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1、第1章 命题逻辑逻辑是研究人的思维的科学，包括辩证逻辑和形式逻辑。辩证逻辑是研究反映客观世界辩证发展过程的人类思维的形态的。形式逻辑是研究思维的形式结构和规律的科学，它撇开具体的、个别的思维内容，从形式结构方面研究概念、判断和推理及其正确联系的规律。数理逻辑是用数学方法研究推理的形式结构和推理的规律的数学学科。所谓的数学方法也就是用一套有严格定义的符号，即建立一套形式语言来研究。因此数理逻辑也称为符号逻辑。数理逻辑的基础部分是命题逻辑和谓词逻辑。本章主要讲述命题逻辑，谓词逻辑将在第2章进行讨论。1.1命题及其表示1.1.1命题的基本概念数理逻辑研究的中心问题是推理（Inference)，而推理
2、就必然包含前提和结论，前提和结论都是表达判断的陈述句，因而表达判断的陈述句就成为推理的基本要素。在数理逻辑中，将能够判断真假的陈述句称为命题。因此命题就成为推理的基本单位。在命题逻辑中，对命题的组成部分不再进一步细分。定义1.1.1 能够判断真假的陈述句称为命题（Proposition）。命题的判断结果称为命题的真值，常用 T(True)（或1）表示真，F(False)（或0）表示假。真值为真的命题称为真命题，真值为假的命题称为假命题。从上述的定义可知，判定一个句子是否为命题要分为两步：一是判定是否为陈述句，二是能否判定真假，二者缺一不可。例1.1.1 判断下列句子是否为命题（1） 北京是中国
3、的首都。（2） 请勿吸烟！（3） 雪是黑的。（4） 明天开会吗？（5） x+y=5。（6） 我正在说谎。（7） 9+512。（8） 1+101=110。（9） 今天天气多好啊！（10） 别的星球上有生物。解 在上述的十个句子中，（2）、（9）为祈使句，（4）为疑问句，（5）、（6）虽然是陈述句，但（5）没有确定的真值，其真假随x、y取值的不同而有改变，（6）是悖论(Paradox)（即由真能推出假，由假也能推出真），因而（2）、（4）、（5）、（6）、（9）均不是命题。（1）、（3）、（7）、（8）、（10）都是命题，其中（10）虽然现在无法判断真假，但随着科技的进步是可以判定真假的。需要进一
4、步指出的是，命题的真假只要求它有就可以，而不要求立即给出。如例1.1.1 的（8）1+101=110，它的真假意义通常和上下文有关，当作为二进制的加法时，它是真命题，否则为假命题。还有的命题的真假不能马上给出，如例1.1.1 的（10），但它确实有真假意义。1.1.2 命题分类根据命题的结构形式，命题分为原子命题和复合命题。定义1.1.2 不能被分解为更简单的陈述语句的命题称为原子命题(Simple Proposition )。由两个或两个以上原子命题组合而成的命题称为复合命题(Compound Proposition )。例如，例1.1.1中的命题全部为原子命题，而命题“小王和小李都去公园。
5、”是复合命题，是由“小王去公园。”与“小李去公园。”两个原子命题组成的。1.1.3命题标识符定义1.1.3 表示原子命题的符号称为命题标识符(Identifier)。通常用大写字母A，B，C，P，Q， 等表示命题，如P：今天下雨。命题标识符依据表示命题的情况，分为命题常元和命题变元。一个表示确定命题的标识符称为命题常元（或命题常项）(Propositional constant)；没有指定具体内容的命题标识符称为命题变元（或命题变项）(Propositional Variable)。命题变元的真值情况不确定，因而命题变元不是命题。只有给命题变元P一具体的命题取代时，P有了确定的真值，P才成为命
6、题。习题1.11 判断下列语句是否为命题，若是，指出其真值。（1） 外面下雨吗？（2） 7能被2 整除。（3） 2x+34。（2）燕子北回，春天来了。（1）设P：雪是黑色的。Q：2+24。则（1）可表示为PQ，其真值为T。（2）设R：燕子北回。S：春天来了。则（2）可表示为R S，其真值为T。与前面的联结词一样，条件联结词和双条件联结词连接的两个命题之间可以没有任何的因果联系，只要能确定复合命题的真值即可。习题1.21指出下列命题的真值：（1） 若2+24，则太阳从西方升起。（2） 若a，则aA。 （3） 胎生动物当且仅当是哺乳动物。 （4） 指南针永指北方，除非它旁边有磁铁。（5） 除非AB
7、CD 是平行四边形,否则它的对边不都平行。2令P：天气好。Q：我去公园。请将下列命题符号化。（1） 如果天气好，我就去公园。（2） 只要天气好，我就去公园。（3） 只有天气好，我才去公园。（4） 我去公园，仅当天气好。 （5） 或者天气好，或者我去公园。（6） 天气好，我去公园。1.3 命题公式与翻译1.3.1命题公式上一节介绍了5种常用的逻辑联结词，利用这些逻辑联结词可将具体的命题表示成符号化的形式。对于较为复杂的命题，需要由这5种逻辑联结词经过各种相互组合以得到其符号化的形式，那么怎样的组合形式才是正确的、符合逻辑的表示形式呢？定义1.3.1（1）单个的命题变元是命题公式。（2）如果是命题
8、公式，那么也是命题公式。（3）如果、是命题公式，那么(),（), ()和()也是命题公式。 （4）当且仅当能够有限次地应用（1）、（2）、（3）所得到的包含命题变元、联结词和括号的符号串是命题公式（又称为合式公式，或简称为公式）。上述定义是以递归的形式给出的，其中（1）称为基础，（2）、（3）称为归纳，（4）称为界限。由定义知,命题公式是没有真假的，仅当一个命题公式中的命题变元被赋以确定的命题时，才得到一个命题。例如在公式中，把命题“雪是白色的。”赋给，把命题“2+24。”赋给，则公式被解释为假命题；但若的赋值不变，而把命题“2+2=4。”赋给，则公式被解释为真命题。定义中的符号,不同于具体公式里的、等符号，它可以用来表示任意的命题公式。例1.3.1 ，等都是命题公式，而，等都不是命题公式。为了减少命题公式中使用括号的数量，规定：（1）逻辑联结词的优先级别由高到低依次为、。（2）具有相同级别的联结词，按出现的先后次序进行计算，括号可以省略。（3）命题公式的最外层括号可以省去。例1.3.2 也可以写成，也可写成，也可写成，而中的括号不能省去。定义1.3.2 设是命题公式的一部分，且也是命题公式，则称为的子公式。例如及都是公式的子公式；、及都是公式的子公式。1.3.2 命题的符号化 有了命题公式的概念之后，就可以把自然语言中的一些命题翻译成命题逻辑中的符号化形式。把
