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1、二次函数知识点总结一、相关概念及定义1 二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。二次项系数，而可以为零二次函数的定义域是全体实数2 二次函数的结构特征：（1）等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2（2）是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项二、二次函数各种形式之间的变换1二次函数用配方法可化成：的形式，其中.2 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：；.三、二次函数解析式的表示方法1 一般式：（，为常数，）；2 顶点式：（，为常数，）；3 交点式：（，是抛物线与轴两交点的横坐标）.4 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所
2、有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.四、二次函数图象的画法1 五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称的描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.2 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.五、二次函数的性质的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小
3、；时，随的增大而增大；时，有最大值六、二次函数的性质的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值七、二次函数的性质：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值八、二次函数的性质的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值九、抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.1 的
4、符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.2对称轴：平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.3顶点坐标：4顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.十、抛物线中，与函数图像的关系1 二次项系数二次函数中，作为二次项系数，显然 当时，抛物线开口向上，越大，开口越小，反之的值越小，开口越大； 当时，抛物线开口向下，越小，开口越小，反之的值越大，开口越大总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小2一次项系数在二次项系数确定的
5、前提下，决定了抛物线的对称轴 在的前提下，当时，即抛物线的对称轴在轴左侧；当时，即抛物线的对称轴就是轴；当时，即抛物线对称轴在轴的右侧 在的前提下，结论刚好与上述相反，即当时，即抛物线的对称轴在轴右侧；当时，即抛物线的对称轴就是轴；当时，即抛物线对称轴在轴的左侧总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置总结：3常数项 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定
6、的十一、求抛物线的顶点、对称轴的方法1公式法：，顶点是，对称轴是直线.2配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线.3运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.十二、用待定系数法求二次函数的解析式1一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.2顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.3交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.十三、直线与抛物线的交点1轴与抛物线得交点为
7、(0, ).2与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).3抛物线与轴的交点：二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： 有两个交点抛物线与轴相交； 有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切； 没有交点抛物线与轴相离.4平行于轴的直线与抛物线的交点 可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.5 一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组 的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时与有两个交点; 方程组只有一组解时与只有一个交点；方程组无解时与没有交点.6抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故十四、二次函数图象的平移平移规律概括成八个字 “左加右减，上加下减”
