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1、高中数学必修第二册1 / 12 第六章综合测试 一、单项选择题（本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的） 1.在ABC中，内角,A B C,的对边分别为, ,a b c，若 5 2 ab，2AB，则cosB等于（） A. 5 3 B. 5 4 C. 5 5 D. 5 6 2.已知两个单位向量a和b的夹角为60，则向量ab在向量a上的投影向量为（） A. 1 2 a B.a C. 1 2 a D.a 3.已知点(2, 1),(4,2)AB，点P在x轴上，当PA PB uu r uu r g取最小值时，P点的坐标是（） A.(2,0)
2、B.(4,0) C. 10 ,0 3 D.(3,0) 4.已知,A B C为圆O上的三点，若有OAOCOB uu ruuu ruu u r ，圆O的半径为2，则OB CB uu u r uu r g（） A.1 B.2 C.1 D.2 5.已知点(4,3)A和点(1,2)B，点O为坐标原点，则|()OAtOBtR uu ruu u r 的最小值为（） 高中数学必修第二册2 / 12 A.5 2 B.5 C.3 D.5 6.已知锐角三角形的三边长分别为1，3，a，那么a的取值范围为（） A.(8,10) B.(2 2,10) C.(2 2,10) D.( 10,8) 7.已知圆的半径为4, ,
3、,a b c为该圆的内接三角形的三边，若16 2abc，则三角形的面积为（） A.2 2 B.8 2 C.2 D. 2 2 8.已知向量,a b满足(2 ) (54 )0abab，且1ab，则 a 与b的夹角为（） A. 3 4 B. 4 C. 3 D. 2 3 9.已知 sin1 sincos2 ，且向量(tan ,1)AB uu u r ，(tan,2)BC uu u r ，则AC uuu r 等于（） A.( 2,3) B.(1,2) C.(4,3) D.(2,3) 10.在ABC中，E F,分别为,AB AC的中点，P为EF上的任意一点， 实数, x y满足PAxPByPC0 uu r
4、uu ruu u r ， 高中数学必修第二册3 / 12 设,ABCPBCPCAPAB的面积分别为 123 ,S S S S，记(1,2,3) i i S i S ，则 23取到最大值时， 2xy的值为（） A.1 B.1 C. 3 2 D. 3 2 二、多项选择题（本大题共2 小题，每小题5 分，共 10 分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要 求，全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分） 11.已知ABC中，角,A B C的对边分别为, ,a b c，且满足,3 3 Bacb，则 a c （） A.2 B.3 C. 1 2 D. 1 3 12.点P是ABC所在平面
5、内一点， 满足20PBPCPBPCPA uu ruu u ruu ruu u ruu r ， 则ABC的形状不可能是 （） A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 三、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分.将答案填在题中横线上） 13.已知, 12 ee是平面内的单位向量，且 1 2 12 ee.若向量b满足1 12 b eb e，则b_. 14.已知向量, a b满足5,1ab，且421ab，则a b的最小值为 _. 15. 如 图 ， 在 直 角 梯 形ABCD中 ，ABDC，ADDC，2DCAABD，E为AD的 中 点 ， 若 CACEDB uu
6、ruu u ruu u r ，则_，_.（本题第一空2 分，第二空3 分） 16.如图所示，某海岛上一观察哨A上午 11 时测得一轮船在海岛北偏东60的C处， 12 时 20 分测得轮船在 海岛北偏西60的B处， 12 时 40 分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km的 E 港口，如果轮船始终匀速 高中数学必修第二册4 / 12 直线前进，则船速的大小为_. 四、解答题（本大题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10 分）如图所示，以向量,OAOB uu ruu u r ab为邻边作OADBY， 11 , 33 BMBC CNCD uuu ru
7、u u r uuu ruu u r ，用 ,a b表现,OM ON MN uuu r uuu r uuu r . 18.（本小题满分12 分）已知ABC的内角,A B C所对的边分别为, ,a b c，且2a， 3 cos 5 B. （1）若4b，求sinA的值； （2）若4 ABC S，求, b c的值 . 19.（本小题满分12 分）在ABC中，角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，已知sincos1sin 2 C CC， （1）求sinC的值； （2）若ABC的外接圆面积为(47)，试求AC BC uuu r uu u r g的取值范围 . 20.（本小题满分12 分）某观测
8、站在城A 南偏西20方向的C处，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东 40，距C处 31 千米的B处有一人正沿公路向城A走去，走了20 千米后到达D处，此时,C D间的距离为 高中数学必修第二册5 / 12 21 千米，问这人还要走多少千米可到达城A？ 21.（本小题满分12 分）已知正方形ABCD，EF、分别是CDAD、的中点，BECF、交于点P，连接AP. 用向量法证明： （1）BECF； （2）AP AB. 22. （本小题满分12 分） 已知向量(sin ,cos )xxa，sin,sin 6 xxb， 函数( )2f xa b，( ) 4 g xfx. （1）求( )f x在, 2
9、上的最值，并求出相应的x的值； （2）计算(1)(2)(3)(2014)ggggL的值； （3）已知tR，讨论( )g x在 ,2t t上零点的个数 . 高中数学必修第二册6 / 12 第六章综合测试 答案解析 一、 1. 【答案】 B 【解析】由正弦定理得 sin sin aA bB ， 5 2 ab可化为 sin5 sin2 A B . 又 sin22sincos5 2 , sinsin2 BBB AB BB ， 5 cos 4 B. 2. 【答案】 A 【解析】 由已知可得 11 1 1 22 a b， 211 ()1 22 abaaa b，则向量ab在向量a上的投影向 量为 ()1 2
10、 aba aa a . 3. 【答案】 D 【解析】 Q点P在x轴上，设P上的坐标是( ,0),(2, 1),(4,2)xPAxPBx uu ruu r ， 22 (2)(4)266(3)3PA PBxxxxx uu ruu r ，当3x时，PA PB uu r uu r 取最小值 . P点的坐标是(3,0). 4. 【答案】 D 【解析】OAOCOB uu ruuu ruu u r Q，OAOC uu ruuu r ，四边形OABC是菱形，且120AOC， 又圆O的半径为2，22cos602OB CB uu u r uu r . 5. 【答案】 D 【解析】点(4,3),(1 ,2)AB，O
11、为坐标原点，则(4,32 )OAtOBtt uu ruuu r ， 22222 ()(4)(32 )520255(2)55OAtOBttttt uu ruu u r ， 当2t时，等号成立，此时OAtOB uu ruu u r 取得最小值5. 6. 【答案】 B 高中数学必修第二册7 / 12 【解析】设1, 3，a所对的角分别为,CBA，由余弦定理的推论知 222 22 222 13 cos0, 2 13 13 cos0, 21 31 cos0, 23 a A a B a a C a 即 2 2 2 100, 280, 680, a a a a a 解得2 210a ，故选 B. 7. 【答
12、案】 C 【解析】设圆的半径为R，内接三角形的三边, ,a b c所对的角分别为,A B C. 28 sinsinsin abc R ABC Q， sin 8 c C， 116 2 sin2 21616 ABC abc SabC . 8. 【答案】 C 【解析】 22 (2 ) (54 )5680Q ababaa bb，又 1 1,63,cos 2 aba b，又 0, 3 ，故选 C. 9. 【答案】 D 【解析】 sin1 sincos2 Q，cossin，tan1，(2tan,3)(2,3)ACABBC uuu ruu u ruu u r . 故选 D. 10. 【答案】 D 【解析】由
13、题意可得，EF是ABC的中位线， P到BC的距 离等于ABC的 边BC上的 高的一半，可得 12323 1 2 1 , 2 SSSS. 由此 可得 2 23 23 1 216 ，当且仅当 23SS，即P为EF的中点时，等号成立. 0PEPF uuruu u r . 由向量加法 的四边形法则可得，2PAPBPE uu ruu ruur ，2PAPCPF uu ruu u ruu u r ，两式相加，得20PAPBPC uu ruu ruu u r . 0PAxPByPC uu ruu ruu u r Q，根据平面向量基本定理，得 1 2 xy，从而得到 3 2 2 xy. 二、 11. 【答案】
14、 AC 【解析】 3 BQ，3acb， 高中数学必修第二册8 / 12 2222 ()23acacacb， 由余弦定理可得， 222 2cos 3 acacb， 联立，可得 22 2520aacc， 即 2 2520 aa cc ， 解得2 a c 或 1 2 a c . 故选 AC . 12. 【答案】 ACD 【解析】PQ是ABC所在平面内一点，且|2|0PBPCPBPCPA uu ruu u ruu ruu u ruu r ， |()()|0CBPBPAPCPA uu ruu ruu ruu u ruu r ， 即| |CBACAB uu ruuu ruu u r ， | |ABACAC
15、AB uu u ruuu ruuu ruu u r ， 两边平方并化简得0MC AB uuu r uu u r ，ACAB uuu ruu u r ， 90A，则ABC一定是直角三角形.故选 ACD . 三、 13. 【答案】 2 3 3 【解析】解析令 1 e与 2 e的夹角为. 1 coscos 2 1212 eeee，又0 180，60. 0Q 12 bee，b与, 12 ee的夹角均为30，从而 12 3 |= cos303 b. 14. 【答案】 5 2 【解析】 22 |4 |16|841821ababa ba b， 5 2 a b，即a b的最小值为 5 2 . 15. 【答案】
16、 6 5 2 5 【解析】 以D为原点，DC边所在直线为x轴，DA边所在直线为y轴建立平面直角坐标系. 不妨设1AB， 则(0,0),(2,0),(0,2),(1 ,2),(0,1)DCABE.( 2,2),( 2,1),(1,2)CACEDB uu ruu u ruu u r ， ,( 2,2)( 2,1)(1,2)CACEDB uu ruu u ruu u r Q， 高中数学必修第二册9 / 12 22, 22, 解得 6 , 5 2 . 5 16. 【答案】93 km / h 【解析】轮船从C到B用时 80 分钟，从B到E用时 20 分钟，而船始终匀速前进，由此可见，4BCEB. 设EBx，则4BCx，由已知得30BAE，150EAC. 在AEC中，由正弦定理的 sinsin ECAE EACC ， sin5sin1501 sin 52 AEEAC C ECxx g . 在ABC中，由正弦定理得
