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1、二面角求法之面面观求解二面角是立体几何中最基本、最重要的题型，也是各地高考中的“热点”问题，虽然对此可说是“千锤百炼”，但我们必须面对新的情境、新的变化，如何以基本方法的“不变”去应对题目中的“万变”就是我们研究的中心话题.总的来说，求解二面角的大体步骤为：“作、证、求”.其中“作、证”是关键也是难点，“求”依靠的计算，也决不能忽视，否则因小失大，功亏一篑，也是十分遗憾之事.1 定义法即在二面角的棱上找一点，在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角.定义法是“众法之源”，万变不离其宗，“树高千尺，叶落归根”，求二面角的一切方法盖源出定义这个“根”！.DB1图1AOA1CBD1C1O1
2、例1 正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角A-BD-C1的正切值为 .分析与略解：“小题”不必“大做”，由图1知所求二面角为二面角C-BD-C1的“补角”.教材中根本就没有“二面角的补角”这个概念，但通过几何直观又很容易理解其意义，这就叫做直觉思维，在立体几何中必须发展这种重要的思维能力.易知COC1是二面角C-BD-C1的平面角，且tanCOC1=。将题目略作变化，二面角A1-BD-C1的余弦值为 .在图1中，A1OC1是二面角A1-BD-C1的平面角，设出正方体的棱长，用余弦定理易求得MAFA1QPBCECBPEF图2(2)图2(1)QcosA1OC1=例2(2006年江苏试题)如
3、图2(1)，在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：BP=1：2.如图2(2)，将AEF折起到A1EF的位置，使二面角A1-EF-B成直二面角，连接A1B、A1P.()与()略；()求二面角B-A1P-F的余弦值。分析与略解：在例1中，图形的对称和谐状态对解题产生了很好的启迪作用，在这里更离不开图形的这种对称和谐性.若取BP的中点Q，连接EQ，则在正三角形ABC中，很容易证得BEQPEQPEFAEF，那么在图2(2)中，有A1Q=A1F.作FMA1P于M，连接QH、QF，则易得A1QPA1FP，QMPFMP，所以PMQ=PMF=90o，QM
4、F为二面角B-A1P-F的平面角，使题解取得了突破性的进展.设正三角形的边长为3，依次可求得A1P=，QM=FM=，在QMF中，由余弦定理得cosQMF=。练习：2011广东高考理18.(本小题满分13分) 如图5.在锥体P-ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且DAB=60，,PB=2, E,F分别是BC,PC的中点.PABCDFGPABCDFE(1) 证明：AD 平面DEF; (2) 求二面角P-AD-B的余弦值.解：(2) 由（1）知为二面角的平面角，在中，；在中，；在中，.2 三垂线法这是最典型也是最常用的方法，当然此法仍扎“根”于二面角平面角的定义.A图3PBl此法最基本的一个模型
5、为：如图3，设锐二面角，过面内一点P作PA于A，作ABl于B，连接PB，由三垂线定理得PBl，则PBA为二面角的平面角，故称此法为三垂线法.最重要的是在“变形(形状改变)”和“变位(位置变化)”中能迅速作出所求二面角的平面角，再在该角所在的三角形(最好是直角三角形，如图3中的RtPAB)中求解.对于钝二面角也完全可以用这种方法，锐角的补角不就是钝角吗？图4B1AA1BlEF例3(2006年陕西试题)如图4，平面平面，=l，A，B，点A在直线l上的射影为A1，点B在l的射影为B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=，求：()略；()二面角A1ABB1的正弦值.分析与略解：所求二面角的棱为AB，不
6、像图3的那样一看就明白的状态，但本质却是一样的，对本质的观察能力反映的是思维的深刻性.作A1EAB1于AB1于E，则可证A1E平面AB1B.过E作EFAB交AB于F，连接A1F，则得A1FAB，A1FE就是所求二面角的平面角.依次可求得AB1=B1B=，A1B=，A1E=，A1F=，则在RtA1EF中，sinA1FE=.与图3中的RtPAB比较，这里的RtA1EF就发生了“变形”和“变位”，所以要有应对各种变化，乃至更复杂变化的思想准备.3 垂面法P图5lCBA事实上，图1中的平面COC1、图2(2)中的平面QMF、图3中的平面PAB、图4中的平面A1FE都是相关二面角棱的垂面，这种通过作二面
7、角棱的垂面得平面角的方法就叫做垂面法.在某些情况下用这种方法可取得良好的效果.例4空间的点P到二面角的面、及棱l的距离分别为4、3、，求二面角的大小.分析与略解：如图5，分别作PA于A，PB于B，则易知l平面PAB，设l平面PAB=C，连接PC，则lPC.分别在RtPAC、RtPBC中，PC=，PA=4，PB=3，则AC=，BC=.因为P、A、C、B四点共圆，且PC为直径，设PC=2R，二面角的大小为.分别在PAB、ABC中，由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos=PA2+PB2-2PAPBcos()，则可解得cos=，=120o，二面角的大小为120o.4 面积法如图1，设二面
8、角C-BD-C1的大小为，则在RtCOC1中，cos，在某些情况下用此法特别方便.例5 如图6，平面外的A1B1C1在内的射影是边长为1的正三角形ABC，且AA1=2，BB1=3，CC1=4，求A1B1C1所在的平面与平面所成锐二面角的余弦值分析与略解：问题的情境很容易使人想到用面积法，分别在BB1、CC1取BD=CE=AA1，DAM图6ECBC1A1B1HG则A1B1C1A1DE，可求得A1B=，A1C1=，B1C1=，所以等腰A1B1C1的面积为，又正ABC的面积为.设所求二面角的大小为，则cos=.5 变式二面角的求法以上列举了求解二面角的四种基本方法，但在现实中，问题往往不是那么简单与
9、单纯，而是有诸多的变化，“源于基本方法，适应各种变化”就是我们总的策略.5.1 “无棱”二面角的求法严格地说，任何二面角都是有棱的，“无棱”其实是指二面角的棱处于隐含的状态.对于这样的问题，有两种处理办法：(1)用面积法，见例5；(2)找出隐含的棱，此法可称为“找棱法”.在例5中，延长C1B1和C1A1分别交CB和CA的延长线于G、H，连GH.作CMGH于M，连C1M，C1MGH，则CMC1是所求二面角的平面角.由平几知识得CG=4，CH=2，则CGH的面积为，又CGH的面积为CHCM.又由余弦定理得GH=，所以CM=2，则在RtCMC1中，cos=.在原图中，面A1B1C1与的公共点都不知道
10、，所以必须找出它们的两个公共点，才能找到二面角的棱；而在另一些问题中，知道两个面的一个公共点，那么只须再找出另一个公共点就可以了.面积法比找棱法似乎要简单些，但看问题不能简单化，例5的第二种解法是非常重要的一种方法，其中蕴涵的知识和技能的“营养”对于滋补人大大脑是十分有价值的，所以决不要忽视找棱法.5.2 有关二面角的最值问题求最值是代数、三角、解几的“热点”问题，殊不知立体几何中也有引人入胜的最值问题.图7EDCBAl例6 二面角-l-的大小是变量，点B、C在l上，A、D分别在面、内，且ADBC，AD与面成角，若ABC的面积为定值S，求BCD面积Q的最大值.分析与略解：如图9，作AEBC于E，连DE，则由ADBC得BC平面ADE，则DEBC，AED=，ADE=.在AED中，由正弦定理得，所以，则当时，有Qmax=2S.BCD和ABC有公共的底边BC，则它们的面积比等于对应高之比，这是简单的平几知识，但用在这里却发挥了以简驭繁的奇妙功能.三角函数与正弦定理给题目注入了新的活力.4
