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1、2014年11月26日条件概率、全概率公式与贝叶斯公式 条件概率、全概率公式与贝叶斯公式 一、背景 一个随机事件的概率,确切地说,是指在某些给定的条件下,事件发生的可能性大小 的度量.但如果给定的条件发生变化之后,该事件的概率一般也随之变化.于是,人们自然提出:如 果增加某个条件之后,事件的概率会怎样变化的?它与原来的概率之间有什么关系?显然 这类现象是常有的. 例1 设有一群共人,其中个女性,个是色盲患者. 个色盲患者中女性占个. 如果 =从中任选一个是色盲, =从中任选一个是女性,此时, . 如果对选取规则附加条件:只在女性中任选一位,换一句话说,发生之后,发生的概率(暂且 记为) 自然是
2、. 例2 将一枚硬币抛掷,观察其出现正反面的情况.设事件为“两次掷出同一面”,事件为“至 少有一次为正面H”.现在来求已知事件已经发生的条件下事件发生的概率. 这里,样本空间.易知此属于古典概型问 题.已知事件已发生,有了这一信息,知道不可能发生,即知试验所有可能结果所成的集合就 是.中共有3个元素,其中只有属于.于是,在发生的条件下,发生的概率为 对于例1,已知 容易验证在发生的条件下,发生的概率 对于例2,已知 容易验证发生的条件下,发生的概率 2014年11月26日条件概率、全概率公式与贝叶斯公式 对一般古典概型, 容易验证:只要,则在发生的条件下, 发生的概率, 总是成立的. 在几何概
3、率场合,如果向平面上单位正方形内等可能任投一点,则当发生的条件下, 这时 发生的概率为 由此可知对上述的两个等可能性的概率模型,总有成立. 其实,还可以验证, 这个关系式对频率也是成立的.于是,从这些共性中得到启发,引入下面的 一般定义. 二、条件概率 若是一个概率空间,若,则对于任意的,称 为已知事件发生的条件下, 事件发生的条件概率. 例3 一盒子中装有4只产品,其中有3只是一等品,1只是二等品.从中取产品两次,每次任取一 只,作不放回抽样,设事件为“第二次取到的是一等品”,事件为“第一次取到的是一等品”,试求 条件概率 解:易知此属古典概型问题.将产品编号：1,2,3号为一等品,4号为二
4、等品.以表示第一 次、第二次分别取到第 号、第号产品.试验E (取产品两次,记录其号码)的样本空间为 =(1,2),(1,3),(1,4), (2,1),(2,3),(2,4), (3,1),(3,2),(3,4), (4,1),(4,2),(4,3) =(1,2),(1,3),(1,4), (2,1),(2,3),(2,4), (3,1),(3,2),(3,4) =(1,2),(1,3), (2,1),(2,3), (3,1),(3,2) 由条件概率公式得, 2014年11月26日条件概率、全概率公式与贝叶斯公式 例4 一个家庭中有两个小孩,已知其中有一个是女孩,问这时另一个小孩也是女孩的概
5、率? (假定一个小孩是女孩还是男孩是等可能的) 解:据题意样本空间为 =(男,女),(男,男),(女,女),(女,男) =已知有一个是女孩=(男,女),(女,女),(女,男) =另一个小孩也是女孩=(女,女) 于是,所求概率为 三、条件概率的性质 (1)非负性:对任意的 (2)规范性: (3)可列可加性:若为一列两两不相交的事件,有 证明:(1) 因为所以 (2)由于,所以 (3)由于两两不相交,所以也必然两两不相交,所以 2014年11月26日条件概率、全概率公式与贝叶斯公式 四、乘法公式 由条件概率的定义知: 设,则.于是, 这就是概率的乘法公式. 如果,同样有 设且则 证明 因为,依条件
6、概率的定义,上式的右 边 五、乘法公式的应用例子 例5 设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下时未打 破, 第二次落下时打破的概率为7/10, 若前两次时未打破, 第三次落下时打破的概率为9/10,试求 透镜落下三次而未打破的概率. 解:以表示事件“透镜第 次落下时打破”,以表示事件“透镜三次落下而未打 破”. 因为,故有 例6 设袋中装有 只红球, 只白球.每次自袋中任取一只球,观察其颜色后放回,并再放入 2014年11月26日条件概率、全概率公式与贝叶斯公式 只与所取出的那个球同色的球.若在袋中连续取球四次,试求第一、二次取到红球且第三、四次 取到白球的概率
7、. 解:以表示事件“第 次取到红球”,分别表示事件第三、四次取到白球.所 求概率为 例7 (卜里耶模型)罐中有只黑球, 只红球,随机地取一只之后,把原球放回,并加进与抽出 的球同色之球 只,再摸第二次,这样下去共摸次.问前次出现黑球,后面次出现红球 概率是多少? 解:以表示事件“第k次取到黑球”, 表示事件“第次 取到红球”,则 由一般乘法公式, 2014年11月26日条件概率、全概率公式与贝叶斯公式 1. 在例7中,最后答案与黑球和红球出现的次数有关,而与出现的顺序无关. 2.卜里耶模型被卜里耶用来描述传染病的数学模型. 当时,它是有放回的摸球模型. 当时,它是不放回的摸球模型. 思考题:
8、在卜里耶模型中,取次,问正好出现次红球概率是多少? 例8 一批产品共100件,对其进行抽样调查,整批产品看作不合格的规定是:在被检查的5件 产品中至少有一件是废品.如果在该批产品中有5%是废品,试问该批产品被拒绝接收的概率是多 少? 解:设表示被检查的第件产品是正品.表示该批产品被接收.则 且 因此, 该批产品被拒绝接收的概率是0.23。 作业: P55 EX 29,30,31 2014年11月26日条件概率、全概率公式与贝叶斯公式 六、全概率公式 设是两个事件,那么可以表示为 显然,如果则 例1 1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出 一球放入2号
9、箱,然后从2号箱随机取出一球,问从2号箱取出的红球的概率是多少? 解:令 :最后从2号箱中取出的是红球; :从1号箱中取出的是红球. 则 由上面的公式, 上例采用的方法是概率论中颇为常用的方法,为了求复杂事件的概率,往往可以把它分解成 若干个互不相容的简单事件之并,然后利用条件概率和乘法公式,求出这些简单事件的概率,最后 利用概率可加性,得到最终结果,这一方法的一般化就是所谓的全概率公式. 设为试验的样本空间,为的事件,为的一组事件.若 (1) (2) 则称为样本空间的一个分割. 若为样本空间的一个分割,那么,对每一次试验,事件必有一个且 2014年11月26日条件概率、全概率公式与贝叶斯公式
10、 仅有一个发生. 例2 设试验为“掷一颗骰子观察其点数”.它的样本空间.的一组事件 是样本空间的一个分割.而事件组 不是样本空间的一个分割,因为 例3 甲、乙、丙三人向同一飞机射击.设样本空间=无人命中飞机,一人命中飞机,二人命 中飞机,全命中.的一组事件=三人以下命中飞机,=全命中飞机是样本空间的一个分 割. 设试验E的样本空间,为的事件, 为的一个分割,且 ,则 上式被称为全概率公式. 证明: ,所以 由假设,且所以 由条件概率公式,得 代入上式,即得 例4 甲、乙、丙三人向同一飞机射击.设甲、乙、丙射中的概率分别为0.4,0.5,0.7.又设若 只有一人射中,飞机坠落的概率为0.2,若有
11、二人射中,飞机坠落的概率为0.6,若有三人射中, 飞机 必坠落.求飞机坠落的概率. 解:记=飞机坠落,= 个人射中飞机, =(甲射中,乙丙未射中)+(乙射中,甲丙未射中)+(丙射中,甲乙未射中) 2014年11月26日条件概率、全概率公式与贝叶斯公式 再由题设, 利用全概率公式, 例5 播种用的小麦种子混有2%的二等种子,1.5%的三等种子,1%的四等种子,用一等、二 等、三等、四等种子长出的麦穗含有50颗麦粒以上的概率为0.5,0.15,0.1,0.05,求这批所结出的 麦穗含有50颗麦粒以上的概率. 解: 设=从这批种子任选一颗种子是等种子, . =从这批种子任选一颗,所结出的麦穗含有50
12、颗麦粒以上 则 由全概率公式 在例题5中, ,这对于农业技术人员来说,这个数据是重要的,但对育种专家来 说,仅有这个数据是不够的.因为他们更感兴趣的是下面的问题. 例6 在例题5中,问由这批所结出的含有50颗麦粒以上麦穗中是一等、二等种子长出的概 率. 解: 2014年11月26日条件概率、全概率公式与贝叶斯公式 在上面的计算中,事实上建立了一个著名的公式Bayes公式. 七、贝叶斯公式 设试验的样本空间,为的事件, 为的一个分割,且 , 则 上式称为贝叶斯公式. 证明:由条件概率,知 和全概率公式 例7 某电子设备厂所用的元件是由三家元件厂提供的,根据以往的记录,这三个厂家的次品 率分别为0
13、.02,0.01,0.03,提供元件的份额分别为0.15,0.8,0.05,设这三个厂家的产品在仓库是均 匀混合的,且无区别的标志. (1)在仓库中随机地取一个元件,求它是次品的概率. (2) 在仓库中随机地取一个元件,若已知它是次品,为分析此次品出自何厂,需求出此品由三 个厂家生产的概率是多少? 解:设取到的元件是次品,表示取到的元件是由第 个厂家生产的. (1)由全概率公式, 2014年11月26日条件概率、全概率公式与贝叶斯公式 (2) 由贝叶斯公式, 以上结果表明,这只产品来自第2家工厂的可能性最大. 八、贝叶斯方法 从这道题中我们看出，“取一个元件”是进行一个试验,那么是在试验以前就
14、已经知道 的,所以习惯地称它们为先验概率.实际上它是过去已经掌握的生产情况的反映,对试验要出现的 结果提供了一定的信息. 在这个例子中,试验结果出现次品,这时条件概率反映了在试验以后,对A发生的来 源的各种可能性的大小,通常称为后验概率. 如果是病人可能患的n种疾病,在诊断以前先检验与这些疾病有关的某些指 标(如体温,血压,白血球等),若病人的某些指标偏离正常值,要问病人患的是哪一种疾病,从概率论 的角度考虑,若较大,而为了计算 ,就可以利用上述的贝叶斯公式,并把由过去的 病例中得到的先验概率值代入,也就是医学上所说的发病率,人们常常喜欢找有经验的医生 给自己治病,因为过去的经验能帮助医生作出
15、比较准确的诊断,能够更好地做到对症下药,而贝叶 斯公式正是利用了经验的知识,由此,读者可以直觉地认识到这个公式的意义.也正因如此,这类方 法在过去和现在,都受到人们的普遍重视,并称为贝叶斯方法. 例8 用甲胎蛋白法普查肝癌,令 =被检验者患肝癌 =甲胎蛋白检验呈阳性 被检验者未患肝癌 甲胎蛋白检验呈阴性 由资料已知,又已知某地居民的肝癌发病率,在普 查中查出一批甲胎蛋白检验呈阳性的人,求这批人中真的患肝癌的概率. 解:由贝叶斯公式可得, 2014年11月26日条件概率、全概率公式与贝叶斯公式 由此可见,经甲胎蛋白检验呈阳性的人群中,其中真正患肝癌的人还是很少的,只占0.0038,把 与对比一下
16、是很有意思的.当已知病人患肝癌或 未患肝癌时, 甲胎蛋白检验的准确性应该说是比较高的,这从可以 肯定这一点.但如果病人患肝癌或未患肝癌时,而要从甲胎蛋白检验结果是否为阳性这一事件出 发,来判断病人是否患肝癌,那么它的准确性还是很低的,因为 .这个问题看来似 乎有点矛盾.一种检验方法准确性很高,但实际使用时准确性很低,到底是怎么一回事? 从上述计算中用到的贝叶斯公式,可以得到解释.已知是不大的,但是患肝癌的 人数毕竟很少, ,这就使得相对很大,从而很小.那么,上述结果 是不是说明甲胎蛋白检验法不能用了呢?完全不是!通常医生总是先采取一些其它简单易行的辅 助方法进行检查,当他怀疑某个对象有可能患肝癌时,才建议用甲胎蛋白检验法.这时, 肝癌的发 病率已经显著地增加了.比方说,在被怀疑的对象中,这时,这就有相当的 准确性了.
