达式。需要注意的，当变量 new 是数值形式时，显示的结果虽然是
9、数值，但它事实上是符号变量。要强制地求值需要用 vpa 函数。例 6.31 求表达式 在 x=1 时的代数值。132xclearclc syms x s=(3*x3+x2-1)/(x2+1); r=subs(s,x,1)r =(3*(1)3+(1)2-1)/(1)2+1) vpa(r) %强制求值ans =1.5000000000000000000000000000000二、符号微积分1、符号极限极限是微积分的基础，在 MATLAB 中，极限的求解是由 limit 函数实现的，其主要格式如表 6-8 所示。表 6-8 符号极限的函数格式函数格式 说明limit(s) s 为符号表达式。在系统默
10、认表达式中的自变量趋向于 0 时的极限。limit(s，a)a 为常数。计算符号表达式 s 中由默认自变量趋向于 a 条件下的极限。limit(s，x，a) 计算符号表达式 s 在 x 趋向于 a 条件下的极限。limit(s，x，a ， right) 计算符号表达式 s 在 x 趋向于 a 条件下的右极限6limit(F，x ，a， left) 计算符号表达式 s 在 x 趋向于 a 条件下左的极限例 6.32 分别计算表达式 、 、 、 和x1lim0xli0x)sin(l0x1lim。xelim0先在命令窗口创建符号变量 a 和 x，再分别计算上面各表达式的极限。clearclc sym
11、s x a; limit(1/x,x,0, right)ans =inf limit(1/x,x,0, left )ans =-inf limit (sin(x)/x)ans =1 limit(1+1/x)x,x,inf,left)ans =exp(1) limit(exp(-x),x,0,left)ans =12、符号求导在符号数学工具箱中，表达式的导数由函数 diff 实现,其调用格式为:diff(s，x，n)说明：其中 s 为符号表达式，x 为自变量，n 为求导的阶数。例 6.33 分别计算表达式 x5 的一阶导数和三阶导数。clearclc syms x diff(x5)ans =5*
12、x4 diff(x5,3)7ans =60*x23、符号积分积分算法是非结构性的，许多函数的原函数存在，但不可用有限解析式表达式表示，即使可以求积分的函数，其求积分过程也可能很复杂，但利用MATLAB 求积分就非常容易。在 MATLAB 的符号数学工具箱中，表达式的积分由函数 int 实现，该函数可求不定积分和定积分，其调用格式如表 6-9 所示。表 6-9 符号积分的函数格式函数格式 说明int(s) 求符号表达式 s 对于默认自变量的不定积分。int(s，x) 求符号表达式 s 对于自变量 x 的不定积分int(s，a，b) 求符号表达式 s 对于默认自变量从 a 到 b 的定积分。int
13、(s，x，a，b) 求符号表达式 s 对于自变量 x 从 a 到 b 的定积分。例 6.34 分别计算下列表达式的积分：（1） （2） （3） （4）dx2)34(dyxdy312dx在命令窗口创建符号变量 x 和 y，分别计算上面各表达式的积分。clearclc syms x y s=(4-3*x2)2; int(s)ans =9/5*x5-8*x3+16*x int(x/(x+y),x)ans =x-y*log(x+y) int(x/(x+y),y)ans =x*log(x+y) int(x2/(x+2),x,1,3)8ans =4*log(5)-4*log(3) double(ans)a
14、ns =2.04334、积分变换积分变换就是通过积分运算把一个函数 f（原函数）变成另外一个函数F（像函数） 。变化的过程是：badxtKftF),()(其中二元函数 称为变换的核，变换的核决定了变换的不同名称。,(txK在一定的条件下原函数和像函数之间是一一对应的，可以相互转化。积分变换的意义是换一个角度来认识函数，积分变换的一项基本应用是解微分方程，求解过程是基于这样一种想法：假如不容易从原方程直接求得解 f，则对原方程进行变换，如果能从变换后的方程中求得解 F，则对 F 进行逆变换，即可求得原方程的解 f，当然，在选择变换的核时，应该使得变换以后的方程比原方程容易求解。MATLAB 提供
15、的变换函数如表 6-10 所示。表 6-10 常用的积分变换函数函数名称 函数格式 说明fourier(fx，x，t) Fx 为函数 f(x)的符号表达式、x 为自变量、t 像函数 F(t)的自变量。结果为函数 f(x)的傅立叶像函数 F(t)傅立叶变换ifourier(Fw，t，x) Fw 为函数 F(t)的符号表达式、 t 为自变量、 x 为原函数f(x)的自变量。结果为函数 F(t)的傅立叶原函数 f(x)laplace(fx，x，t) 结果为函数 f(x)的拉普拉斯像函数 F(t)拉普拉斯变换ilaplace(Fw，t，x) 结果为函数 F(t)的拉普拉斯原函数 f(x)ztrans(fx，x，t) 结果为函数 f(x)的 Z 变换像函数 F(t)Z 变换iztrans(Fw，t，x) 结果为函数 F(t)的 Z 变换原函数 f(x)例 6.35 求函数 的傅立叶变换及其逆变换。2xey syms x t y=exp(-x2); Ft=fourier(y,x,t) %傅立叶变换Ft =pi
