统计案例的教学教研用(独立性)

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1、统计案例的教学西城教育研修学院 闻岩一、课标要求学生将在必修课程学习统计的基础上，通过对典型案例的讨论，了解和使用一些常用的统计方法，进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用。内容与要求1统计案例（约14课时）通过典型案例，学习下列一些常见的统计方法，并能初步应用这些方法解决一些实际问题。（1）通过对典型案例（如“肺癌与吸烟有关吗”等）的探究，了解独立性检验（只要求22列联表）的基本思想、方法及初步应用。（2）通过对典型案例（如“质量控制”“新药是否有效”等）的探究，了解实际推断原理和假设检验的基本思想、方法及初步应用（参见例1）。-删掉了（3）通过对典型案例（

2、如“昆虫分类”等）的探究，了解聚类分析的基本思想、方法及初步应用。-删掉了（4）通过对典型案例（如“人的体重与身高的关系”等）的探究，进一步了解回归的基本思想、方法及初步应用。说明与建议1统计案例的教学中，应鼓励学生经历数据处理的过程，培养他们对数据的直观感觉，认识统计方法的特点（如统计推断可能犯错误，估计结果的随机性），体会统计方法应用的广泛性。应尽量给学生提供一定的实践活动机会，可结合数学建模的活动，选择1个案例，要求学生亲自实践。对于统计案例内容，只要求学生了解几种统计方法的基本思想及其初步应用，对于其理论基础不作要求，避免学生单纯记忆和机械套用公式进行计算。2教学中，应鼓励学生使用计算

3、器、计算机等现代技术手段来处理数据，有条件的学校还可运用一些常见的统计软件解决实际问题。例1 某地区羊患某种病的概率是0.4，且每只羊患病与否是彼此独立的。今研制一种新的预防药，任选5只羊做实验，结果这5只羊服用此药后均未患病。问此药是否有效。初看起来，会认为这药一定有效，因为服药的羊均未患病。但细想一下，会有问题，因为大部分羊不服药也不会患病，患病的羊只占0.4左右。这5只羊都未患病，未必是药的作用。分析这问题的一个自然想法是：若药无效，随机抽取5只羊都不患病的可能性大不大。若这件事发生的概率很小，几乎不会发生，那么现在我们这几只羊都未患病，应该是药的效果，即药有效。现假设药无效，5只羊都不

4、生病的概率是(1-0.4) 50.078.这个概率很小，该事件几乎不会发生，但现在它确实发生了，说明我们的假设不对，药是有效的。这里的分析思想有些像反证法，但并不相同。给定假设后，我们发现，一个概率很小几乎不会发生的事件却发生了，从而否定我们的“假设”。应该指出的是，当我们作出判断“药是有效的”时，是可能犯错误的。犯错误的概率是0.078。也就是说，我们有近92%的把握认为药是有效的。-没必要讲了这个例子了二、全国考纲的要求17统计案例了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题独立检验了解独立检验（只要求 2列联表）的基本思想、方法及简单应用回归分析了解回归分析的基本思想、方

5、法及简单应用三、关于独立性检验（一）数理统计中的处理关于两个分类变量的独立性分析.一般可得一个二维离散分布表.一般，若总体中的个体可按两个属性 与 分类， 有 个类 ， 有 个类ABr12,rA Bc，从总体中抽取大小为 的样本，设其中有 个个体既属于类 又属于类 ，即 是频12,cB nijnijn数，将 个 排列为一个 行 列的二维列联表，简称 表。如图：rijnrcrcA1 j c和1ir 1jn 1n 1in ij ic1r rjn rcn1AiArA和 A jA A（也可以有多维的列联表）在 表中，若以 ， 和 分别表示个体仅属于 与 和同时属于 与 的概率，则可得rcipAjij

6、iAjBiAjB一个二维离散分布表： AB1 j c行和1ir p 1jp 1p 1i ij ic1rp rjp rcp1AiArA列和 A jA A1此时统计量为 ， 其中 为 ，221()rcijijijnpijpjiijijn上式服从自由度为 的 分布，(2)1()rcrc2对给定的显著性水平 ，检验的拒绝域为 .021()1Wrc-概率论与数理统计教程 茆诗松等）（二）B版教材的处理患慢性气管炎（ ）B不患慢性气管炎（ ）总计吸烟（ ）A1n12n1n不吸烟（ ） 2 2总计 12给出统计假设 ：吸烟与患肺癌没有关系， 即 .0H()()PAB事件的概率用相应的频率来估计，如 的估计为

7、 ， 的估计为 ， 的估计为()PAB1n1n()PB.1n于是 与 应该很接近， 与 应该很接近，.11nA12n2或者说 ， ， ， 应该比较小，2()()A211()nA2()nA所以 应该比较小，211122nn上式可以化简为 .21221()上面的阅读（探索与研究）与大学教材的处理基本一致.之后，给出两个临界值 与 .3.8465（自由度为1的时候，显著性水平为0.05，0.01的两个卡方值）之后，给出对临界值的认识：当 时，有 的把握说事件 与 有关；23.849%AB当 时，有 的把握说事件 与 有关；65当 时，认为事件 与 是无关的.2.1（三）A版教材的处理关于列联表的研究

8、和计算分类变量：变量不同“值”表示个体所属的不同类别.列联表：列出两个分类变量的频数表。可以 表（ 行 列的二维列联表） ，简单的为 列联rc2表。 （即两个或多个变量的频数表）可用二维条形图或三维柱形图直观的反映相关数据的总体状况.进一步分析，要用统计的相关知识了.例题：为调查吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机的调查了9965人，得到如下结果（单位：人）：利用Excel表可以进行很快的计算：不 患 肺 癌 患 肺 癌 总 计不 吸 烟 7775 42 7817吸 烟 2099 49 2148总 计 9874 91 9965公 式 分 子 854416992047885公 式 分 母 1

9、5087208917144卡 方 56.63187915不 患 肺 癌患 肺 癌不 吸 烟吸 烟209949777542010002000300040005000600070008000不 吸 烟吸 烟用字母表示：不患癌症 患癌症 总计不吸烟 abab吸烟 cdcd总计 先假设： ：吸烟与患肺癌没有关系，0H应有 ， ， ，acbd()()acdb0adc因此， 越小，说明吸烟与患肺癌的关系越弱； 越大，说明吸烟与患肺癌的关系越 b强。构造随机变量 ，其中 为样本容量。22()(nadbcKnabcd于是，若 成立，即“吸烟与患肺癌没有关系” ，则 应该很小，0H2K上面例题中 的观测值 。2

10、56.32对 的观测值 的认识2Kk研究表明：成立的情况下， ，0H(6.35)0.1P即在 成立的情况下， 的观测值大于 的概率非常小，近似于 ，是一个小概率事件。2K6350.1（统计中常将概率小于 的事件成为小概率事件， ）0.1、例题中的观测值远大于 ，所以有理由断定 不成立，即“吸烟与患肺癌有关系” 。6.350H2、这个判断会犯错误，犯错误的概率不会超过 。即我们是以 的把握认为“吸烟与患肺.19%癌有关系” 。3、上诉过程中，依据随机变量 的观测值 ，建立了一个判断 是否成立的规则：2Kk0如果 ，就判断 不成立，即两个分类变量有关系；否则，就判断 成立，即两个分类6.5k0H0

11、H变量没有关系。在该规则之下，把结论“ 成立”错判成“不成立”的概率不会超过 ，即0 (6.35).1Pk有 的把握认为 不成立。9%04、 是一个常用的判断规则的临界值。6.355、一般情况下，判断 的观测值 是大还是小，需要确定一个正数 ，当 时就认为 的2Kk0k02K观测值 大，此时相应于 的判断规则为：k0k如果 ，就认为“两个分类变量有关系” ；否则就认为“两个分类变量没有关系” 。0正数 为一个判断规则的临界值。在此规则下，把结论“两个分类变量没有关系”错判成“两个分类变量有关系”的概率为。20()PKk在实际应用中，我们把 解释为有 的把握认为“两个分类变量有关系”0k20(1

12、)1%PKk；把 解释为不能以 的把握认为“两个分类变量有关系” ，或者由样本观02(1)P测数值不能充分说明“两个分类变量有关系” 。6、上面这样利用随机变量 来确定是否能以给定把握认为“两个分类变量有关系”的方法，称为2K两个分类变量的独立性检验。7、在实际应用中，在获取样本数据之前，通常通过查阅下表确定临界值：20()PKk0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828一般情况：一般的，假设有两个分类变量

13、和 ，它们的可能取值分别为 和 ，其样本频数XY12,x12,y列联表（称为 列联表）为：21y2y总计1xabab2cdcd总计 若要推断的论述为 ： 与 有关系， 可以按如下步骤判断成立的可能性：1HXY1、通过三维柱形图和二维条形图，可以粗略的判断两个分类变量是否有关系，但是这种判断无法精确地给出所得结论的可靠程度。（1）在三维柱形图中，主对角线上两个柱形高度的成绩 与副对角线上高度的乘积 相差越大，adbc成立的可能性就越大。H（2）在二维条形图中，可以估计满足条件 的个体中具有 的个体所占的比例 ，1Xx1Yya也可以估计满足条件 的个体中具有 的个体所占的比例 。两个比例的值相差越

14、大，2XxYycd成立的可能性就越大。1H2、可以利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度。具体做法如下：（1）先根据实际问题需要的可信程度确定临界值 ；0k（2）根据观测数据计算由公式 给出的随机变量 的值 ；22()(nadbcK2Kk（3）如果 ，就以 的把握认为“ 与 有关系” ；否则就认为由样0k20(11%PkXY本数据没有充分的证据显示“ 与 有关系” 。XY五、教学建议统计学有两方面的主要工作，一方面是收集数据，另一方面是分析数据。那么，数据如何收集？对于收集到的数据怎样处理？如何分析数据中体现的规律，据现有的数据作出对未来的预测，对预测有一个判断.我们的教学中，必修中学习了数据的收集-抽样（随机抽样，简单随机抽样，系统抽样，分层抽样） ；数据的描述（直方图、条形图、茎叶图、平均数、中位数、方差） ；分析和预测（用样本的频率分布估计总体的分布、用样本的数字特征估计总体的数字特征，数值变量的回归分析（线性、非线性） ，分类变量的相关关系）. 在统计中，回归分析和相关分析是应用很广的。独立性检验的基本教学要求（一）用 B 版的探索与研究的方法（或用 A 版的解释）给出 统计量。 21、会调查，列表，计算 统计量，依据两个临界值做出判断。22、正确认识 23.841（1） “我们有95%的把握说事件A与B有关” 。