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1、23.双曲线的参数方程抛物线的参数方程1双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线1的参数方程是规定参数的取值范围为0,2)且，.(2)中心在原点，焦点在y轴上的双曲线1的参数方程是2抛物线的参数方程(1)抛物线y22px的参数方程为tR.(2)参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数双曲线、抛物线参数方程的基本问题例1(1)双曲线(为参数)的焦点坐标是_(2)将方程化为普通方程是_思路点拨(1)可先将方程化为普通方程求解；(2)利用代入法消去t.解析(1)将化为1，可知双曲线焦点在y轴，且c4，故焦点坐标是(0，4)(2)由ytan2t，将tan tx代
2、入上式，得yx2，即为所求方程答案(1)(0，4)；(2)yx2.(1)解决此类问题要熟练掌握双曲线与抛物线的参数方程，特别是将参数方程化为普通方程，还要明确参数的意义(2)对双曲线的参数方程，如果x对应的参数形式是sec ，则焦点在x轴上；如果y对应的参数形式是sec ，则焦点在y轴上1如果双曲线(为参数)上一点P到它的右焦点的距离是8，那么P到它的左焦点距离是_解析：由双曲线参数方程可知a1，故P到它左焦点的距离|PF|10或|PF|6.答案：10或62过抛物线(t为参数)的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x2x26.则|AB|_.解析：化为普通方程是：x即
3、y24x，p2.|AB|x1x2p8.答案：8双曲线、抛物线参数方程的应用例2连结原点O和抛物线2yx2上的动点M，延长OM到P点，使|OM|MP|，求P点的轨迹方程，并说明它是何曲线思路点拨由条件可知，M点是线段OP的中点，利用中点坐标公式，求出点P的轨迹方程，再判断曲线类型解设M(x、y)为抛物线上的动点，P(x0，y0)在OM的延长线上，且M为线段OP的中点，抛物线的参数方程为用中点公式得变形为y0x，即P点的轨迹方程为x24y.表示抛物线在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，常根据需要引入一个中间变量即参数(将x，y表示成关于参数的函数)，这种方法是参数法，而涉及曲线上的点的坐标
4、时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标3设P为等轴双曲线x2y21上的一点，F1和F2为两个焦点，证明：|F1P|F2P|OP|2.证明：如图，设双曲线上的动点为P(x，y)，焦点F1(，0)，F2(，0)，双曲线的参数方程为则：(|F1P|F2P|)2(sec )2tan2(sec )2tan2(sec2 2sec 2tan2)(sec2 2sec 2tan2)(sec 1)2(sec 1)2(2sec2 1)2.又|OP|2sec2 tan22sec2 1，由此得|F1P|F2P|OP|2.一、选择题1曲线(t为参数)的焦点坐标是()A(1,0)B(0,1)C(1,0) D(0，1)解析：将
5、参数方程化为普通方程(y1)24(x1)，该曲线为抛物线y24x向左、向上各平移一个单位得到，所以焦点为(0,1)答案：B2已知某条曲线的参数方程为(其中a是参数)，则该曲线是()A线段 B圆C双曲线 D圆的一部分解析：将所给参数方程的两式平方后相减，得x2y21.并且由|x|a|1，得x1或x1，从而易知结果答案：C3方程(t为参数)的图形是()A双曲线左支 B双曲线右支C双曲线上支 D双曲线下支解析：x2y2e2t2e2t(e2t2e2t)4.且xetet22.表示双曲线的右支答案：B4P为双曲线(为参数)上任意一点，F1，F2为其两个焦点，则F1PF2重心的轨迹方程是()A9x216y2
6、16(y0)B9x216y216(y0)C9x216y21(y0)D9x216y21(y0)解析：由题意知a4，b3，可得c5，故F1(5,0)，F2(5,0)，设P(4sec ，3tan )，重心M(x，y)，则xsec ，ytan .从而有9x216y216(y0)答案：A二、填空题5已知动圆方程x2y2xsin 22ysin()0(为参数)则圆心的轨迹方程是_解析：圆心轨迹的参数方程为即消去参数得：y212x(x)答案：y212x(x)6双曲线(为参数)的两条渐近线的倾斜角为_解析：将参数方程化为y21，此时a1，b，设渐近线倾斜角为，则tan .30或150.答案：30或1507已知抛
7、物线的参数方程为(t为参数)，其中p0，焦点为F，准线为l，过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E.若|EF|MF|，点M的横坐标是3，则p_.解析：y22px，焦点F，过点M作x轴的垂线，垂足为N，由题意可知，MEF是正三角形，所以MFN60，在RtMFN中，|FN|MF|cos 60，所以3p2.答案：2三、解答题8已知抛物线(t为参数，p0)上的点M，N对应的参数值为t1，t2，且t1t20，t1t2p2，求M，N两点间的距离解：由题知M，N两点的坐标分别为(2pt，2pt1)，(2pt，2pt2)，|MN|2p|t1t2|2p4p2.故M，N两点间的距离为4p2.9已知圆O1：x2(y2
8、)21上一点P与双曲线x2y21上一点Q，求P，Q两点距离的最小值解：设Q(sec ，tan )，在O1QP中，|O1P|1，|O1P|PQ|O1Q|.又|O1Q|2sec2 (tan 2)2(tan21)(tan24tan 4)2tan24tan 52(tan 1)23.当tan 1，即时，|O1Q|2取最小值3，此时有|O1Q|min.|PQ|min1.10过点A(1,0)的直线l与抛物线y28x交于M、N两点，求线段MN的中点的轨迹方程解：法一：设抛物线的参数方程为(t为参数)，可设M(8t，8t1)，N(8t，8t2)，则kMN.又设MN的中点为P(x，y)，则kAP，由kMNkAP知t1t2，又则y216(tt2t1t2)16()4(x1)所求轨迹方程为y24(x1)法二：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由M、N在抛物线y28x上知两式相减得yy8(x1x2)，即(y1y2)(y1y2)8(x1x2)，.设线段MN的中点为P(x，y)，y1y22y.由kPA，又k MN，.y24(x1)线段MN的中点P的轨迹方程为y24(x1)
