Stephen 高等代数知识点梳理高等代数知识点梳理 第四章第四章 矩阵矩阵 一、矩阵及其运算一、矩阵及其运算 1、、矩阵的概念矩阵的概念 （1）定义：由ns个数 ij a（si, 2 , 1=；nj, 2 , 1=）排成s行n列的数表 sns n aa aa 1 111 ，称为s行n列矩阵，简记为 nsij aA =)( （2）矩阵的相等：设 nmij aA =)(， klij aB =)(，如果lm =，kn =，且 ijij ba =，对 mi, 2 , 1=；nj, 2 , 1=都成立，则称A与B相等，记BA = （3）各种特殊矩阵：行矩阵，列矩阵，零矩阵，方阵， （上）下三角矩阵，对角矩阵， 数量矩阵，单位矩阵 2、、矩阵的运算矩阵的运算 （1）矩阵的加法： ++ ++ = + snsnss nn sns n sns n baba baba bb bb aa aa 11 111111 1 111 1 111 运算规律： ABBA+=+ )()(CBACBA++=++ AOA=+ OAA=+)( （2）数与矩阵的乘法： = sns n sns n kaka kaka aa aa k 1 111 1 111 运算规律： lAkAAlk+=+ )( kBkABAk+=+)( AkllAk)()(= OAA=+)( （ 3 ） 矩 阵 的 乘 法 ： = sms m nmn m sns n cc cc bb bb aa aa 1 111 1 111 1 111 其 中 - 1 - Stephen njiniiiiij bababac+++= 2211 ，si, 2 , 1=；mj, 2 , 1=。
运算规律： )()(BCACAB= ACABCBA+=+)( CABAACB+=+)( BkAkBAABk)()()(== 一般情况， BAAB ACAB =，0A，CB = 0=AB0=A或0=A （4）矩阵的转置： = sns n aa aa A 1 111 ，A 的转置就是指矩阵 = nsn s aa aa A 1 111 运算规律： AA=) ( )(BABA+=+ )(ABAB = )(kAkA = （5）方阵的行列式：设方阵 111 1 n nnn aa A aa = ，则A的行列式为 111 1 || n nnn aa A aa = 运算规律： ||| |AA = ||||AkkA n = ||||||||BABAAB== 这里A，B均为n级方阵 二、矩阵的逆二、矩阵的逆 1、、基本概念基本概念 （1） 矩阵可逆的定义：n级方阵A称为可逆的， 如果有n级方阵B， 使得EBAAB==， 这里E是单位矩阵 （2）伴随矩阵：设 ij A是矩阵 = nnn n aa aa A 1 111 中元素 ij a的代数余子式，矩阵 - 2 - Stephen = nnn n AA AA A 1 111 * 称为A的伴随矩阵。
1、基本性质、基本性质 （1）矩阵A可逆的充分必要条件是A非退化（0||A） ，而 || * 1 A A A= （2） 如果矩阵A，B可逆， 那么 A与AB也可逆， 且)() ( 11 = AA， 111 )( =ABAB （3）设A是ns矩阵，如果P是ss可逆矩阵，Q是nn可逆矩阵，那么 )()()(AQrankPArankArank== 三、矩阵分块三、矩阵分块 对于两个有相同分块的准对角矩阵 = l A A A 0 0 1 ， = l B B B 0 0 1 如果它们相 应的分块是同级的，则 （1） = llB A BA AB 0 0 11 ； （2） + + =+ ll BA BA BA 0 0 11 ； （3）|||||||| 21l AAAA=； （4）A可逆的充要条件是 l AAA,,, 21 可逆，且此时， = 1 1 1 1 0 0 l A A A 四、初等变换与初等矩阵四、初等变换与初等矩阵 1、、基本概念基本概念 （1）初等变换：初等行列变换称为初等变换所得到的矩阵。
用一个非零的数k乘矩阵的第i行（列）记作)(kckr ii 互换矩阵中i，j两行（列）的位置，记作)( jiji ccrr - 3 - Stephen 将第i行（列）的k倍加到第j行（列）上，记作)( jiij kcckrr++称为矩阵的三种初 等行（列）矩阵 （2）初等方阵：单位矩阵经一次初等变换所得到的矩阵 2、、基本性质基本性质 （1）对一个ns矩阵A作一次初等行变换就相当于在A的左边乘上相应的ss初等 矩阵；对A作一次初等列变换就相当于在A的右边乘上相应的nn初等矩阵 （2）任意一个ns矩阵A都与一形式为 1000 0100 0010 0000 0000 的等价，它称为矩阵 A的标准型，主对角线上 1 的个数等于A的秩 （3）n级矩阵A为可逆的充分必要条件是，它能表示成一些初等矩阵的乘积 （4）两个ns矩阵A，B等价的充分必要条件是，存在可逆的s级矩阵P与可逆的n 级矩阵Q，使PAQB = 3、、用初等变换求逆矩阵的方法用初等变换求逆矩阵的方法 把n级矩阵A，E这两个nn矩阵凑在一起，得到一个nn 2矩阵)(AE，用初等行 变换把它的左边一半化成E，这时，右边的一半就是 1 A。
第五章第五章 二次型二次型 1、、二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示 （1）二次型：设P是一数域，一个系数在数域P中的 n xxx,,, 21 的二次齐次多项式 n nnnnnnnn xaxxaxaxxaxxaxaxxxf++++++++= 22 2 222112112 2 11121 222),,,(称 为数域P上的一个n元二次型 （2）二次型矩阵：设),,,( 21n xxxf是数域P上的n元二次型，),,,( 21n xxxf可写 成矩阵形式AXXxxxf n ),,,( 21 = 其中),,,( 21n xxxX=， nnij aA =)(，AA =A 称为二次型),,,( 21n xxxf的矩阵秩（A）称为二次型),,,( 21n xxxf的秩 - 4 - Stephen （3） 矩阵的合同： 数域P上nn矩阵A，B称为合同的， 如果有属于P上可逆的nn 矩阵C，使ACCB= 2、、标准型及规范性标准型及规范性 定理定理 数域P上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换化成标准型 22 22 2 11nny dydyd+++， 用矩阵的语言叙述， 即数域P上任意一个对称矩阵合同于一个对 角矩阵。
定理定理 任意一个复系数的二次型经过一适当的非退化的线性替换化成规范型 22 2 2 1r zzz+++，且规范形是唯一的 定理定理 任意一个实系数的二次型经过一适当的非退化的线性替换化成规范型 22 1 22 2 2 1qppp zzzzz ++ +++，且规范形是唯一的，其中p称为此二次型的正惯性指 数，qrp=称为此二次型的负惯指数，spq=称为此二次型的符号差 3、、正定二次型及正定矩阵正定二次型及正定矩阵 （1）基本概念 正定二次型：实二次型),,,( 21n xxxf称为正定的，如果对于任意一组不全为零的 实数 n ccc,,, 21 ,都有0),,,( 21 n cccf 正定矩阵：实对称矩阵A称为正定的，如果二次型AXX正定 负定、半正定、半负定、不定的二次型：设),,,( 21n xxxf是一实二次型，对于任 意一组不全为零的实数 n ccc,,, 21 ,如果0),,,( 21 < n cccf，那么),,,( 21n xxxf称为负 定的；如果都有0),,,( 21 n cccf那么称),,,( 21n xxxf为半正定的；如果都有 0),,,( 21 n cccf，那么),,,( 21n xxxf称为半负定的；如果它既不是半正定的又不是半 负定的，那么),,,( 21n xxxf就称为不定的。
（2）正定二次型、正定矩阵的判定：对于实二次型AXXxxxf n ),,,( 21 =，其中A 是实对称的，下列条件等价： ),,,( 21n xxxf是正定的； A是正定的； - 5 - Stephen ),,,( 21n xxxf的正惯指数为n； A与单位矩阵合同； A的各阶顺序主子式大于零 第六章第六章 线性空间线性空间 1、、线性空间的定义线性空间的定义 设V是一个非空集合，P是一个数域在集合V的元素之间定义了一种代数运算；这 就是说， 给出了一个法则， 对于V中的任意两个元素、在V中都有唯一的一个元素与 它们对应，称为与的和，记为+=在数域P与集合V的元素之间还定义了一 种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于属于P中任意数k与V中任意元素，在V中都 有唯一的元素与它们对应，称为k与的数量乘积，记为k=如果加法与数量乘法 满足下述规则，那么V称为数域P上的线性空间 （1）+=+； （2）++=++)()(； （3）在V中有一元素 0，对于V中任意元素都有=+ 0（具有这个性质的元素 0 称为V的零元素） ； （4）对于V中的每一个元素，都有V中的元素，使得0=+（称为的 负元素） ； （5）=1； （6）)()(kllk=； （7）lklk+=+ )(； （8）kkk+=+)(。
2、、维数，基与坐标维数，基与坐标 （1）如果性空间V中有n个线性无关的向量但是没有更多数目的线性无关的 向量，那么V就称为n维的如果在V中可以找到任意多个线性无关的向量，那么V就 称为无限维的 （2）如果性空间V中有n个线性无关的向量 n ,,, 21 ，且V中任一向量都 - 6 - Stephen 可以用它们线性表出，那么V是n维的，而 n ,,, 21 就是V的一组基 （3）在n维线性空间中，n个线性无关的向量 n ,,, 21 称为V的一组基设是 V中任一向量，于是 n ,,, 21 ，线性相关，因此可以被基 n ,,, 21 唯一的线 性表出 nn aaa+++= 2211 ，其中系数 n aaa,,, 21 称为在基 n ,,, 21 下的 坐标，记),,,( 21n aaa 3、、基变换与坐标变换基变换与坐标变换 （1）设 n ,,, 21 与 n eee,,, 21 是n维线性空间V中两组基，如果 = nnn n nn aa aa eee 1 111 2121 ),,,(),,,(，矩阵 = nnn n aa aa A 1 111 称为 n ,,, 21 到基 n eee,,, 21 的过度矩阵。
（2）设 n ,,, 21 与 n eee,,, 21 是n维线性空间V中两组基，由基 n ,,, 21 到基 n eee,,, 21 的过度矩阵为A，向量在这两组基下的坐标分别为),,,( 21n xxx与 ),,,( 21n yyy，则 = 4 3 2 1 4 3 2 1 y y y y A x x x x 4、、线性子空间线性子空间 。