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1、高中数学解析几何第一部分:直线1、 直线的倾斜角与斜率1. 倾斜角(1)定义:直线l向上的方向与x轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。(2)范围:2.斜率:直线倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率. (1).倾斜角为的直线没有斜率。(2).每一条直线都有唯一的倾斜角,但并不是每一条直线都存在斜率(直线垂直于轴时,其斜率不存在),这就决定了我们在研究直线的有关问题时,应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况,否则会产生漏解。 (3)设经过和两点的直线的斜率为, 则当时,;当时,;斜率不存在;二、直线的方程1.点斜式:已知直线上一点P(x0,y0)及直线的斜率k(倾斜角)求直线的方程用点斜式:y-y0=k(x
2、-x0)注意:当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为;2.斜截式:若已知直线在轴上的截距(直线与y轴焦点的纵坐标)为,斜率为,则直线方程:;特别地,斜率存在且经过坐标原点的直线方程为:注意:正确理解“截距”这一概念,它具有方向性,有正负之分,与“距离”有区别。3.两点式:若已知直线经过和两点,且(则直线的方程:;注意:不能表示与轴和轴垂直的直线;当两点式方程写成如下形式时,方程可以适应在于任何一条直线。4截距式:若已知直线在轴,轴上的截距分别是,()则直线方程:;注意:1).截距式方程表不能表示经过原点的直线,也不能表示垂直于坐标轴的直线。 2).横截距与纵截距相等的直线方程可设为x
3、+y=a;横截距与纵截距互为相反数的直线方程可设为x-y=a5一般式:任何一条直线方程均可写成一般式:;(不同时为零);反之,任何一个二元一次方程都表示一条直线。注意:直线方程的特殊形式,都可以化为直线方程的一般式,但一般式不一定都能化为特殊形式,这要看系数是否为0才能确定。指出此时直线的方向向量:, (单位向量);直线的法向量:;(与直线垂直的向量)6(选修4-4)参数式(参数)其中方向向量为,单位向量; ;点对应的参数为,则;(为参数)其中方向向量为, 的几何意义为;斜率为;倾斜角为。3、 两条直线的位置关系位置关系平行,且(A1B2-A2B1=0)重合,且相交垂直设两直线的方程分别为:或
4、;当或时它们相交,交点坐标为方程组或解;注意:对于平行和重合,即它们的方向向量(法向量)平行;如:对于垂直,即它们的方向向量(法向量)垂直;如若两直线的斜率都不存在,则两直线 平行 ;若一条直线的斜率不存在,另一直线的斜率为 0 ,则两直线垂直。对于来说,无论直线的斜率存在与否,该式都成立。因此,此公式使用起来更方便斜率相等时,两直线平行(或重合);但两直线平行(或重合)时,斜率不一定相等,因为斜率有可能不存在。四、两直线的交角(1)到的角:把直线依逆时针方向旋转到与重合时所转的角;它是有向角,其范围是; 注意:到的角与到的角是不一样的;旋转的方向是逆时针方向;绕“定点”是指两直线的交点。(2
5、)直线与的夹角:是指由与相交所成的四个角的最小角(或不大于直角的角),它的取值范围是;(3)设两直线方程分别为: 或若为到的角,或;若为和的夹角,则或;当或时,;注意:上述与有关的公式中,其前提是两直线斜率都存在,而且两直线互不垂直;当有一条直线斜率不存在时,用数形结合法处理。直线到的角与和的夹角:或;5、 点到直线的距离公式:1.点到直线的距离为:;2.两平行线,的距离为:;六、直线系:(1)设直线,经过的交点的直线方程为(除去);如:,即也就是过与的交点除去 的直线方程。直线恒过一个定点 。注意:推广到过曲线与的交点的方程为:;(2)与平行的直线为;(3)与垂直的直线为;七、对称问题:(1
6、)中心对称:点关于点的对称:该点是两个对称点的中点,用中点坐标公式求解,点关于的对称点直线关于点的对称:、在已知直线上取两点,利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标,再由两点式求出直线方程;、求出一个对称点,在利用由点斜式得出直线方程;、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。如:求与已知直线关于点对称的直线的方程。(2)轴对称:点关于直线对称:、点与对称点的中点在已知直线上,点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。、求出过该点与已知直线垂直的直线方程,然后解方程组求出直线的交点,在利用中点坐标公式求解。如:求点关于直线对称的坐标。直线关于直线对称:(设关于对称)、若相交,则到的角等于
7、到的角;若,则,且与的距离相等。、求出上两个点关于的对称点,在由两点式求出直线的方程。、设为所求直线直线上的任意一点,则关于的对称点的坐标适合的方程。如:求直线关于对称的直线的方程。八、简单的线性规划:(1)设点和直线, 若点在直线上,则;若点在直线的上方,则;若点在直线的下方,则;(2)二元一次不等式表示平面区域:对于任意的二元一次不等式,当时,则表示直线上方的区域;表示直线下方的区域;当时,则表示直线下方的区域;表示直线上方的区域;注意:通常情况下将原点代入直线中,根据或来表示二元一次不等式表示平面区域。(3)线性规划:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问
8、题。满足线性约束条件的解叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域。生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。注意:当时,将直线向上平移,则的值越来越大; 直线向下平移,则的值越来越小;当时,将直线向上平移,则的值越来越小; 直线向下平移,则的值越来越大;xyOA(1,1)B(5,1)C(4,2)如:在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括周界),目标函数取得最小值的最优解有无数个,则为 ;第二部分:圆与方程2.1圆的标准方程:圆心,半径特例:圆心在坐标原点,半径为的圆的方程是:.2.2点与圆的位置关系: 1. 设点到圆心的距离为d,圆半径为r:(1)点在圆上 d=r;(2)点在圆
9、外 dr;(3)点在圆内 dr 2.给定点及圆.在圆内 在圆上 在圆外2.3 圆的一般方程: .当时,方程表示一个圆,其中圆心,半径.当时,方程表示一个点.当时,方程无图形(称虚圆).注:(1)方程表示圆的充要条件是:且且.圆的直径系方程:已知AB是圆的直径2.4 直线与圆的位置关系: 直线与圆的位置关系有三种,d是圆心到直线的距离,(1);(2);(3)。2.5 两圆的位置关系设两圆圆心分别为O1,O2,半径分别为r1,r2,。(1);(2);(3);(4);(5); 外离 外切 相交 内切 内含2.6 圆的切线方程:1. 直线与圆相切:(1)圆心到直线距离等于半径r;(2)圆心与切点的连线
10、与直线垂直(斜率互为负倒数)2. 圆的斜率为的切线方程是过圆上一点的切线方程为:.一般方程若点(x0 ,y0)在圆上,则(x a)(x0 a)+(y b)(y0 b)=R2. 特别地,过圆上一点的切线方程为.若点(x0 ,y0)不在圆上,圆心为(a,b)则,联立求出切线方程.2.7圆的弦长问题:1.半弦、半径r、弦心距d构成直角三角形,满足勾股定理:2.弦长公式(设而不求):第三部分:椭圆一椭圆及其标准方程1椭圆的定义:平面内与两定点F1,F2距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆,即点集M=P| |PF1|+|PF2|=2a,2a|F1F2|=2c;这里两个定点F1,F2叫椭圆的焦点,两焦点间的
11、距离叫椭圆的焦距2c。(时为线段,无轨迹)。2标准方程: 焦点在x轴上:(ab0); 焦点F(c,0)焦点在y轴上:(ab0); 焦点F(0, c) 注意:在两种标准方程中,总有ab0,并且椭圆的焦点总在长轴上;一般形式表示:或者 二椭圆的简单几何性质: 1.范围 (1)椭圆(ab0) 横坐标-axa ,纵坐标-bxb (2)椭圆(ab0) 横坐标-bxb,纵坐标-axa 2.对称性 椭圆关于x轴y轴都是对称的,这里,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点 (1)椭圆的顶点:A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b) (2)线
12、段A1A2,B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a,短轴长等于2b,a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 4离心率 (1)我们把椭圆的焦距与长轴长的比,即称为椭圆的离心率,记作e(), e越接近于0 (e越小),椭圆就越接近于圆;e越接近于1 (e越大),椭圆越扁;注意:离心率的大小只与椭圆本身的形状有关,与其所处的位置无关。(2)椭圆的第二定义:平面内与一个定点(焦点)和一定直线(准线)的距离的比为常数e,(0e1)的点的轨迹为椭圆。()焦点在x轴上:(ab0)准线方程:焦点在y轴上:(ab0)准线方程:小结一:基本元素(1)基本量:a、b、c、e、(共四个量), 特征三角形(2)基本点
13、:顶点、焦点、中心(共七个点)(3)基本线:对称轴(共两条线)5椭圆的的内外部(1)点在椭圆的内部.(2)点在椭圆的外部.6.几何性质 (1) 焦半径(椭圆上的点与焦点之间的线段):(2)通径(过焦点且垂直于长轴的弦)(3)焦点三角形(椭圆上的任意一点与两焦点够成的三角形):其中7直线与椭圆的位置关系:(1) 判断方法:联立直线方程与椭圆方程消y(或x)得到关于x的一元二次方程,根据判别式的符号判断位置关系:联立消y得:联立消x得:(2) 弦中点问题:斜率为k的直线l与椭圆交于两点是AB的中点,则:(3) 弦长公式:第四部分:双曲线双曲线标准方程(焦点在轴)标准方程(焦点在轴)定义第一定义:平
14、面内与两个定点,的距离的差的绝对值是常数(小于)的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫焦距。PP第二定义:平面内与一个定点和一条定直线的距离的比是常数,当时,动点的轨迹是双曲线。定点叫做双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线,常数()叫做双曲线的离心率。PPPP范围,对称轴轴 ,轴;实轴长为,虚轴长为对称中心原点焦点坐标 焦点在实轴上,;焦距:顶点坐标(,0) (,0)(0, ,) (0,)离心率1)重要结论(1) 焦半径(双曲线上的点与焦点之间的线段):(2)通径(过焦点且垂直于实轴的弦)(3)焦点三角形(双曲线上的任意一点与两焦点够成的三角形):准线方程准线垂直于实轴且在两顶点的内侧;两准线间的距离:渐近线方程 共渐近线的双曲线系方程()()直线