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1、一 平面直角坐标系1平面直角坐标系(1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标、曲线与方程建立联系，从而实现数与形的结合(2)坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成几何结论2平面直角坐标系中的伸缩变换(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归纳为坐标伸缩变换，这就是用代数方法研究几何变换(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换：的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面
2、直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换求轨迹方程问题设A是单位圆x2y21上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足|DM|m|DA|(m0，且m1)当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C.求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标设出点M的坐标(x，y)，直接利用条件求解如图，设M(x，y)，A(x0，y0)，则由|DM|m|DA|(m0，且m1)，可得xx0，|y|m|y0|，所以x0x，|y0|y|.因为A点在单位圆上运动，所以xy1. 将式代入式，即得所求曲线C的方程为x21(m0，且m1)因为m(0,1)(1，)，所以当
3、0m1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0，)，(0，)求轨迹的常用方法(1)直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系，即可用求曲线方程的步骤直接求解(2)定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写出轨迹方程(3)代入法：如果动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x1，y1)，而Q(x1，y1)又在某已知曲线上，则可先列出关于x，y，x1，y1的方程组，利用x，y表示x1，y1，把x1，y1代入已知曲线方程即为所求(4)参数法：动点P(x，y)的横纵坐标用一个或几个参数来表示，消去参数即得其轨迹方程1二次方程x2axb0的两根为sin ，co
4、s ，求点P(a，b)的轨迹方程.解：由已知可得22，得a22b1.|，由sin cos sin，知0a.由sin cos sin 2，知|b|.点P(a，b)的轨迹方程是a22b1(0a)2ABC中，若BC的长度为4，中线AD的长为3，求点A的轨迹方程解：取BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则D(0,0)，B(2,0)，C(2,0)设A(x，y)为所求轨迹上任意一点，则|AD|.又|AD|3，3，即x2y29(y0)点A的轨迹方程为x2y29(y0).用坐标法解决几何问题已知ABC中，ABAC，BD，CE分别为两腰上的高求证：BDCE.由于ABC为等腰三角形，故可以
5、BC为x轴，以BC中点为坐标原点建立直角坐标系，在坐标系中解决问题如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系设B(a,0)，C(a,0)，A(0，h)则直线AC的方程为yxh，即：hxayah0.直线AB的方程为yxh，即：hxayah0.由点到直线的距离公式，得|BD|，|CE|.|BD|CE|，即BDCE.建立平面直角坐标系的原则根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则：如果图形有对称中心，选对称中心为原点；如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴；使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上3求证等腰梯形对角线相等已知：等腰梯形ABCD中，ADBC.求证：ACBD
6、.证明：取BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立如图所示的直角坐标系设A(a，h)，B(b,0)，则D(a，h)，C(b,0)|AC|，|BD|.|AC|BD|，即等腰梯形ABCD中，ACBD.4已知ABC中，D为边BC的中点，求证：AB2AC22(AD2BD2)证明：以A为坐标原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，则A(0,0)设B(a,0)，C(b，c)，则D，所以AD2BD2(a2b2c2)，又AB2AC2a2b2c2，所以AB2AC22(AD2BD2).直角坐标系中的伸缩变换求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线x2y21变成曲线1.设出变换公式，代入方程，比较
7、系数，得出伸缩变换设变换为代入方程1，得1.与x2y21比较，将其变形为x2y21，比较系数得3，2.即将圆x2y21上所有点横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2倍，可得到椭圆1.坐标伸缩变换：注意变换中的系数均为正数在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，即在同一坐标系下只对点的坐标进行伸缩变换利用坐标伸缩变换可以求变换前和变换后的曲线方程已知变换前、后曲线方程也可求伸缩变换.5求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4x29y236变成曲线x2y21.解：设变换为可将其代入x2y21，得2x22y21.将4x29y236变为 x2y21，即x2y21，与2x22y21比较，比较系数得，.即将
8、椭圆4x29y236上的所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的，可得到圆x2y21.6求4x29y21经过伸缩变换后的图形所对应的方程解：由伸缩变换得将其代入4x29y21，得42921.整理，得x2y21.经过伸缩变换后图形所对应的方程为x2y21.课时跟踪检测(一)一、选择题1将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是()A椭圆 B比原来大的圆 C比原来小的圆 D双曲线解析：选D由伸缩变换的意义可得2已知线段BC长为8，点A到B，C两点距离之和为10，则动点A的轨迹为()A直线 B圆 C椭圆 D双曲线解析：选C由椭圆的定义可知，动点A的轨迹为一椭圆3已知两点M(2,0)，N(2,0)，点
9、P为坐标平面内的动点，满足|MN|MP|MNNP0，则动点P(x，y)的轨迹方程为()Ay28x By28x Cy24x Dy24x解析：选B由题意，得MN(4,0)，MP(x2，y)，NP(x2，y)，由|MN|MP|MNNP0，得44(x2)0，整理，得y28x.4在同一坐标系中，将曲线y3sin 2x变为曲线ysin x的伸缩变换是()A. B. C. D.解析：选B设则ysin x，即ysin x.比较y3sin 2x与ysin x，则有3，2.，2.二、填空题5ycos x经过伸缩变换后，曲线方程变为_解析：由得代入ycos x，得ycosx，即y3cosx.答案：y3cos6把圆X
10、2Y216沿x轴方向均匀压缩为椭圆x21，则坐标变换公式是_解析：设则代入X2Y216得 1.1621,16216.故答案：7ABC中，B(2,0)，C(2,0)，ABC的周长为10，则点A的轨迹方程为_解析：ABC的周长为10，|AB|AC|BC|10.其中|BC|4，即有|AB|AC|64.点A轨迹为椭圆除去B，C两点，且2a6,2c4.a3，c2，b25.点A的轨迹方程为1(y0)答案：1(y0)三、解答题8. 在同一平面直角坐标系中，将曲线x236y28x120变成曲线x2y24x30，求满足条件的伸缩变换解：x236y28x120可化为29y21.x2y24x30可化为(x2)2y2
11、1.比较，可得即所以将曲线x236y28x120上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的3倍，就可得到曲线x2y24x30的图象9已知ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM|BC|.证明：以RtABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系设B，C两点的坐标分别为(b,0)，(0，c)则M点的坐标为.由于|BC|，|AM| ，故|AM|BC|.10如图，椭圆C0：1(ab0，a，b为常数)，动圆C1：x2y2t，bt1a.点A1，A2分别为C0的左、右顶点，动圆C1与椭圆C0相交于A，B，C，D四点求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程解：设 A(x1，y1)，B(x1，y1)，又知A1(a,0)，A2(a,0)，则直线A1A的方程为y(xa)，直线A2B的方程为y(xa)由，得y2(x2a2)由点A(x1，y1)在椭圆C0上，故1.从而yb2，代入，得1(xa，y0)，此方程即为点M的轨迹方程
