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1、3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较最新K12资料13核心必知1三种函数的增长特点(1)当a1时，指数函数yax是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快(2)当a1时，对数函数ylogax是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快(3)当x0，n1时，幂函数yxn显然也是增函数，并且当x1时，n越大其函数值的增长就越快2三种函数的增长比较在区间(0，)上，尽管函数yax(a1)，ylogax(a1)和yxn(n0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，幂函数yxn(n0)，指数函数yax(a1)增长的快慢交替出现，随着x的增大，yax(a1)的增长速度越
2、来越快，会超过并远远大于yxn(n0)的增长速度，而ylogax(a1)的增长速度则会越来越慢一般地，若a1，n0，那么当x足够大时，一定有axxnlogax. 问题思考12xlog2x，x2log2x，在(0，)上一定成立吗？提示：结合图像知一定成立22xx2在(0，)上一定成立吗？提示：不一定，当0x2和x4时成立，而当2x4时，2xx2.讲一讲1四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：关于x呈指数型函数变化的变量是_尝试解答以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的从表格可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，变量y4越来越小，但是减小的速度很慢，则变量y4
3、关于x不呈指数型函数变化；而变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增大的速度不同，其中变量y2的增长最快，画出图像可知变量y2关于x呈指数型函数变化答案：y2解决该类问题的关键是根据所给出的数据或图像的增长的快慢情况，结合指数函数、幂函数、对数函数增长的差异，从中作出判断练一练1下面是f(x)随x的增大而得到的函数值列表：试问：(1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？(2)各函数增长的快慢有什么不同？解：(1)随x的增大，各函数的函数值都在增大；(2)由图表可以看出，各函数增长的快慢不同，其中f(x)2x增长最快，而且越来越快；增长最慢的是f(x)log2x，而且增长的幅度越来
4、越小讲一讲2假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番请问，你会选择哪种投资方案？尝试解答设第x天所得回报是y元由题意，方案一：y40(xN)；方案二：y10x(xN)；方案三：y0.42x1(xN)作出三个函数的图像如图：由图可以看出，从每天回报看，在第一天到第三天，方案一最多，在第四天，方案一，二一样多，方案三最少，在第五天到第八天，方案二最多，第九天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第三十天，所得回报已超过
5、2亿元，若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三通过计算器计算列出三种方案的累积收入表.投资一天到六天，应选方案一，投资七天方案一，二均可，投资八天到十天应选方案二，投资十一天及其以上，应选方案三(1)解决应用问题的关键是将应用问题转化成数学问题解决，结合函数图像有助于直观认识函数值在不同范围的大小关系(2)一般地：指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；而幂函数增长模型介于两者之间，适合于描述增长速度一般的变化规律练一练2某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102 kg)与上市
6、时间t(单位：天)的数据如下表：时间t50110250种植成本Q150108150(1)根据表中数据，从下列函数中选取一个函数，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系；(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本解：(1)由表中数据知，当时间t变化时，种植成本并不是单调的，故只能选择Qat2btc.即解得Qt2t.(2)Q(t150)2(t150)2100，当t150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102kg.若x2logmx在x内恒成立，求实数m的取值范围巧思将不等式恒成立问题转化为两个函数图像在内的上下位置关系，再构建不等式求解妙解设y1x2，y2lo
7、gmx，作出符合题意的两函数的大致图像(如图)，可知0m1.当x时，y1，若两函数在x处相交，则y2.由logm得m，又x2logmx在x内恒成立，因此，实数m的取值范围为.1下面对函数f(x)与g(x)x在区间(0，)上的增减情况的说法中正确的是()Af(x)的增减速度越来越慢，g(x)的增减速度越来越快Bf(x)的增减速度越来越快，g(x)的增减速度越来越慢Cf(x)的增减速度越来越慢，g(x)的增减速度越来越慢Df(x)的增减速度越来越快，g(x)的增减速度越来越快解析：选C在同一坐标下分别作出函数y和y()x的图像，由图像知C正确2下列所给函数，增长最快的是()Ay5xByx5Cylo
8、g5x Dy5x答案：D3某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷，0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y关于年数x的函数关系较为近似的是()Ay0.2x By(x22x)Cy Dy0.2log16x解析：选C当x1时，否定B；当x2时，否定D；当x3时，否定A.4已知函数f(x)3x，g(x)2x，当xR时，f(x)与g(x)的大小关系为_解析：在同一直角坐标系中画出函数f(x)3x，g(x)2x的图像，如图所示，由于函数f(x)3x的图像在函数g(x)2x图像的上方，则f(x)g(x)答案：f(x)g(x)5据报道，青海湖水在最近50年内减少了1
9、0%，如果按此规律，设2016年的湖水量为m，从2016年起，过x年后湖水量y与x的函数关系是_解析：设湖水量每年为上年的q%，则(q%)500.9，x年后湖水量ym(q%)x答案：y6函数f(x)lg x，g(x)0.3x1的图像如图所示(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)解：(1)C1对应的函数为g(x)0.3x1，C2对应的函数为f(x)lg x；(2)当xx1时，g(x)f(x)；当x1xx2时，f(x)g(x)；当xx2时，g(x)f(x)一、选择题1当x越来越大时，下列函数
10、中，增长速度最快的应该是()Ay10xBylg xCyx10 Dy10x解析：选D由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y10x的增长速度最快2某山区为加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么，经过x年，绿色植被的面积可增长为原来的y倍，则函数yf(x)的大致图像为()解析：选Dyf(x)(110.4%)x1.104x是指数型函数，定义域为0,1,2,3,4，由单调性，结合图像知选D.3函数y2xx2的图像大致是()解析：选A由图像可知，y2x与yx2的交点有3个，说明函数y2xx2与x轴的交点有3个，故排除B、C选项，当x2x成立，即y0，故排除D.4
11、当0x1时，f(x)x2，g(x)x，h(x)x2的大小关系是()Ah(x)g(x)f(x) Bh(x)f(x)g(x)Cg(x)h(x)f(x) Df(x)g(x)h(x)解析：选D在同一坐标下作出函数f(x)x2，g(x)x，h(x)x2的图像，由图像知，D正确二、填空题5近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆房子没有什么变化，但价格却上涨了，小张在2005年以15万元的价格购得一所新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2015年，这所房子的价格y(万元)与价格年膨胀率x之间的函数关系式是_解析：1年后，y15(1x)；2年后，y15(1x)2；3年后，y15(1x)
12、3，10年后，y15(1x)10.答案：y15(1x)106在直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫格点若函数yf(x)的图像恰好经过k个格点，则称函数yf(x)为k阶格点函数，则下列函数中为一阶格点函数的序号是_yx2；yx1；yex1；ylog2x.解析：这是一道新概念题，重点考查函数值的变化情况显然都有无数个格点；有两个格点(1,1)，(1，1)；而yex1除了(0,0)外，其余点的坐标都与e有关，所以不是整点，故符合答案：7若ax，bx3，c，则当x1时，a，b，c的大小关系是_解析：x1，ax(0,1)，bx3(1，)，c(，0)cab.答案：cab8已知a0，a1，f(x)x2ax
13、，当x(1,1)时，均有f(x)，则实数a的取值范围是_解析：当a1时，作出函数y1x2，y2ax的图像：要使x(1,1)时，均有f(x)，只要当x1时，有(1)2a1，解得a2，1a2.当0a1时，同理，只需12a1，即a.a1.综上所述，a的取值范围是(1,2答案：(1,2三、解答题9一个叫迈克的百万富翁碰到一件奇怪的事一个叫吉米的人对他说：“我想和你订立个合同，在整整一个月中，我每天给你10万元，而你第一天只需要给我1分钱，以后每天给我的钱数是前一天的两倍”迈克非常高兴，他同意订立这样的合同试通过计算说明，谁将在合同中获利？解：在一个月(按31天计算)的时间里，迈克每天得到10万元，增长的方式是直线增长，经过31天后，共得到3110310(万元)而吉米，第一天得到1分，第二天得到2分，第三天得到4分，第四天得到8分，第20天得到219分，第31天得到230分，使用计算器计算可得1248162302 147 483 647分2 147.48(万元)所以在这份合同中吉米纯获利2 147.483101 837.48(万元)所以吉米将在合同中获利10某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售
