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1、第 三 章流体动力学基础,3-1描述流体运动的两种方法,着眼点不同,拉格朗日法（Lagrange）：流体质点,欧拉法（Euler）：空间,跟踪追迹法,设立观察站法,一、 拉格朗日描述法与质点系,（a, b, c）为t=t0起始时刻质点所在的空间位置坐标，称为拉格朗日变数。任何质点在空间的位置（x, y, z）都可看作是（a, b, c）和时间 t 的函数： 或 r r（a, b, c , t） （1）（a, b, c）=const , t为变数, 可以得出某个指定质点在任意时刻所处的位置。 （2）（a, b, c）为变数, t=const ,可以得出某一瞬间不同质点在空间的分布情况。,流体质点
2、任一物理量B（如速度、压力、密度等）表示为： BB（a, b, c , t）,质点系： 在t0时紧密毗邻的具有不同起始坐标（a,b,c)的无数质点组成一个有确定形状、有确定流动参数的质点系。经过t时间之后，质点系的位置和形状发生变化。,二、 欧拉描述法与控制体,欧拉法不直接追究质点的运动过程，而是以充满运动流体质点的空间流场为对象。流体质点的物理量B是时空（x, y, z, t）的连续函数： BB（x, y, z , t） （x, y, z,）欧拉变量 速度场： uu (x, y, z , t), v v (x, y, z , t), ww (x, y, z , t).,控制体：将孤立点上的观
3、察站扩大为一个有适当规模的连续区域。控制体相对于坐标系固定位置，有任意确定的形状，不随时间变化。控制体的表面为控制面，控制面上有流体进出。,三、 两种描述方法之间的联系,如果标号参数为(a, b, c)的流体质点，在t时刻正好到达(x, y, z)这个空间点上，则有 BB (x, y, z , t) B (x (a, b, c, t), y (a, b, c, t), z (a, b, c, t), t) B (a, b, c , t),3-2 流体运动的几个基本概念,一、物理量的质点导数,质点导数定义：流体质点的物理量随时间的变化率。 随体导数,如速度V和加速度a为,2,1、拉格朗日描述中的
4、随体导数,V 和 a 在直角坐标系中展开：,和,以速度在直角坐标系为例： 流体质点运动速度在欧拉法中，VV (x, y, z, t), 由于位置又是时间 t 的函数，所以流速是t的复合函数，对流速求导可得加速度： 写成分量形式,2、欧拉描述中随体导数,用哈密顿算子表示：,局部（当地）加速度：同一空间点上流体速度随时间的变化率。定常流动该项为0。,迁移（位变）加速度：同一时刻由于不同空间点的流体速度差异而产生的速度变化率。均匀流场该项为0。,对于任一物理量B：,局部（当地）导数，表示流场的非定常性。,迁移（位变）导数，表示流场的均匀性。,质点导数,例题：,解：,二、定常流与非定常流（或恒定流与非
5、恒定流）,三、均匀流与非均匀流,四、一元流、二元流与三元流,按流体运动要素所含空间坐标变量的个数分： （1）一元流 一元流(one-dimensional flow):流体在一个方向流动最为显著，其余两个方向的流动可忽略不计，即流动流体的运动要素是一个空间坐标的函数。若考虑流道（管道或渠道）中实际液体运动要素的断面平均值，则运动要素只是曲线坐标s的函数，这种流动属于一元流动。 （2）二元流 二元流(two-dimensional flow):流体主要表现在两个方向的流动，而第三个方向的流动可忽略不计，即流动流体的运动要素是二个空间坐标（不限于直角坐标）函数。 （3）三元流 三元流（three-
6、dimensional flow):流动流体的运动要素是三个空间坐标函数。,五、迹线与流线,迹线流体质点在流场中的运动轨迹线。是拉格朗日法描述流体运动的基础。,1、迹线,流线是流场中这样一条曲线，曲线上任一点的切线方向与该点的流速方向重合。流线是欧拉法描述流体运动的基础。图为流线谱中显示的流线形状。,2、流线,流线的作法： 在流场中任取一点，绘出某时刻通过该点的流体质点的流速矢量u1，再画出距1点很近的2点在同一时刻通过该处的流体质点的流速矢量u2，如此继续下去，得一折线1234 ，若各点无限接近，其极限就是某时刻的流线。,流线方程: 设dr为流线上A处的一微元弧长矢量: V为流体质点在A点的
7、流速: 根据流线的定义，可以求得流线的微分方程： 展开后得到： 流线微分方程,dr,流线的性质： 在某一时刻，过某一空间点只有一条流线。流线不能相交，不能突然转折。三种例外： 对于非定常流动，流线具有瞬时性。 一般情况下，流线迹线不重合。定常流动中流线形状不随时间变化，而且流体质点的迹线和流线重合,驻点,相切点,奇点,脉线,在一段时间内，会有不同的流体质点相继经过同一空间固定点，在某一瞬时将这些质点所处的位置点光滑连接而成的曲线。 流线、迹线和脉线是本质不同的三种描述流体运动的线，定常时互相重合。,六、流管与流束,流面在流场中作一条任意的空间曲线L（非流线），过此曲线的每一点作流线，这些无数密
8、集的流线所构成的曲面。 性质：（与流线相似） （1）在某一时刻，过一条曲线只有一个流面； （2）非定常时，流面形状随时间变化； （3）流体不能穿越流面。,流管与流束 流管定义 流管性质： （1）不能相交； （2）形状和位置在非定常时随时间变化； （3）不能在流场内部中断，只能始于或终于流场的边界。如物面，自由面等。,流束除了有流管的性质以外，还具有： （1）截面上的速度处处相等； （2）微小截面看成是平面。,流束定义：截面面积很小的流管，微元流管。流束的极限是流线。,流管截面：以L为周界可以作很多的面，可以是平面或曲面。 有效截面（过流断面）：截面上的流速方向处处与该面垂直,缓变流动：如果微小
9、流束（流线）间的夹角及流束的曲率都非常小，这种流动称为缓变流动。反之急变流。缓变流的过流断面可看作是平面。急变流的过流断面是曲面,缓变流,七、流量、净通量,1、流量 单位时间内通过某一过流断面的流体量。体积流量qv或Q表示，质量流量qm。 体积流量（m3/s）： 质量流量（kg/s）： 如果dA不是过流断面，而是与微元流束相交的任意断面，则 体积流量（m3/s）： 质量流量（kg/s）： 2、净通量 流过全部封闭控制面A的流量称为净流量，或净通量。,八、过流断面上的平均速度与动能动量修正系数,1、断面平均速度 过流断面上各点的流速是不相同的，所以常采用一个平均值来代替各点的实际流速，称断面平均
10、流速。 2、动能及动能修正系数 动能（kinetic energy）：是指物体由于机械运动而具有的能量。 单位时间内通过过流断面的流体动能是： 动能修正系数是实际动能与按断面平均流速计算的动能的比值。,注意：动能修正系数是无量纲数，它的大小取决于总流过水断面上的流速分布，分布越均匀，值越小，越接近于1.0。,层流流速分布 湍流流速分布,2、动量及动量修正系数 动量（momentum)是物体运动的一种量度，是描述物体机械运动状态的一个重要物理量。 单位时间内通过过流断面的流体动量是： 动量修正系数是实际动量与按断面平均流速计算的动量的比值。 动量修正系数是无量纲数，它的大小取决于总流过水断面的流
11、速分布，分布越均匀，值越小，越接近于1.0。,层流流速分布 湍流流速分布,3-3连续方程式,一、基本原理,特例,特例1 定常流动 则,特例2 不可压缩流动 为常数 则,流管流动的连续性方程的应用： 恒定流动时： 对于不可压缩流体，则,连续性方程的积分形式： 由奥高公式 根据控制体与时间的无关性 直角坐标系下连续性方程的微分形式 即 想一想：恒定、不可压情况下，连续性方程的微分形式。,二、连续性方程的微分形式,3-4流体微团的运动分析,一、流体与刚体比较,刚体的运动是由平移和绕某瞬时轴的转动两部分组成。,流体质点的运动，一般除了平移、转动外，还要发生变形（角变形和线变形）。,二、流体微元的速度分
12、解,A(x,y,z)点速度为vx, vy, vz，则C点的速度为：,三、有旋流和无旋流,根据流体微团是否绕自身轴旋转，可分为有旋流和无旋流。 1.定义：有旋流（vortex）：亦称“涡流”。流体质点（微团）在运动中不仅发生平动（或形变），而且绕着自身的瞬时轴线作旋转运动。如旋风即为空气的涡流。当流体速度变化较大，由于流体粘滞阻力、压强不均匀等因素的影响，就容易形成涡流。 无旋流（potential flow）亦称“势流”、“有势流”。流体在运动中，它的微小单元只有平动或变形，但不发生旋转运动，即流体质点不绕其自身任意轴转动。 注意：无旋流和有旋流决定于流体质点本身是否旋转，而与运动轨迹无关。,
13、2.有旋流和无旋流的特性 （1）若wx=wy=wz=0，即 则流动为无旋流，否则，为有旋流。 有旋流（涡流）wx、wy、wz中任一个或全部不等于零的流体运动，绕自身轴有旋转的运动。（与通常的旋转不同）流场内流体质点具有绕质点自身任意轴的角速度。 （2）有旋流的特征是存在角速度。角速度是一个矢量，所以可如同用流线描述流动一样，可用涡线描述流动的旋转变化。 涡线在同一瞬时线上各质点的转速矢量都与该曲线相切。 无旋流一般存在于无粘性理想流体中。 有旋流一般存在于有粘性实际流体中。,例题,已知流体流动的流速场为 ，判断该流动是无旋流还是有旋流？ 解： 故液体流动是无旋流。,3-5实际流体的运动微分方程
14、式,一、作用在流体微元上的应力,应力矩阵,二、本构方程,确定应力与应变的方程式叫本构方程。,其中,p： 在平衡流体，代表一点上的流体静压强； 在理想流体，代表一点上的流体动压强； 在不可压实际流体，代表一点上的流体动压强的算术平均值。,三、纳维斯托克斯方程式,不可压实际流体的运动方程式 N-S方程,想一想理想流体、静止情况下的方程。,3-6 伯努利方程式及其应用,一、流线上的伯努利方程式,假设单位质量的流体质点某瞬时的速度为vvx i+ vy j+ vzk， 经dt时间，质点沿流线移动一段微小距离dsdxi+dyj+dzk vxdt i+ vydt j+ vzdt k，为求出单位质量流体移动d
15、s距离与外力作功的能量关系，将ds的三个投影分别与N-S方程的三个式子相乘，然后相加，得,下面分别对式中的四类项进行简化 质量力项，假设质量力有势 压强项 粘性摩擦力项 导数项,将结果代回原式，则可得,则,适用范围：非定常、质量力有势。,适用范围：定常、质量力有势。,适用范围：定常、重力场、不可压流体。,适用范围：理想、定常、重力场、不可压流体。,那么，实际流体在定常、重力场、不可压条件下，在流线上任意两点间可列出伯努利方程为：,理想流体在相同条件下，在流线上任意两点间的伯努利方程为：,二、粘性总流的伯努利方程式,粘性流体在定常、重力场、不可压条件下，在流线上任意两点间可列出伯努利方程为,其中 用 代替，则,在实际工程中，我们遇到的往往是过流断面具有有限大小的流动，我们称它们为总流。因此我们应将沿流线的伯努利方程推广到沿总流上去。将上式乘以gdqv，然后对整个总流断面积分，这样就获得总流的能量关系式,1) 为单位时间内通过断面A的势能总和。,假设两个过流断面上的流动为缓变流动,在缓变流动情况下，过流断面可以近似地认为是一个平面。由于过流断面是与流线上的速度方向成正交的断面，故而在过流断面上没有任何速度分量。如果令x轴与过流断面相垂直,如图，则 N-S方程的第2及第3式与流体静力学地平衡方程相同，这说明在
