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1、椭圆及其标准方程1、学习任务分析本节课是人民教育出版社普通高中课程标准实验教科书数学选修 2-1 第二章第 2 节第一课时的内容2.2.1 椭圆及其标准方程。椭圆及其标准方程是继学习完求曲线的方程和圆的标准方程的基础上，应用曲线方程的求法、类比圆的定义来得到的，是这两节课程的延续；同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础，为进一步研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础。因此，本课内容在整个解析几何中起着承前启后的作用。2、学情分析椭圆及其标准方程是学生在学习了曲线的方程和圆的标准方程的基础上进行研究的。对曲线和方程的概念有了一些了解与运用的经验，对用坐标法研究几何问题也有了初步的认识，但从研
2、究圆到椭圆，学生思维上会存在障碍。另一方面，高中二年级学生正值身心发展的鼎盛时期，思维活跃，又有了相应知识基础，所以他们乐于探索、敢于探究。但高中生的逻辑思维能力尚属经验型，运算能力不是很强，有待于训练。3、教学目标（1）知识与技能1.掌握椭圆的定义及标准方程；2.根据条件写出椭圆标准方程；3.熟悉求曲线方程的一般方法。（二）过程与方法1.在推导椭圆的标准方程的过程中，感知几何问题代数化；2.在求解实际问题时，体会数形结合思想方法。（三）情感、态度与价值观1.在推导椭圆的标准方程时，体会数学的公式美；2.在解决椭圆实际问题时，体会数学的实用价值及应用广泛性。4、教学重难点（1）教学重点1.椭圆
3、的定义及其标准方程。（2）教学难点1.椭圆标准方程的推导。5、教学准备多媒体课件、直尺、细绳、钉子、笔、纸板6、教学过程（1）创设情境导入新课1.情境：播放太阳系行星运行的动态轨迹图。提问：大家知道行星运行的轨迹是什么吗？（椭圆）提问： 那么同学们思考椭圆和我们刚学过的那个图形最相像？（圆）总结：那我们这节课就继学习圆的知识后来学习椭圆的知识。（板书）设计意图：让学生感性认识椭圆；并与之前的圆联系，从而导出新课的内容-椭圆。（二）师生合作理解概念1.动画展示通过动画设计，展示椭圆的形成过程，使学生认识到椭圆是点按一定“规律”运动的轨迹。提问：点 M 运动时， ， 移动了吗？点 M 按照什么条件
4、运动形成的轨迹是椭圆？1F2设计意图：通过动画展示，更加直观地展现椭圆的形成过程。2.操作实践学生分组合作动手实践把细绳拴在钉子上，再把钉子固定在纸板上，用笔简把绳子拉紧使笔尖在板上慢慢移动，画出椭圆的图形。 思考：（1）在作图时，视笔尖为动点，两个图钉为定点，动点到两定点距离之和符合什么条件？其轨迹如何？（2）改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？（3）当绳长小于两图钉之间的距离时，还能画出图形吗？总结：教师给出椭圆的定义并归纳椭圆的特点。设计意图：增强动手操作意识，直观形象从而引入椭圆定义，进而研究椭圆标准方程。3.知识回顾提问：利用坐标法求曲线方程的一般方法和步骤是
5、什么？（1）建直角坐标系；（2）设动点的坐标的坐标为（x，y）；（3）把几何条件转化为坐标表示。设计意图：回顾之前的知识，并引导学生探索椭圆标准方程的推导形成过程。4.研讨探究问题：如图已知焦点为 ， 的椭圆，且 ,对椭圆上任一点 M，有1F2cF21，尝试推导椭圆的方程。aMF21提问：如何建立直角坐标系最简单？（以 ， 中点为原点， ， 所在直线为坐1F21F2标轴。）总结：几种观点：（1）以 ， 中点为原点， ， 所在直线为 x 轴。1F21F2（2）以 ， 中点为原点， ， 所在直线为 y 轴。 （3）其他先以第一种情况为例。设点： ；),(yxM列式：因为 aMF21所以 ycxyc
6、x)()( 22化简：（这里，教师为突破难点进行设问：我们怎么化简带根式的式子？对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢？） 22)()( ycxaycx两边平方，得： 2222 )()(4)(即 22)(ycxac两边平方，得： 2224 )(aa整理，得： )()( 222cyaxc令 ，则方程可简化为：)0(22bca 22byxb整理成： )0(12ab指出：该方程叫做椭圆的标准方程，焦点在 x 轴上，焦点为 ， ，),0(1cF),(2。22bac讨论：如果以 ， 所在直线为 y 轴，线段 ， 的垂直平分线为 x 轴，建立直角1F2 12坐标系，焦点是 ， ，椭圆的方程又如何呢？),
7、0(c),(告诉学生结果为： ，可让学生课下推导。该方程为椭圆的另一)012baxy标准方程，而其他建系方案得出的椭圆方程没有标准方程形式简单。设计意图：一方面，让学生熟悉坐标法建系求解曲线方程的过程；另一方面，通过推导讨论让学生对椭圆标准方程的形式有一定的认识。5.归纳特征观察椭圆图形及其标准方程，师生共同总结归纳：（1）椭圆标准方程对应的椭圆中心在原点，以焦点所在轴为坐标轴；（2）椭圆标准方程形式：左边是两个分式的平方和，右边是 1；（3）椭圆标准方程中三个参数 a，b，c 关系： ；)0(22bacb（4）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定；（5）求椭圆标准方程时，可运用待定系数法
8、求出 a，b 的值。在归纳总结的基础上，填下表：标准方程 )0(12abyx )0(12baxy图形a，b，c 关系 22acb22acb焦点坐标 )0,(),0(焦点位置 在 x 轴上 在 y 轴上 设计意图：让学生的标准方程有更加系统直观地认识，对椭圆标准方程的性质有更好的了解。（3）课堂小练掌握概念1.PPT 播放，学生口答（1）已知椭圆方程为 ，则这个椭圆的焦距为（）。（3）12yx（2）已知椭圆 上一点 P 到椭圆一个焦点的距离是 3，则 P 到另一个焦点1652yx的距离是（）。（2）（3）椭圆 的焦距是 1，则实数 m 的值是（）。（3 或 5）42ymx（4）已知 ， 是椭圆
9、的两个焦点，过 的直线与椭圆交于 A、B 两1F2452yx1F点，则 的周长为（）。（20）2AB设计意图：让学生熟悉椭圆标准方程的一般性质，熟练掌握 a，b，c 三者的关系。2.PPT 播放，板书解答例一：已知椭圆的两个焦点坐标分别是 ， ，并且经过点 ，求它)0,2(,()23,5(的标准方程。例二：在圆 上任取一点 P，过点 P 作 x 轴的垂线段 PD，D 为垂足。当点42yxP 在圆上运动时，线段 PD 的中点 M 的轨迹是什么？为什么？例三：设点 A，B 的坐标分别为 ， 。直线 AM 与 BM 相交于点 M，且它)0,5(,(们的斜率之积是 ，求点 M 的轨迹方程。94设计意图：让学生熟悉求曲线方程的求解的方法以及已知焦点坐标用待定系数法求椭圆标准方程。（4）课堂总结深化概念1.椭圆的定义及其标准方程；2.标准方程中 a，b，c 的关系；3.焦点所在的轴与标准方程形式之间的关系。（可结合之前归纳的表格）（5）布置作业课下巩固1.相应的配套课时作业；2.思考：方程 什么时候表示圆？椭圆？什么时候表示焦点在 x 轴上的12ByAx椭圆？什么时候表示焦点在 y 轴上的椭圆？
