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1、2011年高考数学压轴题（三）1（本小题满分13分） 如图，已知双曲线C：的右准线与一条渐近线交于点M，F是双曲线C的右焦点，O为坐标原点. （I）求证：； （II）若且双曲线C的离心率，求双曲线C的方程； （III）在（II）的条件下，直线过点A（0，1）与双曲线C右支交于不同的两点P、Q且P在A、Q之间，满足，试判断的范围，并用代数方法给出证明.解：（I）右准线，渐近线 ， 3分 （II） 双曲线C的方程为：7分 （III）由题意可得8分 证明：设，点 由得 与双曲线C右支交于不同的两点P、Q 11分 ，得 的取值范围是（0，1）13分2（本小题满分13分）已知函数，数列满足 （I）求数列
2、的通项公式； （II）设x轴、直线与函数的图象所围成的封闭图形的面积为，求； （III）在集合，且中，是否存在正整数N，使得不等式对一切恒成立？若存在，则这样的正整数N共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N；若不存在，请说明理由. （IV）请构造一个与有关的数列，使得存在，并求出这个极限值.解：（I） 1分 将这n个式子相加，得 3分 （II）为一直角梯形（时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为，高为1 6分 （III）设满足条件的正整数N存在，则 又 均满足条件 它们构成首项为2010，公差为2的等差数列. 设共有m个满足条件的正整数N，则，解得 中满足条件的正整数N存在，共有
3、495个，9分 （IV）设，即 则 显然，其极限存在，并且10分 注：（c为非零常数），等都能使存在.19. （本小题满分14分） 设双曲线的两个焦点分别为，离心率为2. （I）求此双曲线的渐近线的方程； （II）若A、B分别为上的点，且，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III）过点能否作出直线，使与双曲线交于P、Q两点，且.若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.解：（I） ，渐近线方程为4分 （II）设，AB的中点 则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为的椭圆.（9分） （III）假设存在满足条件的直线 设 由（i）（ii）得 k不存在，即不存在
4、满足条件的直线.14分3. （本小题满分13分） 已知数列的前n项和为，且对任意自然数都成立，其中m为常数，且. （I）求证数列是等比数列； （II）设数列的公比，数列满足：，试问当m为何值时，成立？解：（I）由已知 （2） 由得：，即对任意都成立 （II）当时， 由题意知，13分4（本小题满分12分）设椭圆的左焦点为，上顶点为，过点与垂直的直线分别交椭圆和轴正半轴于，两点，且分向量所成的比为85（1）求椭圆的离心率；（2）若过三点的圆恰好与直线：相切，求椭圆方程解：（1）设点其中由分所成的比为85，得，2分，4分而，5分由知6分（2）满足条件的圆心为，8分圆半径10分由圆与直线：相切得，又椭
5、圆方程为12分5（本小题满分14分）（理）给定正整数和正数，对于满足条件的所有无穷等差数列，试求的最大值，并求出取最大值时的首项和公差（文）给定正整数和正数，对于满足条件的所有无穷等差数列，试求的最大值，并求出取最大值时的首项和公差（理）解：设公差为，则3分4分7分又，当且仅当时，等号成立11分13分当数列首项，公差时，的最大值为14分（文）解：设公差为，则3分，6分又当且仅当时，等号成立11分13分当数列首项，公差时，的最大值为14分6（本小题满分12分）垂直于x轴的直线交双曲线于M、N不同两点，A1、A2分别为双曲线的左顶点和右顶点，设直线A1M与A2N交于点P（x0，y0）（）证明：（）过P作斜率为的直线l，原点到直线l的距离为d，求d的最小值.解（）证明：直线A2N的方程为 4分，得（）10分当12分7（本小题满分14分） 已知函数（）若（）若（）若的大小关系（不必写出比较过程）.解：（） （）设，6分（）在题设条件下，当k为偶数时当k为奇数时14分- 7 -
