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1、距离空间的可分性 有理数在实数集中的稠密性,第三节 距离空间的可分性与完备性,距离空间的完备性 实数的完备性,一般距离空间的完备化,已知：在实直线上， 存在一个处处稠密的可数子集Q, 且成立完备性定理（即柯西收敛原理)。 问题：在一般的距离空间中，是否存在一个处处稠密 的可数子集？完备性定理是否总成立？,一、距离空间的可分性,1.距离空间中的稠密子集,定义1（稠密性) 设X是距离空间，AX, BX. (1) B在A中稠密, 若对于xA, xn B, 使xnx (n) (2) B在X中处处稠密 (或B是X的一个稠密子集), 若对于 xX, xn B, 使xnx (n).,例1 有理数集在R中处处
2、稠密.,例2 Rn中的有理点集在Rn中稠密可数.,例3 多项式集合P在Ca,bLpa,b中处处稠密. (魏尔斯特拉斯一致逼近定理: x(t)Ca,b, pn(t)P,使pn(t)x(t)(n), 即pn(t)按Ca,b中的距离收敛于x(t).),例4 a,b上的有界可测函数集合Ba,b在Lpa,b(p1)中处处稠密.,证: x(t)Lpa,b, 定义函数列,xn(t) (n=1,2,)是a,b上的有界可测函数, 且有,x(t)Lpa,b x(t)pL1a,b0, 0, 使当E0E=a,b, m(E0)时, 有,N,当nN时, m(E(xn),xnx(n) Ba,b在Lpa,b中稠密,(L积分的
3、绝对连续性),例5 a,b上的连续函数集合Ca,b按Lpa,b中的距离在Lpa,b中处处稠密.,证: 由上例知Ba,b在Lpa,b中稠密, 只要证明按Lpa,b中的距离Ca,b在Ba,b 中稠密即可.,x(t)Ba,b, x(t)K. 0, =(/2K)p, y(t)Ca,b使得 m(E(x(t)y(t) (由鲁金定理) 不妨设y(t) K, E0=E(x(t) y(t),(x,y) Ca,b在Ba,bLpa,b中稠密.,2. 距离空间的可分性,定义2 (可分距离空间) 设X是距离空间. X是可分距离空间, 若X中存在一个处处稠密且可数的子集.,注: 1) AX是可分集存在稠密点列xnA,2)
4、 X不可分X中没有任何处处稠密的可数子集。,X是可分距离空间存在稠密点列xnX,例1 R是可分的. (有理数集在R中处处稠密、可数),例3 多项式集合P是可分的.（有理系数多项式集合P0在多项式集合P中可数稠密）,例2 Rn是可分的. ( Rn中的有理点集在Rn中稠密可数),例4 Ca,b 是可分的.（多项式集合P在C a,b中处处稠密, 因而有理系数多项式集合P0在PC a,b中处处稠密可数）,证：1) 设x(t)Ca,b, 由魏尔斯特拉斯一致逼近定理, 0, p(t)P Ca,b,使 (x,p)=max|x(t)-p(t)|0, p0(t)P0 P, 使 (p,p0)=max|p(t)-p
5、0(t)| 0, p0(t)P0 P Ca,b, 使 (x,p0)=max|x(t)-p0(t)| max|x(t)-p(t)|+max|p(t)-p0(t)| p0(t)S(x,)P0按Ca,b中距离在Ca,b中稠密; 而P0Ca,b是可数集，因而Ca,b 可分的。,p0(t)S(x,)P0 按Lpa,b中距离在Lpa,b中稠密; 而P0是可数集，因而Lpa,b 可分的。,证 设x(t)Ca,b, 由上例有0, 有理系数多项式 p0(t)P0，使 C(x,p0)=max|x(t)-p0(t)| /(b-a)1/p,例5 Lpa,b是可分的.（多项式集合P在Ca,bLpa,b中稠密有理系数多项
6、式集合P0在Lpa,b中稠密可数）,例6 l p(p1)与c 都是可分的. （有理点集A=x=(x1,xn,0,)|xiQ在lp (p1)和c中都处处稠密）,例7 设X是离散距离空间, 证明X 可分X是可数集,证：在离散距离空间中设有稠密真子集，所以X中唯一的稠密子集只有X自身。 故X 可分X可数。,注：可见并非所有的距离空间都是可分的。,注：定义在任何一个势为(即不可数)非空集合上的离散距离空间一定是不可分的。(上例中的A也是不可分的。),2）证明m中没有可数稠密子集(反证法) . 设m可分 A0=x=(1,2,n,)|i|Km可数, 且在m中稠密 A0=xk, xk=(1(k),2(k),
7、 n(k)A0 ，且 AmS(xk,1/3） (k=1,2,) A0可数, A不可x,yA, x y, 并x0A0, 使S(x0,1/3) x,y 1= (x,y) (x,x0)+ (x0,y)1/3+1/3=2/3, 矛盾, 故m不可分.,例8 有界序列空间m都是不可分的. 证： 1）首先证明m中存在不可数集. 设A=x=(1,2,n,)|i=0 or 1 m x=(1,n,)A, y=(1,n, )A, (x y) (x,y) =sup|i-i|=1, 0,1=x=0.1,2,n|i=0 or 1AAm不可数,二、距离空间的完备性,1.距离空间中的基本列（或柯西列）,定义3（基本列) 设X
8、是距离空间，xnX. xn是X中的基本列, 若当m, n时, 有xm-xn0, 即对于 0, N=N(), 当m, nN时, 有 (xm,xn)0, N, 当m,n N时, 同时有(xn,x)N时, 有(xm,xn)(xn,x)+(xm,x) xn是基本列 2) 但距离空间中基本列未必是收敛列. (不同于实数域) 例如, X=(0,1), x,yX, (x,y)=|x-y|, 点列xn=1/(n+1) 是X中的基本列, 但它在X中不收敛 3) 距离空间中的任何基本列都是有界列 (同实数域).,例1 R按通常距离(x,y)=|x-y|完备. (R上每个基本列都收敛) 例2 坐标平面上的有限点集X
9、 按通常的距离定义是完备的距离空间 证: 因为X中的基本列只能是“常驻点列”，即其中元素列出有： x1,x2,xr,xk,xk,xnxk, 因此X是完备的,定义4 (完备距离空间) X是完备距离空间, 如果X中的任何基本列都收敛于X中的点.,2. 完备距离空间,注: 1) 在完备的距离空间中, 基本列一定是收敛的. 2) X是不完备的距离空间, 是指X中存在着不收敛于X内的点的基本列.,例3 离散距离空间是完备的距离空间. 证：因为离散距离空间中的基本列的元素都相同，因而收敛。,例4 Ca,b按距离(x,y)=max|x(t)-y(t)|是完备距离空间. 证：设xnCa,b是基本列 0, N=
10、N(), 当m,nN时, 有 (xn,xm)=max|xn(t)-xm(t)|N时，有|xn(t)-xm(t)| x(t), 使得xn(t)x(t) (一致) （柯西一致收敛定理) 又xn=xn(t)Ca,bxn(t)在a,b上连续 x(t)在a,b上连续 (一致收敛函数列的保连续性质) x(t)Ca,bxCa,b,使得xnxX是完备的。,例5 Rn 按欧氏距离构成的欧氏空间是完备的.,证: x(k)Rn为一基本列,对于i=1,2,n, 当k,jN时, 有,设xi(k)xi (k) (i=1,2,n) , 令x=(x1,xn)Rn,（k）,Rn按欧氏距离构成的欧氏空间是完备的.,xi(k)是基
11、本列, 因而xi(k)收敛, 0, N,当k,jN时, 有, 0, N,当kN, j时，有,例6 空间Lpa,b、lp、 l (or m)、c 均为完备的距离空间。,证: x(k)l为一基本列,对于i=1,2,n, 当k,jN时,有|xi(k)xi(j)| 对每个i，xi(k)是基本列，因而收敛。,设xi(k) xi (k) (i=1,2,n,), 令 x=(x1,xn,),(下面证xl) 当nN时，有,x(k)l xi(k)Mk, (k=1,2,) xixi-xi(k) + xi (k)+Mk, i=1,2, x=x1,x2,xn,)l, 0, N,当k,jN时, 有,例7 有理数集Q按距离
12、(x,y)=|x-y|是距离空间, 但不完备. 事实上，在有理数集Q中，有理数列(1+1/n)n收敛, 因而是基本列, 但其极限为eQ，故Q不完备.,例8 a,b上实系数多项式全体Pa,b按Ca,b中通常的距离构成Ca,b的子空间, 但它是不完备的距离空间。 事实上, 存在多项式列 pn(t)一致收敛于x(t): x(t)Ca,b.x(t)Pa,b,(但是确实存在着不完备的距离空间),例9 C0,1按距离 构成的距离空间,是L10,1的子空间，但它按1(x,y)不完备.,(m=1,2,),xm C0,1是基本列。,证: 构造函数列xm(t)C 0,1:,如果存在x(t) 使1(xm,x)0 (
13、m), 由于,显然x(t)C0,1，所以C0,1按距离1 (x,y)不完备。,可以证明xm在C0,1 中按1(x,y)不收敛。,例10 Ca,b按距离 构成的距离,空间是L2a,b的子空间，但它按2(x,y)不完备.,证: 构造函数列xn(t)Ca,b:, |xn(t) |/2, 且在a,b上处处有,（勒贝格有界收敛定理）,xn(t)按距离2收敛于x(t) xn(t)是距离空间(Ca,b, 2)中的基本列 （距离空间中的任何收敛点列都是基本列） 基本列xn(t)的极限函数x(t)a,b 距离空间(Ca,b, 2)不完备。,注 证明一个距离空间X不完备，通常有两种方法： 1) 构造X中的一个基本
14、列，然后说明该基本列在X中无极限； 2) 直接构造X中的一个极限函数不属于X的收敛点列，该点列一定是X中的基本列 。,定理1 (完备距离空间的性质) 设X是完备距离空间, 1)xn是基本列xn是收敛点列xX, 使xnx 2) FX, F是X的闭子空间F是X的完备子空间 证：1）“充分性” 设xnX, xX，xnx 0, N0, 当nN时, (xn,x)N, mN时, (xn,xm)(xn,x)+(x,xm) xn是基本列 “必要性” 设xn X是基本列, X完备xnX是收敛点列 （完备性定义） 2）“必要性” 设xnF X是基本列，F是X的闭子空间. X完备，xn是基本列 xX, 使xnx (
15、n) F闭 xF =Fxn在F中收敛F完备 “充分性” 设F完备. xnF，xnx xnF是基本列， F完备xF F是闭的。,3. 完备距离空间的两个基本定理,定义5 （稀疏集与第二纲集）设X是距离空间 1）若X中任一个球都含有某一个球，使后者不含A的点，则称A为X中的稀疏集（疏朗集）。 2）若A=An，每个An都在X内稀疏，则称A是在X内的第一纲集, 而X内的非第一纲集的集合称为第二纲集. 注：1在稀疏集定义中，“任意球”可以是开球或闭球. 2在R中，有理数集是第一纲集，而无理数集是第二纲集。,定理3 设X是距离空间，A是稀疏集A不在X的任意球中稠密。,证 “” 设A稀疏 S(x0,), S
16、(x1 ,)S(x0,),使S(x1,)A= A不在S(x0,)中稠密 “” 设A不在任一球中稠密 S(x0,), x1S(x0,),但x1A S(x1, )S(x0,),使S(x1,)A=,定理4(第二纲集定理) 设X是完备的距离空间，则X是第二纲集。,推论: 给定完备的距离空间X,若AX是第一纲集,则AC 是第二纲集。 例如:由于有理数是R内的第一纲集，故无理数是R内的第二纲集。,注：1）闭球套定理是完备距离空间中的重要定理之一；刻划了距离空间的完备性；是实数中的康托区间套定理的推广。,2）第二纲集定理是完备距离空间的重要定理之二。,完备性可以使空间具有很好的性质和广泛的应用，对于不完备的距离空间，它在应用上将会造成很多困难。,4. 距离空间的完备化,问题：能否在不完备的距
