《高等代数-北大三版-第一章-PPT课件》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高等代数-北大三版-第一章-PPT课件(164页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、1,第一章 多项式,学时:28学时 教学方法和手段 由于多项式与整数在许多方面有相似之处,因此在建立多项式分解理论时要注意与整数理论作对比。 基本内容和教学目的 本章主要讨论一元多项式的概念和运算,建立多项式因式分解理论,并讨论与之有密切关系的求根问题。这是中学有关知识的加深和扩充。 本章的重点和难点 重点:一元多项式的因式分解理论. 难点:最大公因式的概念,多项式的整除,互素和不可约多项式等概念之间的联系与区别.,2,1.1 数环和数域,研究数学问题常常需要明确规定所考虑的数的范围,学习数学也是如此。,比如,先学习自然数,然后整数,再正有理数、有理数、实数、复数。再比如讨论多项式的因式分解、
2、方程的根的情况,都跟数的范围有关。,例如,3,我们目前学习的解析几何,数学分析都是在实数范围内来讨论问题的。但在高等代数中,通常不做这样的限制。,在代数中,我们主要考虑一个集合中元素的加减乘除运算(即代数运算)是否还在这个集合之中,代数运算:设A是一个非空集合,定义在A上的一个代数运算 是指存在一个法则,它使A中任意两个元素 都有A中一个元素与之对应。,(即运算是否封闭)。,运算封闭:如果集合中任两个元素做某一运算后的结果仍在 这个集合中,则称该集合对这个运算封闭。,例如两个整数的和、差、积仍是整数,但两个整数的商就不一定是整数,这证明整数集对加、减、乘三种运算封闭,但对除法并不封闭;而有理数
3、集对加、减、乘、除(除数不为0)四种运算都封闭。同样,实数集、复数集对加、减、乘、除四种运算都封闭。,4,根据数对运算的封闭情况,我们把数集分为两类:数环和数域。,一、数环,设S是由一些复数组成的一个非空集合,,则称S是一个数环。,整数集Z,有理数集Q,实数集R,复数集,C都是数环。,例如:,1、除了Z 、Q、R、C外是否还有其他数环?,问题:,2、有没有最小的数环?,例1:设a是一个确定的整数。令,定义1:,5,则S是一个数环。,特别,当a=2时,S是全体偶数组成的数环。,问题:,3、一个数环是否一定包含0元?,例2:证明,是一个数环。,问题:,6,定理1.1.1:设S是一个非空数集,S是数
4、环的充,要条件是S中任两个数的差和积仍在S中。,二、数域,定义2:,设F是一个含有不等零的数的数集,如果F,则称F是一个数域。,有理数集Q,实数集R,复数集C都是数域,,例如:,则称F是一个数域。,中任两个数的和、差、积、商(除数不为0)仍在F中,,且是三个最重要的数域。,7,问题:,7、除了Q、R、C外,是否还有其他的数域?,例3:证明,是一个数域。,证明要点:,8,8、一个数域必包含哪两个元素?,问题:,9、最小的数域是什么?,定理1.1.2:任何数域都包含有理数域Q。,证明:设F是一个数域,则,于是,对,故,10、在判断一个数集是不是数域时,实际上,问题:,9,要检验几种运算?,设F是一
5、个含有非零数的数集,则F,定理1.1.3:,问题:,例:对任意素数P,,是一个数域。,在R与C之间不可能有别的数域。,设有数域F,使,,故,设x=a+bi,且,数不为零)仍属于F。,是一个数域的充要条件是F中任两个数的差与商(除,10,可见F=C。,问题:,两个数域的并,不一定是数域,能不能找出两个数域的并是一个数域的充要条件并证明之。,11,1.2 一元多项式的定义和运算,12,一、多项式的概念,中学多项式的定义:n个单项式(不含加法或减法运算的整式)的代数和叫多项式。,例:,4a+3b,,在多项式中,每个单项式叫做多项式的项。这是形式表达式。,后来又把多项式定义为R上的函数:,但对这两种定
6、义之间有什么联系在中学代数中,并没有交代。,13,问题:,1、高等代数中采用什么观点定义多项式?,定义1:,设x是一个文字(或符号),n是一个非负整数,其中,,称为数域F上的一元多项式。,常数项或 零次项,首项 首项系数,称为i次项系数。,14,高等代数中采用形式观点定义多项式,它在两方面推广了中学的多项式定义:,这里x不再局限为实数而是任意的文字或符号。,系数可以是任意数域。,例1.2.1:,是Q上多项式;,是R上多项式;,是C上多项式。,都不是多项式。,15,定义2:,是两个多项式,,除系数为0的项之外,同次项的系数都相等。,多项式的表法唯一。,定义3:,设,最高次项,亦称为首项。,16,
7、例1.2.2:,零次多项式:次数为0的多项式即非零常数。,零多项式:系数全为0的多项式。对零多项式不,个多项式不是零多项式。,首一多项式:首项系数为1的多项式。,二、多项式的运算,定义4:,设,是数域F上次数分别,定义次数,因此,在谈论多项式的次数时,意味着这,17,。当mn时,取 。,18,例1.2.3:设,其中,相乘积的和作为,的系数。得:,把 中两个系数下标之和为k的对应项,19,多项式的运算(加、减、乘)满足以下运算规律:,加法交换律:,加法结合律:,乘法交换律:,乘法结合律:,乘法对加法的分配律:,20,下面证明多项式乘法满足结合律。,证:设,现证,这只要比较两边同次项(比如t次项系
8、数)相等即可。,21,左、右两边同次项的系数相等,,乘法满足结合律。,三、多项式的次数定理,定理2.1.1:设,22,证:设,多项式乘法没有零因子。,23,推论1:若,证:若f=0或g=0,则必有fg=0。,反之,若,,矛盾。,乘法消去律成立。,则,证:,24,定义5:,对多项式的加、减、乘法是否封闭?,上的多项式环。,对多项式的加、减、乘法封闭,故称为数域F,25,1.3 整除性理论,26,一、多项式整除的概念,多项式的整除性,设,,记为:,整除的基本性质,性质1:,若,27,则,。(传递性),证:,使,性质2:,若,,则 。,证:,28,性质3:,若,,对 。,证:,性质4:,若,则对,有
9、,性质5:,若,则,29,证:,为常数。,性质6:,且,则,性质7:,带余除法定理,定理1.3.1:,则存在,使得,30,商式,余式,证:先证存在性。,2、设,当nm时,显然取,现考虑次数为n的情况。,,即知结论成立。,31,的次数小于n或为0。,于是,取,就有,,结论成立;,32,再证唯一性。,若有,则,若,则,故,从而,33,推论1:,证:,充分性。,则有,必要性。,例1.3.1 设,34,例1.3.2:,证:,充分性显然。,下证必要性,,设,于是,由于 ,,故 。,多项式的根及因式分解会因数域的扩大而改变,那么,问题:,多项式的整除性不因数域的扩大而改变,35,结论:,证:,36,这一等
10、式仍然成立。,37,1.4 多项式的最大公因式,38,一、两个多项式的最大公因式,定义1:,若,的一个公因式。,定义2:,39,问题:,1、如何求两个多项式的最大公因式?,2、最大公因式是否唯一?,引理:,若,与,公因式和最大公因式。,证:,40,反之同样成立。,41,进行如下的辗转相除:,(1.4.1),当进行到某一步时,余式为0。,42,于是得,定理1.4.1:,后得一系列等式(1.4.1),则,的最大公因式为 。,定理1.4.2:,中任意两个多项式,由于余式的次数不断降低,而,43,证明:,1、若,显然有,任意。,3、若,使,则由定理1.4.1知,经辗转相除后可求出它们的最,44,则有,
11、即两个最大公因式之间仅差一个零次因子。,45,例1.4.1:,设,使,解:(利用辗转相除法),二、两个多项式互素,若,定义3:,定理1.4.5:,的充要条件是存在,使,46,多项式互素的性质。,性质1:,若,则,证:,性质2:,则,证:,47,性质3:,则,证:,代入上式即知,三、多个多项式的情况,定义4:,设,的公因式,,48,则,性质1、,使 。,性质3、若,49,例1.4.2 设,互素,但 。,性质5、,注意:,50,1.5 多项式的分解,51,在中学代数里我们学过因式分解,就是把一个多项式逐次分解成一些次数较低的多项式乘积。在分解过程中,有时感到不能再分解了也就认为它不能再分了,但是当
12、时没有理论根据,到底能不能再分下去?,这里我们将系统地讨论多项式的分解问题。,这样的因式称为平凡因式。,我们感兴趣的是,除了平凡因式外,,还有没有其他的因式?,52,定义1.5.1,等价定义:,在数域F上可约。,53,由定义可得:, 零多项式于零次多项式不讨论它们的可约性。,性质,性质1,性质2,54,则,证:设,证:,55,由性质2,,推论:,二、因式分解,问题:,是否可分解为,不可约多项式的乘积?,定理1.5.1:,56,证(归纳法):,n=1时,命题显然成立。,假设命题对一切小于n的多项式成立,则当,时,,多项式的乘积。,问题:,57,则,定理1.5.2:,中任一个次数大于零的多项式,分
13、解成不可约多项式的乘积:,成不可约因式的乘积分解式是唯一的,此即若有两,个分解式:,58,则有 r=s;,),证(对分解式中的因式个数用数学归纳法证明):,当r=1时,结论显然成立。,59,由归纳假设知,这时有r-1=s-1。,故r=s,且,三、标准(典型)分解式,故,60,首项系数提出来,使之成为首一不可约多项式,,首项系数,每个多项式的标准分解式是唯一的。,利用多项式的标准分解式可以判断一个多项,式是否整除另一个多项式。,61,利用多项式的标准分解式可以直接写出,例如:,则,62,解:,即有 。,63,例1.5.2:,求,在,上的标准分解式。,解:,在Q上:,在R上:,在C上:,例1.5.
14、3:在R上分解,解:,64,1.5 重因式,65,定义1:,不可约多项式,称为,的k重因式,如果,而 。,重。,66,要求,的重因式,只要把,式写出即可。但我们还没有一般的方法把一个多项,的标准分解,式分解为不可约因式的乘积。,因此我们应该找一种直接判断多项式是否有重因式的方法。为此目的要引入多项式导数的概念。,定义2:,的一阶导数指的是多项式:,(形式定义),多项式,67, ,的k阶导数记为,多项式的求导法则:,1、,2、,3、,4、,68,定理1.6.1:,若不可约多项式,是,的k重因式(k1),则,是,式,特别多项式,的单因式不是,式。,证:,的k-1重因,的因,69,推论1:,证:, ,70,推论2:,证:必要性由推论1立得。,推论3:,71,推论3表明,判别一个多项式有没有重因式,可以利用辗转相除法得到。,在讨论与解方程有关的问题时,常常要求所讨论多项式有没有重因式。,由定理1得:,故,72,于是:,73,74,例1.6.3