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1、,第六章 力系的简化与平衡 (Simplification and Equilibrium of force systems),返回总目录,Theoretical Mechanics,第二篇 动力学,制作与设计 山东大学 工程力学系,Theoretical Mechanics,引 言,引 言,力系的简化: 把复杂力系用与其等效的较简单的力系代替。 力系的平衡条件：物体平衡时，作用于物体上的一群力（称为力系）必须满足的条件。 平衡力系：平衡时的力系。,返回首页,Theoretical Mechanics,第六章 力系的简化与平衡,返回首页,6.1 汇交力系的简化与平衡,Theoretical M
2、echanics,6.1 汇交力系的简化与平衡,6.1.1 几何法,设汇交于A点的力系由n个力Fi（i = 1,2,n）组成,记为F1、F2、Fn。 根据平行四边形法则，将各力依次两两合成，FR为最后的合成结果，即合力。汇交力系合力的矢量表达式为,汇交力系的合成结果是一合力，合力的大小和方向由各力的矢量和确定，作用线通过汇交点。,返回首页,Theoretical Mechanics,F1,FR,FR2,FR1,F4,F3,F2,例：用力多边形法则，求四个力组成的平面汇交力系的合力。,使各力首尾相接，其封闭边即为合力FR。,6.1.1 几何法,返回首页,O,6.1 汇交力系的简化与平衡,Theo
3、retical Mechanics,几点讨论,合力矢FR与各分力矢的作图顺序无关。 各分力矢必须首尾相接。 合力从第一个力矢的始端指向最后一个力矢的末端。 按力的比例尺准确地画各力的大小和方向。,6.1.1 几何法,返回首页,6.1 汇交力系的简化与平衡,Theoretical Mechanics,结 论,平面汇交力系合成的结果是一个合力，它等于原力系中各力的矢量和，合力的作用线通过各力的汇交点。,6.1.1 几何法,返回首页,6.1 汇交力系的简化与平衡,Theoretical Mechanics,汇交力系各力Fi和合力FR在直角坐标系中的解析表达式,由合力投影定理,得到汇交力系合力的大小和
4、方向余弦,合力作用线过汇交点。,6.1.2 解析法,返回首页,6.1 汇交力系的简化与平衡,6.1.2 解析法,6.1 汇交力系的简化与平衡,汇交力系平衡的充分必要条件,汇交力系的合力为零,各力在三个坐标轴上的投影代数和分别等于零,对于各力作用线都在同一平面内的平面汇交力系（设平面为Oxy平面），Fz0，则其平衡方程为,Theoretical Mechanics,返回首页,第六章 力系的简化与平衡,6.2 力偶系的简化与平衡,设刚体上作用力偶矩矢M1、M2、Mn ，根据力偶的等效性，将各力偶矩矢平移至图中的任一点A，力偶系合成结果为一合力偶。,Theoretical Mechanics,6.2
5、 力偶系的简化与平衡,返回首页,Theoretical Mechanics,合力偶矩矢在各直角坐标轴上的投影,其力偶矩M等于各力偶矩的矢量和,对于平面力偶系M1、M2、Mn，合成结果为该力偶系所在平面内的一个力偶，合力偶矩M为各力偶矩的代数和,返回首页,6.2 力偶系的简化与平衡,力偶系平衡的充分必要条件,力偶系的合力偶矩为零,合力偶矩矢在三个坐标轴上的投影分别等于零,对于平面力偶系（设平面为Oxy平面），Mx0， My0，则其平衡方程为,6.2 力偶系的简化与平衡,Theoretical Mechanics,返回首页,第六章 力系的简化与平衡,6.3 空间任意力系的简化,Theoretica
6、l Mechanics,6.3 空间任意力系的简化,6.3.1 力的平移定理,M,+,M,力的平移定理,返回首页,Theoretical Mechanics,结 论,力的平移定理：作用于刚体上的力F ，可以平移至同一刚体的任一点O ，但必须增加一个附加力偶，附加力偶的力偶矩等于原力F对于平移点O之矩，即,M = rF = MO(F),返回首页,6.3 空间任意力系的简化,Theoretical Mechanics,山东大学,逆过程：当一个力与一个力偶的力偶矩矢垂直时，该力与力偶可合成为一个力，力的大小和方向与原力相同，但其作用线平移。力 平移的方向为 M的方向，平移的距离为 。,返回首页,6.
7、3 空间任意力系的简化,Theoretical Mechanics,6.3.2 力系向一点简化主矢和主矩,设刚体上作用一任意力系F1、F2、Fn。,返回首页,任选一点O称为力系的简化中心。依据力的平移定理，将力系中诸力向O点平移。,得到作用于O点的一汇交力系F 1、F 2、F n和一力偶系M1、M2、Mn 。,6.3 空间任意力系的简化,Theoretical Mechanics,将汇交力系与力偶系合成，得到作用于简化中心O的力矢FR与力偶矩矢MO,称为该力系的主矢 MO称为该力系对简化中心O的主矩。,6.3.2 力系向一点简化主矢和主矩,返回首页,6.3 空间任意力系的简化,Theoreti
8、cal Mechanics,结 论,任意力系向一点简化的结果为作用于该点的一个力和一个力偶。这个力是力系的主矢，等于力系中各力的矢量和，这个力偶是力系的主矩，等于各力对该点之矩的矢量和。,主矢的大小、方向与简化中心无关，称为力系的第一不变量。 主矩的大小、方向与简化中心有关。,6.3.2 力系向一点简化主矢和主矩,返回首页,6.3 空间任意力系的简化,Theoretical Mechanics,6.3.3 力系的简化结果分析,1.力系简化为合力偶M,其大小、方向与简化中心无关,2.力系简化为合力 (1)力系简化为通过简化中心O的合力FR,FR0，MO = 0 FR = FR = Fi,返回首页
9、,6.3 空间任意力系的简化,Theoretical Mechanics,(2)进一步合成为一合力,FR0，MO0，且FR MO = 0，即FRMO,合力作用线沿FRMO方向偏离简化中心O一段距离OO = d =,6.3.3 力系的简化结果分析,返回首页,6.3 空间任意力系的简化,Theoretical Mechanics,如果在简化中心O点上建立直角坐标系Oxyz，合力FR作用点O的矢径用r表示。由MO = rFR 可确定合力FR的作用线。其解析表达式为,6.3.3 力系的简化结果分析,返回首页,6.3 空间任意力系的简化,Theoretical Mechanics,3. 力系简化为力螺旋
10、,FR0，MO0，且FR与MO成任意角,将 正交分解为 和,可看成是 与 的组合,与 是二平衡力，可移去。,6.3.3 力系的简化结果分析,返回首页,O,6.3 空间任意力系的简化,Theoretical Mechanics,简化结果为力螺旋。,将 移到 O,作用线沿FRMO偏移d，d =,6.3.3 力系的简化结果分析,简化过程图,返回首页,6.3 空间任意力系的简化,Theoretical Mechanics,力螺旋也是一种最简单的力系。如果FR与MO同向，即FR MO0，称为右力螺旋；如果FR与MO反向，即FR MO0时，称为左力螺旋。力FR的作用线称为力螺旋的中心轴。,4.力系平衡,F
11、R = 0，MO = 0,6.3.3 力系的简化结果分析,返回首页,6.3 空间任意力系的简化,Theoretical Mechanics,结 论,力系的简化结果： 力系简化为一合力偶M。 力系简化为作用于简化中心O的合力FR 。 力系简化为作用于O的合力FR 。 力系简化为力螺旋。 平衡力系。,6.3.3 力系的简化结果分析,返回首页,6.3 空间任意力系的简化,Theoretical Mechanics,例 题,例 图示力系中F1100N，F2F3100N，F4300N， a2m，试求此力系合成结果。,解：以O为简化中心,主矩,则力系主矢，方向沿z轴向下,2m,返回首页,6.3 空间任意力
12、系的简化,Theoretical Mechanics,所以力系简化为左螺旋，,例 题,返回首页,6.3 空间任意力系的简化,Theoretical Mechanics,6.3.4 平面任意力系的简化,结论：平面任意力系向作用面内任一点简化，一般可以得到一力和一力偶；该力作用于简化中心，其大小及方向等于平面力系的主矢，该力偶之矩等于平面力系对于简化中心的主矩。,主矢FR与主矩MO视为代数量，而且FRMO。平面任意力系的最终简化结果：平衡、合力偶和合力三种情形。,返回首页,6.3 空间任意力系的简化,Theoretical Mechanics,当MO0时，力系有合力FR = FR，其偏移O点的距离
13、OO = d = ，偏移的方向由MO的转向来确定。,合力作用线方程：,6.3.4 平面任意力系的简化,返回首页,6.3 空间任意力系的简化,Theoretical Mechanics,例 胶带运输机传动滚筒的半径R=0.325 m，由驱动装置传来的力偶矩M=4.65 kNm，紧边带张力F T 119 kN，松带张力 F T 24.7 kN，带包角为210，坐标位置如图 a)所示，试将此力系向点O简化。,解：（1）先求主矢量,例 题,返回首页,6.3 空间任意力系的简化,Theoretical Mechanics,主矢量的大小为,主矢量的方向,（2）再求主矩,由于主矩为零，故力系的合力FR即等于
14、主矢量，即合力FR的作用线通过简化中心,例 题,返回首页,6.3 空间任意力系的简化,Theoretical Mechanics,例 题,返回首页,例 为校核重力坝的稳定性，需要确定出在坝体截面上所受主动力的合力作用线，并限制它和坝底水平线的交点E与坝底左端点O的距离不超过坝底横向尺寸的2/3，即 。重力坝取1m长度，坝底尺寸b18 m，坝高 H = 36 m，坝体斜面倾角 70。已知坝身自重W=9.0103 kN，左侧水压F1=4.5103 kN，右侧水压力F2=180103 kN，F2力作用线过E点。各力作用位置的尺寸a6.4 m，h10 m，c12 m。试求坝体所受主动力的合力、合力作用
15、线方程，并判断坝体的稳定性。,6.3 空间任意力系的简化,Theoretical Mechanics,例 题,返回首页,解：选O为简化中心，建立图示坐标系Oxy。图示 = 90 20。力系向O点简化为,主矢FR,主矩MO,6.3 空间任意力系的简化,Theoretical Mechanics,例 题,返回首页,力系的合力FRF R。合力作用线方程,y = 0，得x = 11.40，即合力作用线与坝底交点E至坝底左端点O的距离OE = x = 11.40m 。 所以该重力坝的稳定性满足设计要求。,6.3 空间任意力系的简化,Theoretical Mechanics,返回首页,第六章 力系的简化
16、与平衡,6.4 空间任意力系的平衡,Theoretical Mechanics,6.4 空间任意力系的平衡,空间一般力系平衡的充分必要条件,结论：各力在三个坐标轴上投影的代数和以及各力对此三轴之矩的代数和都必须同时等于零。,返回首页,Theoretical Mechanics,例 水平传动轴上安装着带轮和圆柱直齿轮。带轮所受到的紧边胶带拉力FT1沿水平方向，松边胶带拉力FT2与水平线成30角，如图所示。齿轮在最高点C与另一轴上的齿轮相啮合，受到后者作用的圆周力F和径向力Fn 。已知带轮直径d20.2 m，啮合角20，b0.2 m，ce0.3 m， F 2 kN，零件自身重量不计，并假设FT12FT2。转轴可以认为处于平衡状态。试求支承转轴的向心轴承A、B的约束力。,例 题,返回首页,6.4 空间任意力系
