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1、第九章 排列、组合和二项式定理考试内容：分类计数原理与分步计数原理排列排列数公式组合组合数公式组合数的两个性质二项式定理二项展开式的性质考试要求：（1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析睡解决一些简单 的应用问题（2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应 用问题（3）理解组合的意义，掌握排列数计算公式和组合的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题（4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题g3.1089分类计数原理与分步计数原理一、 知识回顾 分类计数原理和分步计数原理（1）分类计数原理（加法原理）：做一件事情，完成它可以有 n
2、 类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的方法，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法。那么完成这件事共有 N=m1+m2+mn 种不同的方法。(2) 分步计数原理（ 乘法原理）：做一件事情，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事有 N=m1m2mn 种不同的方法。二、基础训练1.十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则行车路线共有 （ ）.A.24 种 B.16 种 C.12 种 D.10 种2.（2002 年全国）从正方体的 6 个面中选取 3 个面
3、，其中有 2 个面不相邻的选法共有( )A.8 种 B.12 种 C.16 种 D.20 种3. 5 名运动员争夺 3 项比赛冠军（每项比赛无并列冠军） ，那么获得冠军的可能种数为（ ）A、 B、 C、 D、3535A35C4.（05 湖南卷）4 位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得 100 分，答错得100 分；选乙题答对得 90 分，答错得90 分.若 4 位同学的总分为 0，则这 4 位同学不同得分情况的种数是（ ）A48 B36 C24 D185.某城市的电话号码，由七位升为八位（首位数字均不为零） ，则该城市可增加的电话部数是
4、（ ）A.98765432 B.897C.9107 D.811066. .72 的正约数共有_个.7.（2005 年春季北京，13）从1，0，1，2 这四个数中选三个不同的数作为函数 f（x）=ax 2+bx+c 的系数，可组成不同的二次函数共有 _个，其中不同的偶函数共有_个.（用数字作答）三、例题分析例 1. 电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有 30 封，乙信箱中有 20 封.现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？例 2. 从集合1，2，3， ，10 中，选出由 5
5、个数组成的子集，使得这 5个数中的任何两个数的和不等于 11，这样的子集共有多少个?变题：上例中选出 5 个数组成子集改为选出 4 个数呢?例 3.某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为 6 个部分（如下图）.现要栽种 4 种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_种.（以数字作答）12 3 456例 4. 关于正整数 2160，求：（1）它有多少个不同的正因数？（2）它的所有正因数的和是多少？例 5. 球台上有 4 个黄球，6 个红球，击黄球入袋记 2 分，击红球入袋记 1分，欲将此十球中的 4 球击入袋中，但总分不低于 5 分，击球方法有几种？例 6.
6、 关于正整数 2160，求：（1）它有多少个不同的正因数？（2）它的所有正因数的和是多少？例 7. 球台上有 4 个黄球，6 个红球，击黄球入袋记 2 分，击红球入袋记 1分，欲将此十球中的 4 球击入袋中，但总分不低于 5 分，击球方法有几种？四、同步练习 g3.1089 分类计数原理与分步计数原理1.（2004 年全国，文 5）从长度分别为 1、2、3、4 的四条线段中，任取三条的不同取法共有 n 种.在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为 m，则 等于A.0 B. C. D.4121432.（2004 年黄冈检测题）某班新年联欢会原定的 6 个节目已排成节目单，开演前又
7、增加了 3 个新节目，如果将这 3 个节目插入节目单中，那么不同的插法种数为A.504 B.210 C.336 D.1203.从图中的 12 个点中任取 3 个点作为一组，其中可构成三角形的组数是A.208 B.204 C.200 D.1964.（2004 年全国卷三.文理 12）将 4 名教师分配到 3 所中学任教，每所中学至少1 名教师，则不同的分配方案共有. A.12 种 B. 24 种 C. 36 种 D. 48 种5.（05 福建卷）从 6 人中选出 4 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这 6 人中甲、乙两人不去巴黎游览，则
8、不同的选择方案共有A300 种 B240 种 C144 种 D96 种6.从 1 到 10 的正整数中，任意抽取两个相加，所得和为奇数的不同情形有_种.7.4 棵柳树和 4 棵杨树栽成一行，柳树、杨树逐一相间的栽法有_种.8.（2001 年上海）某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选 2菜 2 素共 4 种不同的品种.现在餐厅准备了 5 种不同的荤菜，若要保证每位顾客有 200 种以上的不同选择，则餐厅至少还需要不同的素菜品种_种.（结果用数值表示）9.（2003 年全国）如图，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色.现有 4 种颜色可供选择，则不
9、同的着色方法共有_种.（以数字作答） 10.设有编号为 1，2，3，4，5 的五个球和编号为 1，2，3，4，5 的五个盒子.现将这五个球投放入这五个盒子内，要求每个盒子内投放一球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法有多少种?11.五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？又他们争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？12.三边长均为整数，且最大边长为 11 的三角形的个数是多少?基本训练15 CBABD 6. 12 7. 48；9同步练习答案：13、 BACCB6、 25. 7、1152. 8、 7. 9、72. 10、20.11.解：（
10、1）5 名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每个学生都有 4 种报名方法，5 名学生都报了项目才能算完成这一事件.故报名方法种数为44444=45 种.（2）每个项目只有一个冠军，每一名学生都可能获得其中的一项获军，因此每个项目获冠军的可能性有 5 种.故有 n=5=5 4 种.12.解：设较小的两边长为 x、y 且 xy，则 xy11，x+y11，x、yN *.当 x=1 时，y=11 ；当 x=2 时，y=10 ，11；当 x=3 时，y=9 ，10，11；当 x=4 时，y=8 ，9，10，11；当 x=5 时，y=7 ，8，9，10，11；当 x=6 时，y=6 ，7，8，9，10，
11、11；当 x=7 时，y=7 ，8，9，10，11；当 x=11 时，y=11.所以不同三角形的个数为1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36.例 6 解：（1）N=2160=2 4335，2160 的正因数为 P=2 3 5 ，其中 =0，1 ，2，3，4， =0，1，2，3， =0， 1.2160 的正因数共有 542=40 个.（2）式子（2 0+21+22+23+24）（3 0+31+32+33）（5 0+51）的展开式就是40 个正因数.正因数之和为 31406=7440.例 7.解：设击入黄球 x 个，红球 y 个符合要求，则有 x+y=4，2x+y5（x、y N） ，得 1x 4. .0,4;1,3,;3,1相应每组解（x ，y ） ，击球方法数分别为 C C ，C C ，C C ，C C .14362463416406共有不同击球方法数为 C C +C C +C C +C C =195.14362460
