《高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.1 函数的单调性与导数学案（含解析）新人教A版选修1-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.1 函数的单调性与导数学案（含解析）新人教A版选修1-1（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、33.1函数的单调性与导数提出问题已知函数y1x，y2x2，y3的图象如图所示问题1：试结合图象指出以上三个函数的单调性提示：函数y1x在R上为增函数，y2x2在(，0)上为减函数，在(0，)上为增函数，y3在(，0)，(0，)上为减函数问题2：判断它们的导数在其单调区间上的正、负提示：y11，在R上为正；y22x，在(，0)上为负，在(0，)上为正；y3，在 (，0)及(0，)上均为负问题3：结合问题1、问题2，探讨函数的单调性与其导函数的正负有什么关系？提示：当f(x)0时，f(x)为增函数；当f(x)0单调递增f(x)0(f(x)0.函数与导函数的图象例1已知函数yxf(x)的图象如图所
2、示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，下列四个图象中为yf(x)的大致图象的是()解选C由题图知：当x1时，xf(x)0，f(x)0，函数yf(x)单调递增；当1x0时，xf(x)0，f(x)0，函数yf(x)单调递减；当0x1时，xf(x)0，f(x)0，函数yf(x)单调递减；当x1时，xf(x)0，f(x)0，yf(x)单调递增类题通法研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素：对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致活学
3、活用函数f(x)的图象如图所示，则导函数yf(x)的图象可能是()解析：选D从原函数yf(x)的图象可以看出，其在区间(，0)上是减函数，f(x)0；在区间(0，x1)上是增函数，f(x)0；在区间(x1，x2)上是减函数，f(x)0；在区间(x2，)上是增函数，f(x)0.结合选项可知，只有D项满足判断(或证明)函数的单调性例2证明函数f(x)在上单调递减证明：f(x)，f(x).由于x，所以cos x 0, sin x0.因此xcos xsin x0，故f(x)0，所以f(x)在上单调递减类题通法利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式f(x)0(f(x)
4、0)在给定区间上恒成立，一般步骤为：求导数f(x)；判断f(x)的符号；给出单调性结论注意如果出现个别点使f(x)0，不影响函数在包含该点的某个区间内的单调性活学活用试证明：函数f(x)在区间(0,2)上是增函数证明：由于f(x)，所以f(x)，由于0x2，所以ln xln 21，故f(x)0，所以函数f(x)在区间(0,2)上是增函数求函数的单调区间例3求下列函数的单调区间：(1)f(x)xsin x，x(0,2)；(2)f(x)2xln x.解(1)f(x)cos x，令f(x)0，得cos x0，即cos x.又x(0,2)，0x或x2.同理，令f(x)0，得x0，解得x；令20，解得0
5、x0，得x1；令y0，得x1.因此，yxex的单调递增区间为(1，)，单调递减区间为(，1)典例已知函数f(x)x3ax1.讨论f(x)的单调性解f(x)3x2a.当a0时，f(x)0，所以f(x)在(，)上为增函数当a0时，令3x2a0得x；当x或x时，f(x)0；当x时，f(x)0.因此f(x)在，上为增函数，在上为减函数综上可知，当a0时，f(x)在R上为增函数；当a0时，f(x)在，上为增函数，在上为减函数多维探究1讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参不等式的解集问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但要始终注意定义域对函数单调性的影响以及分类讨论的标准2此题对含参
6、数的函数的单调性进行了讨论另外，已知函数的单调性确定参数问题更是各类考试的重点，应注意掌握，如更换本题的条件，可得如下问题：(1)f(x)不变，若f(x)为增函数，求实数a的取值范围解：由已知得f(x)3x2a，因为f(x)在(，)上是增函数，所以f(x)3x2a0在(，)上恒成立，即a3x2对xR恒成立因为3x20，所以只需a0.又因为a0时，f(x)3x20，f(x)x31在R上是增函数，所以a0，即a的取值范围为(，0(2)f(x)不变，若f(x)在区间(1，)上为增函数，求a的取值范围解：因为f(x)3x2a，且f(x)在区间(1，)上为增函数，所以f(x)0在(1，)上恒成立，即3x
7、2a0在(1，)上恒成立，所以a3x2在(1，)上恒成立，所以a3，即a的取值范围为(，3(3)f(x)不变，若f(x)在区间(1,1)上为减函数，试求a的取值范围解：由f(x)3x2a0在(1,1)上恒成立，得a3x2在(1,1)上恒成立因为1x1，所以3x23，所以a3.即当a的取值范围为3，)时，f(x)在(1,1)上为减函数(4)f(x)不变，若f(x)的单调递减区间为(1,1)，求a的值解：由例题可知，f(x)的单调递减区间为，1，即a3.(5)f(x)不变，若f(x)在区间(1,1)上不单调，求a的取值范围解：f(x)x3ax1，f(x)3x2a.由f(x)0，得x(a0)f(x)
8、在区间(1,1)上不单调，01，得0a3，即a的取值范围为(0,3)随堂即时演练1已知函数f(x)x33x29x，则函数f(x)的单调递增区间是()A(3,9)B(，1)，(3，)C(1,3) D(，3)，(9，)解析：选Bf(x)x33x29x，f(x)3x26x93(x22x3)令f(x)0，得x3或x1.2函数f(x)2xsin x在(，)上()A是增函数 B是减函数C有最大值 D有最小值解析：选Acos x1，f(x)2cos x0恒成立，f(x)在(，)上为增函数3若函数f(x)x3bx2cxd的单调递减区间为(1,2)，则b_，c_.解析：f(x)3x22bxc，由题意知1x2是不
9、等式f(x)0的解，即1,2是方程3x22bxc0的两个根，把1,2分别代入方程，解得b，c6.答案：64函数f(x)x2sin x在(0，)上的单调递增区间为_解析：令f(x)12cos x0，则cos x，又x(0，)，解得x，所以函数的单调递增区间为.答案：5讨论下列函数的单调性：(1)yx3x；(2)yexex(x0，)解：(1)yx3x，y3x213.当x或x时，y0，当x时，y0，yx3x，在和上是增函数，在上是减函数(2)f(x)(ex)exexex，当x0，)时，ex1，f(x)0.f(x)exex在0，)上为增函数课时达标检测一、选择题1已知函数f(x)x3ax2bxc(a，
10、b，cR)，若a23b0，则f(x)是()A减函数B增函数C常数函数D既不是减函数也不是增函数解析：选B由题意知f(x)3x22axb，则方程3x22axb0的根的判别式4a212b4(a23b)0，故f(x)0在实数集R上恒成立，即f(x)在R上为增函数2函数y(3x2)ex的单调递增区间是()A(，0)B(0，)C(，3)和(1，) D(3,1)解析：选Dy2xex(3x2)ex(x22x3)ex，令(x22x3)ex0，由于ex0，则x22x30，解得3x1，所以函数的单调递增区间是(3,1)3已知函数f(x)ln x，则有()Af(2)f(e)f(3)Bf(e)f(2)f(3)Cf(3)f(e)f(2)Df(e)f(3)f(2)解析：选A因为在定义域(0，)上f(x)0，所以f(x)在(0，)上是增函数，所以有f(2)f(e)f(3)4设f(x)是函数f(x)的导函数，yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象最有可能的是()解析：选C由图可知函数应在区间(0,2)上单调递减，在区间(，0)和(2，)上单调递增，只有选项C符合题意5已知函数f(x)，g(x)在区间a，b上均有f(x)g(x)，则
