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1、1,幂级数,幂级数是一类最简单的函数项级数。,2,幂级数的收敛性问题,幂级数 在哪些点上是收敛的？,3,Abel定理,Abel定理,4,证明,5,证明,6,Abel定理的推论,Abel定理的推论,7,证明,根据Abel定理可知,8,幂级数的收敛域,由此可知幂级数的收敛域是以原点为中心的区间(-R,R),称R为幂级数的收敛半径. 当 时,幂级数仅仅在点 处收敛 当 时,幂级数在 上收敛 当 时,9,幂级数的收敛半径,如何求出幂级数 的收敛半径R？,10,收敛半径R的求法,定理,11,收敛半径R的求法,定理,12,例题,求出幂级数,13,解,14,例题,求出幂级数,15,解,16,例题,同理可以求
2、出幂级数,17,例题,求出幂级数,18,解,19,缺项幂级数的收敛半径,缺项幂级数的收敛半径与收敛域的求法. 求出幂级数,20,解,利用比式判别法或者根式判别法,21,幂级数的一致收敛性问题,定理,22,证明,23,幂级数的一致收敛性问题,定理,24,证明,25,幂级数的性质,利用函数项级数的一致收敛性的定理,可推出幂级数的和函数的连续性、可积性和可微性的结果。,26,和函数的连续性,连续性定理,27,和函数的连续性,连续性定理,28,和函数的连续性,连续性定理,29,和函数的可积性,逐项积分定理,30,收敛半径不变,证明：,31,和函数的可微性,逐项求导定理,32,收敛半径不变,证明：,33
3、,和函数的可微性的推论,推论1,34,和函数的可微性的推论,推论2,35,幂级数相等的意义,幂级数相等的概念,36,幂级数的运算,幂级数的运算,37,求幂级数的和函数,由已知幂级数的和函数，通过逐项求导或者逐项积分来求出其它幂级数的和函数.,38,例题,39,40,例题,41,42,例题,43,44,特别地，,45,函数的幂级数展开,我们回顾一下上册学过的Taylor(泰勒)定理,46,47,Taylor级数,48,Taylor级数,49,反例,50,上述反例说明若函数f(x)具有任意阶的导函数，其Taylor级数并不一定能收敛于该函数本身！,51,Taylor级数收敛的充分条件(一),52,
4、证明,53,Taylor级数收敛的充分条件(二),54,证明,55,幂级数展开式,56,幂级数展式的唯一性,57,Maclaurin(麦克劳林)级数,58,几种形式的余项,59,幂级数展开式,基本初等函数的幂级数展开式,60,k次多项式函数的幂级数展开式,61,证明,62,指数函数 的幂级数展开式,63,证明,64,证明,65,三角函数sin x幂级数展开式,66,证明,67,证明,68,三角函数cos x幂级数展开式,69,证明,70,证明,71,对数函数ln x幂级数展开式,72,证明,73,证明,74,对数函数ln x幂级数展开式,75,二项式函数幂级数展开式,76,证明,77,证明,78,例子,79,Leibniz级数,80,函数的幂级数展开式,由前面已经得到的基本初等函数的幂级数展开式，根据幂级数展式的唯一性定理，我们可以通过变量替换、四则运算、逐项求导和逐项积分等方法，间接地求出其它函数的幂级数展开式。,81,例题,82,由对数函数的幂级数展开式,83,例题,84,由余弦函数的幂级数展开式,85,例题,86,由余弦函数的幂级数展开式,87,例题,88,由指数函数的幂级数展开式,89,例题,90,由正弦函数的幂级数展开式,91,例题,92,由已知函数的幂级数展式,
