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1、NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导，全程包过，不过退款! QQ 客服：296312040 1998 年数学一试题分析年数学一试题分析 (NBF 真题计划：公共课最准，专业课最全!) (NBF 真题计划：公共课最准，专业课最全!) 一、填空题 （1） 2 0 112 lim x xx x + = 答答 应填 1 . 4 分析分析 由洛必达法则， 原式( ) 00 11 112 12 1 limlim. * 2411 xx xx xx xxxx + + = + 至此又有两条路可走， 一是分子分母同乘以( ) 11,xx+ 原式 () 0 21 lim; 4 41111 x x
2、 xxxxx = + 或者是将（*）中的分母4 11xx+先处理，然后再将其余部分用洛必达法则 原式 00 111 limlim 4 11 xx xx xxx + = + () 0 11111 lim1. 4442 12 1 x xx = = + （2）设()() 1 ,zf xyyxyf x =+具有二阶连续导数，则 2z x y = 答答 应填 ()()() yfxyxyyxy+ 分析分析 可按复合函数求导公式处理 ()()() ()()()()() 2 2 1 , 11 zy f xyfxyyxy xxx z fxyfxyyfxyxyyxy x yxx =+ =+ ()()() yfxy
3、xyyxy=+ （3）设l为椭圆 22 1, 43 xy +=其周长为a，则() 22 234 l xyxy ds ? += NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导，全程包过，不过退款! QQ 客服：296312040 答答 应填12a 分析分析 以l的方程 22 3412xy+=代入得 ()() 22 234212212. llll xyxy dsxydsxydsds ? +=+=+ 其中第一部分由l的对称性以及函数xy分别是x的奇函数和y的奇函数，从 而20, l xyds ? = 第二部分, l dsa ? = 故知应填12a。 （4） 设A为n阶矩阵， * 0AA，为
4、A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵， 若A 有特征值,则() 2 * AE+必有特征值 答答 应填 2 1 A + 分析分析 由于A有特征值,故 1 A必有特征值 1 , 22 AAE+必有特征值，必有 特征值1+，因此只要求出 * A的某个特征值， 由于 *1 AA A=,故 A 必是 1 A A即 * A的特征值，因此， 2 1 A + 必是 () 2 * AE+的特征值。 （5）设平面区域D由曲线 1 y x =及直线 2 0,1,yxxe=所围成，二维随机 变量(),X Y在区域D上服从均匀分布，则(),X Y关于X的边缘概率密度在2x= 处的值为 答答 应填 1 4 分析分析 设平面区域
5、D的面积为 D S， 由于二维随机变量(),X Y在区域D上服从 均匀分布，因此(),X Y的联合密度函数(),f x y为 () () () 1 , , 0, D x yD S f x y x yD = 而 22 1 101 1 2 ee x D Sdxdydx x = NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导，全程包过，不过退款! QQ 客服：296312040 ( ) 1 0 11 22 x X fxdy x = 2 1xe 故( ) 1 2 4 X f= 二、选择题 （1） 设( )f x连续，则() 22 0 x d tf xtdt dx = （A）( ) 2 xf
6、x （B）( ) 2 xf x （C）( ) 2 2xf x （D）() 2 2xf x 答答 应选A 分析分析 令 22 xtu= 原式( )( ) 2 2 0 0 11 22 x x dd f u duf u du dxdx = 现在x仅含于上限，可按对上限变量再经过复合函数求导办法求之，从而 原式( )() 222 1 2 d f xxxf x dx = （2） 函数( )() 23 2f xxxxx= 不可导点的个数是 （A）3 （B）2 （C）1 （D）0 答答 应选B 分析分析 由按定义求导方法可知，0 xx=在不可导，x x在0 x=处一阶可 导，因此( )() 23 2f xx
7、xxx= 的不可导点，关键在于因子分解并考察 3 0 xx=的点，( )()() ()()2111f xxxx xx=+，于是可知，( )f x在 0,1x=处不可导，而在1x=处是可导的，故( )f x的不可导点个数是2. （3） 已知函数( )yy x=在任意点x的增量 2 1 yx ya x =+ + ，且当0 x 时， ax是的高阶无穷小，( )0,y=则( )1y等于 （A）2 （B） （C） 4 e （D） 4 e 答答 应选D 分析分析 由微分与增量的关系可知， 2 1 yx x + 的系数应是dy，从而x的系数 应是 y，即 2 . 1 y y x = + 解此微分方程： 2
8、. 1 dydx yx = + NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导，全程包过，不过退款! QQ 客服：296312040 得 arctan 1 lnarctan, x yxC yCe=+=由( )0yC=知，于是 ( )( ) arctanarctan1 4 ,1. x y xeyee =所以 （4） 设矩阵 111 222 333 abc abc abc 是满秩的，则直线 333 121212 xaybzc aabbcc = 与直线 111 232323 xaybzc aabbcc = （A）相交于一点 （B）重合 （C）平行但不重合 （D）异面 答答 应选A 分析分析
9、 由于行列式 111 222 333 0 abc abc abc 所以 () () ()() () () 232323121212 aabbccaabbcc：故两直线不平行， 因 此删除（B） （C） ，再看是否有公共点，命 333 121212 xaybzc t aabbcc = 化 直线方程为参数式：()()() 312312312 ,xat aaybt bbzct cc=+=+=+ 代入第二条直线方程中，若存在t满足第二条直线方程，即表示两直线有 公共点；否则表示两直线无公共点，按此办法计算之，有 ()()() 312112 1 232323 1 1 at aaataaxa aaaaaa
10、 + = + 同理 ()() 12 1 2323 1 1, tbbyb bbbb = + ()() 12 1 2323 1 1, tcczc cccc = + 取1t=可使上述三式相等， 即相应的点也在第二条直线上， 故两直线有公 共点，从而知选（A） （5） 设,A B是两个随机事件，且( )( )01,0,P AP B() (), P B AP B A=则必 有 （A）()()P A BP A B= （B）()()P A BP A B （C）()( ) ( )P ABP A P B= （D）()( ) ( )P ABP A P B NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导，
11、全程包过，不过退款! QQ 客服：296312040 答答 应选C 分析分析 由条件概率公式以及条件() (), P B AP B A=知： () ( ) () ( ) P AB P AB P AP A = 所以 ()( )()( )()( )( )()()1P ABP AP A P ABP AP BP AB= 所以 ()( ) ( )P ABP A P B= 三、求直线 11 : 111 xyz l = 在平面:210 xyz+ =上的投影直线 0 l的方 程，并求 0 l绕y轴旋转一周所成曲面的方程。 分析分析 过直线l作一垂直于的平面 1 ，1与的交线 （即它们的方程联立） ， 即为 0
12、 l的方程，因此关键就是求 1 的方程，求出 1 的方程后，再按求旋转面 的方法求旋转面方程。 解法解法 1 点()1,0,1在l上，所以该点也在平面 1 上，于是 1 的方程可设为 ()()() 1 1010A xB yC z+=： 1 的法向量应与l的方向向量垂直，又应与平面的法向量垂直，故有 0;20ABCABC+=+= 由此解得:1:3:2A B C=于是 1 的方程为 3210.xyz+ = （*） 从而 0 l的方程为 0 210, : 3210, xyz l xyz + = + = 将 0 l写成 () 2 , 1 1 . 2 xy zy = = 设 0 l绕y轴旋转一周所成的曲
13、面为S，点(), PPP P xyzS对于固定的 , P yy=于是 NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导，全程包过，不过退款! QQ 客服：296312040 ()()()() 22 22 22222 111711 2121 22424 PPPPpp xzxzyyyyyy +=+=+ =+ =+ 去掉下角P，即得S的方程为 222 4174210 xyzy+ = 解法解法 2 用平面束方程，由于l的方程可写成 10, 10, xy yz = + = 故经过l的平面方程可写成()110,xyyz + = ()()110 xyz+=即 在其中求出一平面 1 ，使它与垂直，得
14、()1120+= 解得2 =，于是 1 的方程同解法1的（*） ，下同解法1. 四、确定常数，使在右半平面0 x上的向量 ()()() 42242 ,2A x yxy xxixxyj =+为某二元函数(),u x y的梯度，并求 (),u x y。 分析分析 平面单连通区域内向量场()()(),A x yP x y iQ x y j=+为梯度的充要 条件是, QP xy = 由此可定出，在此基础上，由路径无关的曲线积分 ()() () () 00 , , , x y xy P x y dxQ x y dy+ 。求出(),u x y 解解 命 ()()() 42242 ,2,.P x yxy xxQxxy =+=+由, QP xy = 有 ()() 42 410.x xy += 于是推知当且仅当1 =时，所给向量场是梯度场，在0 x的半平面内任 取一点，例如()1,0作为积分路径的起点，则得 () () () () 2 , 42 1,0 2 , x y xydxx dy u x yC xy =+ + NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导，全程包过，不过退款! QQ 客服：296312040 2 4242 10 2 20 arctan xy xx dxdyC xyxy y C x =+ + =+ 其中C为任意
