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1、1 专题四力与曲线运动 ( 二) 万有引力与航天 考点 1| 万有引力定律的应用难度：中档题型：选择题五年 3 考 (2016全国乙卷T17) 利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意 两点之间保持无线电通讯目前， 地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6 倍假设地 球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为 ( ) A1 h B 4 h C8 h D 16 h 【解题关键】 关键语句信息解读 地球同步卫星其周期与地球自转周期相同 地球自转周期变小同步卫星的轨道半径变小 地球自转周期最小值同步卫星的轨道半径最小 B 万有引力提供向心力，对同步卫
2、星有： GMm r 2mr4 2 T 2，整理得GM4 2r3 T 2 当r6.6R地时，T24 h 若地球的自转周期变小，轨道半径最小为2R地 三颗同步卫星A、B、C如图所示分布 2 则有 4 2 6.6R地 3 T 2 4 2 2R地 3 T 2 解得T T 64 h ，选项 B正确 (2014全国卷T18) 假设地球可视为质量均匀分布的球体已知地球表面重力 加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G.地球的 密度为 ( ) A. 3 GT 2g 0g g0 B. 3 GT 2 g0 g0g C. 3 GT 2D. 3 GT 2 g0 g 【解题关键】解此
3、题抓住两条信息： (1) 地表重力加速度两极为g0，赤道处为g. (2) 地球的自转周期为T. B 根据万有引力与重力的关系解题物体在地球的两极时，mg0G Mm R 2，物体在赤道上 时，mgm 2 T 2R G Mm R 2，以上两式联立解得地球的密度 3g0 GT 2 g0g . 故选项 B 正确， 选项 A、 C 、D错误 1高考考查特点 (1) 本考点高考命题角度为万有引力定律的理解，万有引力与牛顿运动定律的应用 (2) 正确理解万有引力及万有引力定律，掌握天体质量( 密度 )的估算方法，熟悉一些天 体的运行常识是前提 2解题的常见误区及提醒 (1) 不能正确区分万有引力和万有引力定
4、律万有引力普遍存在，万有引力定律的应用 有条件 (2) 对公式FGm 1m2 r 2，应用时应明确“r”的意义是距离；m1和m2间的作用力是一对作用 力与反作用力 (3) 天体密度估算时，易混淆天体半径和轨道半径 考向 1 万有引力与重力 1若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛 3 一物体，它们在水平方向运动的距离之比为27. 已知该行星质量约为地球的7 倍，地球 的半径为R. 由此可知，该行星的半径约为( ) 【导学号： 37162027】 A. 1 2R B. 7 2R C2RD. 7 2 R C 在行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相
5、同的速率平抛一物 体，它们经历的时间之比即为在水平方向运动的距离之比，所以 t1 t2 2 7 . 竖直方向上做自由 落体运动，重力加速度分别为g1和g2，因此 g1 g2 2h/t 2 1 2h/t 2 2 t 2 2 t 2 1 7 4. 设行星和地球的质量分别为7M和M，行星的半径为r，由牛顿第二定律得 G 7Mm r 2mg1 G Mm R 2mg2 / 得r 2R 因此 A、B、 D错， C对 考向 2 天体质量 ( 密度 ) 的估算 2( 高考改编 ) 例 2(2014 全国卷T 18) 中，若地球自转角速度逐渐增大，当角速度 增大到某一值0时， 赤道上的某质量为m的物体刚好要脱离
6、地面则地球的质量是多大？ 【解析】设地球质量为M，地球两极有： GMm R 2mg0 在赤道对质量为m的物体刚要脱离时有： GMm R 2m 2 0R 由得：Mg 3 0/G 4 0. 【答案】g 3 0/G 4 0 3( 多选)(2016 郑州三校三联) 一颗人造卫星在地球表面附近做匀速圆周运动，经过 t时间，卫星运行的路程为s，运动半径转过的角度为，引力常量为G，则 ( ) A地球的半径为 s B地球的质量为 s 2 G t 2 4 C地球的密度为 3 2 4Gt 2 D地球表面的重力加速度为 s t AC 根据题意可知， 地球的半径R s ，A项正确； 卫星的角速度 t ，G Mm R
7、2mR 2， M s 3 G t 2，B 项错误；地球的密度 3 2 4Gt 2，C 项正确；地球表面的重力加速度等于卫星 的向心加速度，即aR 2s t 2， D项错误 天体质量 ( 密度 ) 的估算方法 1. 利用天体表面的重力加速度g和天体半径R. 由于G Mm R 2mg，故天体质量M gR 2 G ，天体密度 M V M 4 3 R 3 3g 4GR . 2通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r. (1) 由万有引力等于向心力，即G Mm r 2m 4 2 T 2r，得出中心天体质量M 4 2r3 GT 2； (2) 若已知天体半径R，则天体的平均密度 M V M 4
8、3 R 3 3r 3 GT 2R3； (3) 若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R， 则天体密度 3 GT 2. 可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体 的密度 考点 2| 天体的运行与发射难度：中档题型：选择题五年 6 考 ( 多选)(2015 全国卷T 21) 我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后， 先在月球表面附近的近似圆轨道上绕月运行；然后经过一系列过程，在离月面4 m高处做一 次悬停 ( 可认为是相对于月球静止) ；最后关闭发动机，探测器自由下落已知探测器的质量 约为 1.3 10 3 kg，地球质量约为月球的81 倍
9、，地球半径约为月球的3.7 倍，地球表面的重 力加速度大小约为9.8 m/s 2. 则此探测器 ( ) A在着陆前的瞬间，速度大小约为8.9 m/s B悬停时受到的反冲作用力约为210 3 N 5 C从离开近月圆轨道到着陆这段时间内，机械能守恒 D在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度 【解题关键】 关键语句信息解读 月球表面万有引力等于重力 悬停平衡状态，受万有引力之外的力 地球质量表面重力加速度大小约为9.8 m/s 2 可计算月球表面的重力加速度 BD 设月球表面的重力加速度为g月，则 g月 g地 GM 月 R 2 月 GM 地 R 2 地 M月 M地 R 2
10、地 R 2 月 1 813.7 2，解得 g月1.7 m/s 2. A由v 22g 月h，得着陆前的速度为v2g月h21.7 4m/s3.7 m/s ，选项A 错误 B悬停时受到的反冲力Fmg月210 3N，选项 B正确 C从离开近月圆轨道到着陆过程中，除重力做功外，还有其他外力做功，故机械能不 守恒，选项C错误 D设探测器在近月圆轨道上和人造卫星在近地圆轨道上的线速度分别为v1、v2，则 v1 v2 GM月 R月 GM 地 R地 M月 M地 R地 R月 3.7 81 1，故v1v2，选项 D正确 ( 多选)(2014 全国卷T 19) 太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太 阳做圆周运动
11、 当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象， 天文学称为“行星冲日”据报道，2014 年各行星冲日时间分别是：1 月 6 日木星冲日；4 月 9 日火星冲日； 5 月 11 日土星冲日； 8 月 29 日海王星冲日；10 月 8 日天王星冲日已知 地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示则下列判断正确的是( ) 地球火星木星土星 天王 星 海王 星 轨道半径 (AU)1.01.55.29.51930 A.各地外行星每年都会出现冲日现象 B在 2015 年内一定会出现木星冲日 C天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半 6 D地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间
12、隔最短 【解题关键】(1) 行星冲日后，每当地球与地外行星转过的角度相差2 时将会出现 冲日现象 (2) 根据万有引力定律求出各地外行星的运行周期 (3) 写出地外行星冲日时间间隔的表达式分析判断 BD 本题以“行星冲日”为背景考查了圆周运动的相遇问题由题意可知地球的轨道 半径r 地1.0 AU ，公转周期T地 1年 由开普勒第三定律 r 3 T 2k可知T行 r行 r地 3 T地r 3 行年，根据相遇时转过的角度之差 2n 及 t 可知相邻冲日时间间隔为t，则 2 T地 2 T行 t2，即t T地T行 T行T地 T行 T行 1 ，又T火1.5 3年， T木5.2 3年， T土9.5 3年，
13、T天19 3年， T海30 3年，代入 上式得t1年，故选项 A错误；木星冲日时间间隔t木 5.2 3 5.2 31年a1a3Ba3a2a1 Ca3a1a2Da1a2a3 D 卫星围绕地球运行时，万有引力提供向心力，对于东方红一号，在远地点时有 G Mm1 Rh1 2m1a1，即a1 GM Rh1 2，对于东方红二号，有G Mm2 Rh2 2m2a2，即a2 GM Rh2 2，由于h2h1，故a1a2，东方红二号卫星与地球自转的角速度相等，由于东方红 9 二号做圆周运动的轨道半径大于地球赤道上物体做圆周运动的半径，根据a 2r ， 故a2a3， 所以a1a2a3，选项 D正确，选项A、B、C错
14、误 考向 3 卫星变轨问题 7( 高考改编 ) 例 5(2013 全国卷T20) 中，若“神舟九号”与“天宫一号”对接前 的轨道如图2 所示，则以下说法正确的是( ) 图 2 A在远地点P处，“神舟九号”的加速度与“天宫一号”的加速度相等 B根据题中条件可以计算出地球的质量 C根据题中条件可以计算出地球对“天宫一号”的引力大小 D要实现“神舟九号”与“天宫一号”在远地点P处对接，“神舟九号”需在靠近P 处点火减速 A 在远地点P处，轨道半径相同，由 GMm r 2ma知a GM r 2，故两者加速度相等，A正确； 由“天宫一号”做圆周运动，万有引力提供向心力可知 GMm r 2m 4 2 T
15、2r，因“天宫一号”的周 期、轨道半径及引力常量未知，不能计算出地球的质量，B错误；由于“天宫一号”质量未 知，故不能算出万有引力，C错误；“神九”在椭圆轨道上运动，P为其远地点，若在P点 前减速，则沿向上的速度分量减少，则“神九”将不能到达P点， D错误 8(2016湖南十校共同体三联) 如图 3 所示是某卫星绕地飞行的三条轨道，其中轨道 1 是近地圆形轨道，轨道2 和 3 是变轨后的椭圆轨道，它们相切于A点卫星在轨道1 上运 行时经过A点的速率为v，加速度大小为a. 下列说法正确的是( ) 【导学号： 37162029】 图 3 A卫星在轨道2 上经过A点时的速率大于v B卫星在轨道2 上
16、经过A点时的加速度大于a C卫星在轨道2 上运行的周期大于在轨道3 上运行的周期 D卫星在轨道2 上具有的机械能大于在轨道3 上具有的机械能 10 A 卫星在轨道1 上运行经过A点时，只有速度增大，才能由轨道1 变轨到轨道2，故 卫星在轨道2 上经过A点时的速率大于v，选项 A正确；在同一点，卫星所受的万有引力大 小相等，故卫星在轨道2 上经过A点时的加速度仍等于a，选项 B错误；根据开普勒第三定 律，对于同一中心天体，有 a 3 T 2k，可知卫星在轨道2 上运行的周期小于在轨道3 上运行的 周期， 选项 C错误； 卫星在轨道2 上运行经过A点时，只有速度增大，才能由轨道2 变轨到 轨道 3，故卫星在轨道3 上具有的机械能大于在轨道2 上具有的机械能，选项D错误 1人造卫星运动规律分析“1、2、3” 2分析卫星变轨应注意的3 个问题 (1) 卫星变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定的新轨 道上的运行速度变化由
