《高等数学典型例题与应用实例(重积分B部分)(1-3)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学典型例题与应用实例(重积分B部分)(1-3)（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、. . . . .例 利用二重积分的性质，估计积分的值，其中为半圆形区域解 我们先求函数在区域上的最大值和最小值由解得驻点为， 在边界上，在上的最大值为，最小值为在边界上，由得驻点，综上，在上的最大值为，最小值为又的面积为，所以由二重积分的估值性质知，即例 设为xoy平面上以为顶点的三角形区域，为在第一象限的部分，则（A） （B）（C） （D）解 区域D如图所示，并记为以为顶点的三角形区域，则关于轴对称，且为在轴右侧的部分区域，区域关于轴对称又关于和均为奇函数；而关于为偶函数关于为奇函数，由二重积分的奇偶对称性得，故；，故所以 因此我们选（A）例 设区域，为上的正值连续函数，为常数，则 解 由
2、题意知，关于直线对称，由二重积分轮换对称性得 因此，我们应填“”例 计算二次积分解 积分区域如图，则 原式 ；例 设为椭圆区域，计算二重积分解 令则的极坐标表示为，且由式，可得 例 计算二重积分，其中D为解 解法1 D的边界曲线为这是一个以为圆心，为半径的圆域，采用一般的变量代换，令即作变换于是D变为所以，（再用极坐标）解法2 由于积分区域D：关于（即对称，故类似地，由于D关于对称，故从而例 计算，其中， 解 D由分为D2，D2两部分，如图. 例 利用二重积分计算定积分解 因为所以 例 上的连续函数，且，试利用二重积分证明证因为其中 亦即 例 计算，其中解 当从而 图，其中D曲线，和所围成，如
3、图10-8。改变积分顺序，则 例 设二元函数，计算，其中解：由区域的对称性和被积函数的奇偶性、有其中，D1为D位于第一象限部分，D1由分成两部分： 图因为 所以 例 求解 设平面区域D：则二元函数在D上连续，二重积分存在，用平行于x轴和y轴的两组平行线把D分成n2个全等的正方形，如图，取则故 图例 设有一阶导数且求。解 采用极坐标，令于是原式= 例 设半径为R的球面的球心的定球面上，问当R取什么值时，球面在定球面部的那部分的面积最大。解根据题意不妨设球面的方程为，则两球面的交线在xOy面投影记1为在定球面的部分，则1在xOy面投影区域D为. 1的方程，则1的面积 图 S为R的函数，下面求S的最
4、大值。令，得驻点（舍去）。又因此为极大值，即为最大值，故当时，球面在定球面的部分的面积最大。例 设薄片所点区域D是介于两个圆之间的区域，各点处的面密度等于该点到原点的距离，求这薄片的质心。解 区域D如图所示，由对称性知薄片的质量 所以，所以薄片的质心坐标例 求由抛物线及直线所围成的薄片（面密度为常数对于直线的惯性矩。解 设D为平面薄片所占据的xOy平面上的区域如图，D任一点（x,y）到直线y=-1的距离平方d2=(y+1)2,故所求惯性矩为 例 计算，其中是由曲面与平面z=2所围成的区域。解 从中消去z，得投影柱面方程，在xOy平面上的投影区域D为：。采用柱面坐标，可表示为：从而计算，其中 解
5、：由于将x与z对换，积分区域和被积函数不变，故原积分=2，积分区域为球面围成，采用球面坐标，令 图 从而，原积分=例 计算，其中是和的公共部分（a0）。解法一 用球面坐标，根据积分区域特点，必须分成两部分1和2，由及得，则锥面把分成1和2两部分. 解法二 由于被积函数与x,y无关，且积分区域中作平行xOy坐标面向的平面与交线是圆，于是可用先作二重积分再作一定积分（先二后一）法，因为两球面的交线落在平面上，故当时，为半径为的圆域；当时，为半径为的圆域，因此，例 计算三重积分，其中是由抛物面与球面所围成的公共区域。解 被积函数 ，由于积分区域关于xOz坐标面对称xy+yz是关于y的奇函数，所以 类
6、似地，由于关于yOz坐标面对称，xz是关于z的奇函数，所以于是采用柱面坐标，令，则所以例 ，其中是由与z=1所围成的立体。解 令，得球面需将分成两部分、，其中 而 例 设为连续函数，求 解 因为在上连续，根据三重积分的中值定理，至少存在一点，使得注意，当由的连续性，于是有例 设函数具有连续导数，且，求其中为球域：.解 引入球面坐标变换：则，因为时，所以由洛必达法则，原式=例 由曲面和围成的立体，其密度为，求绕直线旋转的转动惯量。解 先求出立体任一点到直线的距离的平方的方向向量，且所以故 由对称性知 图利用柱面坐标，例 设函数连续且恒大于零，其中，证明：在单调增加.解 因为 ， （）故在单调增加.例 设有一半径为的球体，是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到距离的平方成正比（比例系数），求球体的质心位置.解 设球心为，以球心为坐标原点，射线为正轴建立坐标系，则点的坐标为，球面方程为 设 球体的质心位置，由对称性，得 ， ， ，而 （由轮换对称性）故，球体的质心位置.S. . . . . .
