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1、复 合 材 料 力 学,第二课,简单层板的宏观力学性能,引 言,简单层板：层合纤维增强复合材料的基本单元件 宏观力学性能：只考虑简单层板的平均表观力学性能，不讨论复合材料组分之间的相互作用 对简单层板来说，由于厚度与其他方向尺寸相比较小，因此一般按平面应力状态进行分析，只考虑单层板面内应力，不考虑面上应力，即认为它们很小，可忽略 在线弹性范围内 Anisotropic Isotropy Orthotropy Failure Criterion,传统材料,对各向同性材料来说，表征他们刚度性能的工程弹性常数有：E,G,v E：拉伸模量 G：剪切模量 V：泊松比 其中,独立常数只有2个,各向异性材料
2、的应力应变关系,应力应变的广义虎克定律 对简单层板来说，由于厚度与其他方向尺寸相比较小，因此一般按平面应力状态进行分析 只考虑单层面内应力，不考虑单层面上应力,应力分量，刚度矩阵，应变分量,柔度矩阵,各向异性材料的应力应变关系,简写了表达符号,几何方程,弹性力学知识,x,y,z,六个应力分量,主应力和主方向 材料往往在受力最大的面发生破坏，物体内每一点都有无穷多个微面通过，斜面上剪应力为零的面为主平面，其法线方向为主方向，应力为主应力，三个主应力，包括最大和最小应力,柔度分量、模量分量,各向异性体弹性 力学基本方程,弹性体受力变形的位移与应变关系 本构方程,3,6,连续性方程或变形协调方程,6
3、,弹性力学问题的一般解法 六个应力分量 六个应变分量 三个位移分量,几何关系（位移和应变关系） 物理关系（应力和应变关系） 平衡方程 15个方程求15个未知数可解 难以实现 简化或数值解法,各向异性材料的应力应变关系,回来继续关注刚度矩阵,36个分量,证明：Cij的对称性,在刚度矩阵Cij中有36个常数，但在材料中，实际常数小于36个。首先证明Cij的对称性： 当应力i作用产生di的增量时，单位体积的功的增量为：dw= i di 由i= Cij dj得：dw= Cij dj di 积分得：w=1/2 Cij j i,Cij的脚标与微分次序无关： Cij=Cji 刚度矩阵是对称的，只有21个常数
4、是独立的,同理,各向异性的、全不对称材料21个常数,单对称材料,如果材料存在对称面，则弹性常数将会减少，例如z=0平面为对称面，则所有与Z轴或3正方向有关的常数，必须与Z轴负方向有关的常数相同 剪应变分量yz和xz仅与剪应力分量yzxz有关，则弹性常数可变为13个，单对称材料,单对称材料,y=0,正交各向异性材料,随着材料对称性的提高，独立常数的数目逐步减少 如果材料有两个正交的材料性能对称面，则对于和这两个相垂直的平面也有对称面（第三个）正交各向异性9个独立常数,正应力与剪应变之间没有耦合，剪应力与正应变之间没有耦合 不同平面内的剪应力和剪应变之间也没有相互作用,横观各向同性材料,如果材料中
5、每一点有一个方向的力学性能都相同，那么为横观各向同性材料5个独立常数 常常用来描述各向异性纤维和单向复合材料的弹性常数,根据纯剪切和拉伸与压缩组合之间的等效推导而出,1-2平面 1，2可互换,各向同性材料,如果材料完全是各向同性的，则2个独立常数,应变-应力关系（柔度矩阵）,与刚度矩阵一样有相似的性质 刚度矩阵与柔度矩阵互为逆矩阵,正轴、偏轴和一般情况,总结,各向异性材料的性质更多地取决于非零分量的个数,正交各向异性材料的工程常数,工程常数： 可以用简单试验如拉伸、压缩、剪切、弯曲等获得 具有很明显的物理解释 这些常数比Cij或Sij中的各分量具有更明显的物理意义、更直观 最简单的试验是在已知
6、载荷或应力的条件下测量相应的位移或应变，因此柔度矩阵比刚度矩阵更能直接测定,正交各向异性材料用工程常数表示的柔度矩阵,E1、E2、E3为1，2，3方向上的弹性模量 ij为应力在i方向上作用时j方向的横向应变的泊松比 G23,G31,G12为2-3，3-1，1-2平面的剪切应变,ij为应力在i方向上作用时j方向的横向应变的泊松比,正交各向异性材料只有九个独立常数，现在有12个常数 根据S矩阵的对称性，有：,12和21 (读音: /nu:/),1,2,L,L,应力作用在2方向引起的横向变形和应力作用在1方向引起的相同,刚度矩阵与柔度矩阵互为逆矩阵,弹性常数的限制各向同性材料,为保证E和G为正值，即
7、正应力或剪应力乘以正应变或剪应变产生正功,对于各向同性体承受静压力P的作用，体积应变可定义为：,如果K为负，静压力将引起体积膨胀,弹性常数的限制正交各向异性材料,情况很复杂，从热力学角度来讲，所有应力做功的和应为正值，联系应力应变的矩阵应该是正定的,正定矩阵的行列式为正,弹性常数的限制正交各向异性材料,C为正,也可得到,弹性常数的限制正交各向异性材料,为了用另外两个泊松比表达21的界限，继续转化,对3213可得相似的表达式,弹性常数的限制作用,突破传统材料的概念，大胆设计复合材料 可以用来检验试验数据，看他们在数学弹性模型的范围内是否与实际一致 解微分方程时，确定合适的工程实用解,平面应力状态
8、与平面应变状态,1,3,2,3,1,2,正交各向异性材料平面应力问题的应力应变关系,1,2,3,只有三个应力分量1212不为零 柔度矩阵可简化为：,正交各向异性材料平面应力问题的应力应变关系,如果想求3的话，还必须知道1323工程常数,1,2,引起的,推导,正交各向异性材料平面应力问题的应力应变关系,利用叠加原理：,正交各向异性材料平面应力问题的应力应变关系,正交各向异性材料平面应力问题的应力应变关系,4个独立的常数，E1,E2,12和G12,对于各向同性材料,已知T300/648单层板的工程弹性常数为,试求它的正轴柔量和正轴模量。,令,例题,简单层板在任意方向上的应力-应变关系,上述的是定义
9、在正交各向异性材料的主方向上的，但材料的主方向往往和几何上适应解题要求的坐标轴方向不一致 斜铺或缠绕,1,2,y,x,+,简单层板在任意方向上的应力-应变关系,用1-2坐标系中的应力来表示x-y坐标系中的应力的转换方程为,转换的只是应力，而与材料的性质无关，同样：,很麻烦！,简单层板在任意方向上的应力-应变关系,我们引入Router矩阵,方便！,简单层板在任意方向上的应力-应变关系,对于材料主轴和坐标系一致的特殊的正交各向异性简单层板,不一致时,可简写,Q的转换矩阵,简单层板在任意方向上的应力-应变关系,九个非零分量，四个独立常数，但是广义的正交各向异性层板 剪应变和正应力，剪应力和正应变存在
10、耦合,简单层板在任意方向上的应力-应变关系,我们也可以用应力来表示应变,简单层板在任意方向上的应力-应变关系,对各向异性简单层板，同广义正交各向同性简单层板相类似,新的工程常数相互影响系数,第一类相互影响系数：表示由ij平面内的剪切引起i方向上的伸长,第二类相互影响系数：表示由i方向上的正应力引起ij平面内的剪切,复合材料的偏轴向（非材料主方向）拉伸引起轴向伸长和剪切变形,简单层板在任意方向上的应力-应变关系,其他的各向异性弹性关系可以用来定义钦卓夫系数，其定义为：,系数满足互等关系：,该系数是对剪应力和剪应变的，而泊松比是对正应力和正应变的，在平面应力情况下，钦卓夫系数不影响简单层板的面内性
11、能。,简单层板在任意方向上的应力-应变关系,简单层板在任意方向上的应力-应变关系,非主方向的xy坐标系下受力的正交各向异性简单层板的表观工程常数为：,简单层板在任意方向上的应力-应变关系,通过上述分析可见： 正交各向异性简单层板在与材料主方向成一定角度方向上受力时，表观各向异性弹性模量是随角度变化的 琼斯法则：材料性能的极值（最大值或最小值）并不一定发生在材料主方向 设计材料,正交各向异性简单层板的不变量性质,刚度矩阵分量是四个独立常数和角度的复杂函数 Tsai & Pagano利用三角恒等式对刚度变换进行了有创造性的改造 S.W.Tsai, N.J.Pagano. Invariant pro
12、perties of composite materials. Composite materials workshop, ed S.W.Tsai, H.C.Halpin, N.J.Pagano, Technomic (1968), p.233,正交各向异性简单层板的不变量性质,利用三角恒等式：,正交各向异性简单层板的不变量性质,正交各向异性简单层板的不变量性质,在绕垂直于简单层板的轴旋转时，其刚度分量的部分值是不变的，U1 U2 U5为常数项，不随角度变化，有一定的含义，如拉伸模量，剪切模量等,举例：,Q11,常数,低频变量,高频变量,不随角度的变化，是刚度的有效量值,Tsai & Paga
13、no还提出：,以后还要介绍,正交各向异性简单层板的强度,强度：重要概念 复杂，在实际应用中，几乎没有单纯使用单层板的，主要是因为它们的横向拉伸与剪切强度和刚度太弱，尤其是强度，因此，多一层合板的的形式应用，即需要不同角度铺层的单层板，简单层板的强度分析是基础。 目的：要用材料主方向上的特征表征任意方向上的特征（不同于传统材料的方法） 实际应力场和许用应力场 刚度方面的研究工作可以用来计算实际应力场 现在要研究确定许用应力场,正交各向异性简单层板的强度,基本强度定义材料主方向上 Xt纵向拉伸强度 Xc纵向压缩强度 Yt横向拉伸强度 Yc横向压缩强度 S面内剪切强度 与4个工程弹性常数一起，称为复
14、合材料的9个工程常数 强度是应力方向上的函数,正交各向异性简单层板的强度,各向同性材料的强度指标用于表示材料在简单应力下的强度 塑性材料：屈服极限或条件屈服极限 脆性材料：强度极限 剪切屈服极限 疲劳等 正交各向异性材料 强度随方向不同变化 拉伸和压缩失效的机理不同 面内剪切强度也是独立的,示例,考虑单向纤维简单层板，假设强度为：,其应力场为：,最大主应力低于最大强度，但2比Y大，在2方向上破坏,正交各向异性简单层板的强度,材料主方向上的剪切强度和拉伸与压缩性能的差别无关，对于拉伸和压缩性能不同的材料，不管剪应力是正还是负，都具有相同的最大值 非材料主方向的剪应力的最大值依赖于剪应力的符号 对
15、于作用在与材料主方向成45o的正和负的剪应力的表观剪切强度和刚度是不同的 材料主方向上的基本资料如何转换到其他有用的依赖于所考虑的应力场坐标的方向,正交各向异性简单层板的强度,1,2,1,2,1,2,1,2,+,-,+,-,材料主方向上的剪应力,与材料主方向上成45度角的的剪应力,强度和刚度的试验确定,基本强度特性 Xt纵向拉伸强度；Xc纵向压缩强度 Yt横向拉伸强度；Yc横向压缩强度 S面内剪切强度 刚度特性为： E11-方向上的弹性模量；E22-方向上的弹性模量 12-2/1，当1= ，而其他应力皆为零； 21-1/2，当2= ，而其他应力皆为零； G12在1-2平面内的剪切模量,强度和刚
16、度的试验确定,试验的基本原则 当载荷从零增至极限载荷或破坏载荷时，材料的应力-应变关系也应该是线性的。 一般来讲，拉伸试验的线性保持很好，而压缩和剪切，尤其是剪切对大多数复合材料来说，是非线性的 试验中的关键，是使试件承受均匀的应力，这对各向同性材料是容易的,强度和刚度的试验确定,正应力和剪应变 剪应力和正应变 正应力和弯曲曲率 弯曲应力和正应变,耦合影响,对正交各向异性材料当载荷作用在非材料主方向时，正交各向异性性能常常导致：,强度和刚度的试验确定,单向增强简单层板在1-方向上的单向拉伸试验,测量1、2,强度和刚度的试验确定,单向增强简单层板在2-方向上的单向拉伸试验,测量1、2,刚度性能必须满足互等关系式：,测量的数据不准确； 进行的计算有错误 材料不能用线弹性应力-应变关系式描述,如果不满足,强度和刚度的试验确定,单向增强简单
