《高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 一 不等式 3 三个正数的算术—几何平均不等式学案（含解析）新人教A版选修4-5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 一 不等式 3 三个正数的算术—几何平均不等式学案（含解析）新人教A版选修4-5（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3三个正数的算术几何平均不等式1定理3如果a，b，cR，那么，当且仅当abc时，等号成立，用文字语言可叙述为：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均(1)不等式成立的条件是：a，b，c均为正数，而等号成立的条件是：当且仅当abc.(2)定理3可变形为：abc3；a3b3c33abc.(3)三个及三个以上正数的算术几何平均不等式的应用条件与前面基本不等式的应用条件是一样的，即“一正、二定、三相等”2定理3的推广对于n个正数a1，a2，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当a1a2an时，等号成立用平均不等式证明不等式已知a，b，cR，求证：3.欲证不等式的右边为常数3，联想到不等
2、式abc3(a，b，cR)，故将所证不等式的左边进行恰当的变形3333633.当且仅当abc时，等号成立(1)不等式的证明方法较多，关键是从式子的结构入手进行分析(2)运用三个正数的平均不等式证明不等式时，仍要注意“一正、二定、三相等”，在解题中，若两次用平均值不等式，则只有在“相等”条件相同时，才能取到等号1已知x0，y0，求证：(1xy2)(1x2y)9xy.证明：因为x0，y0，所以1xy230，1x2y30，故(1xy2)(1x2y)339xy.2已知a1，a2，an都是正数，且a1a2an1，求证：(2a1)(2a2)(2an)3n.证明：a1是正数，根据三个正数的平均不等式，有2a
3、111a13.同理2aj3 (j2,3，n)将上述各不等式的两边分别相乘即得(2a1)(2a2)(2an)(3)(3)(3)3n.a1a2an1，(2a1)(2a2)(2an)3n.当且仅当a1a2an1时，等号成立.用平均不等式求最值(1)求函数y(x1)2(32x)的最大值(2)求函数yx(x1)的最小值对于积的形式求最大值，应构造和为定值(2)对于和的形式求最小值，应构造积为定值(1)1x0，x10.y(x1)2(32x)(x1)(x1)(32x)33，当且仅当x1x132x，即x时，ymax.(2)x1，x10，yx(x1)(x1)1314，当且仅当(x1)(x1)，即x3时，等号成立
4、即ymin4.(1)利用三个正数的算术几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”(2)应用平均不等式定理，要注意三个条件即“一正、二定、三相等”同时具备时，方可取得最值，其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如配系数、拆项、分离常数、平方变形等3设x0，则f(x)4x的最大值为()A4 B4 C不存在 D.解析：选Dx0，f(x)4x4434.4已知x，yR且x2y4，试求xy的最小值及达到最小值时x，y的值解：x，yR且x2y4，xyxxy333.当且仅当y时，等号成立又x2y4，当x2，y1时，xy取最小值3.用平均不等式解应用题如下图所示，在
5、一张半径为2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的由物理学知道，桌子边缘一点处的照亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r的平方成反比，即Ek.这里k是一个和灯光强度有关的常数，那么究竟应该怎样选择灯的高度h，才能使桌子边缘处最亮？r，Ek.E2sin2cos4(2sin2)cos2cos23.当且仅当2sin2cos2时取等号，即tan2，tan .h2tan .即h时，E最大本题获解的关键是在获得了Ek后，对E的表达式进行变形求得E的最大值解应用题时必须先读懂题意，建立适当的函数
6、关系式，若把问题转化为求函数的最值问题，常配凑成可以用平均不等式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可求解5已知长方体的表面积为定值S，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值解：设长方体的体积为V，长、宽、高分别是a，b，c，则Vabc，S2ab2bc2ac.V2(abc)2(ab)(bc)(ac)33.当且仅当abbcac，即abc时，上式取等号，V2取最小值.由解得abc.即当这个长方体的长、宽、高都等于时，体积最大，最大值为.课时跟踪检测(三)1已知x为正数，下列各题求得的最值正确的是()Ayx22x36，ymin6.By2x33，ymin3.Cy2x4
7、，ymin4.Dyx(1x)(12x)3，ymax.解析：选CA、B、D在使用不等式abc3(a，b，cR)和abc3(a，b，cR)都不能保证等号成立，最值取不到C中，x0，y2x2224，当且仅当x，即x1时，等号成立2已知a，b，c为正数，则有()A最小值3 B最大值3 C最小值2 D最大值2解析：选A33，当且仅当，即abc时，等号成立3若logxy2，则xy的最小值是()A. B. C. D.解析：选A由logxy2，得y.而xyx33，当且仅当，即x时，等号成立4已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列不等式总成立的是()AV BV CV DV解析：选B设圆柱底面半径为r，则圆柱
8、的高h，所以圆柱的体积为Vr2hr2r2(32r)3.当且仅当r32r，即r1时，等号成立5若a2，b3，则ab的最小值为_解析：a2，b3，a20，b30，则ab(a2)(b3)5358.当且仅当a2b3，即a3，b4时，等号成立答案：86设0x1，则x(1x)2的最大值为 _.解析：0x0.故x(1x)22x(1x)(1x)3(当且仅当x时，等号成立)答案：7已知关于x的不等式2x7在x(a，)上恒成立，则实数a的最小值为_解析：2x(xa)(xa)2a.xa0，2x32a32a，当且仅当xa即xa1时，等号成立2x的最小值为32a.由题意可得32a7，得a2.答案：28设a，b，cR，求
9、证：(abc).证明：a，b，cR，2(abc)(ab)(bc)(ca)30.30，(abc).当且仅当abc时，等号成立9已知正数a，b，c满足abc1，求(a2)(b2)(c2)的最小值解：因为(a2)(b2)(c2)(a11)(b11)(c11)3332727，当且仅当abc1时，等号成立所以(a2)(b2)(c2)的最小值为27.10已知a，b，c均为正数，证明：a2b2c226，并确定a，b，c为何值时，等号成立证明：法一：因为a，b，c均为正数，由平均值不等式，得a2b2c23(abc)，3(abc)，所以29(abc).故a2b2c223(abc)9(abc).又3(abc)9(abc)26，所以原不等式成立当且仅当abc时，式和式等号成立当且仅当3(abc)9(abc)时，式等号成立即当且仅当abc3时，原式等号成立法二：因为a，b，c均为正数，由基本不等式，得a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，所以a2b2c2abbcac，同理，故a2b2c22abbcac6，所以原不等式成立当且仅当abc时，式和式等号成立；当且仅当abc，(ab)2(bc)2(ac)23时，式等号成立，即当且仅当abc3时，原式等号成立
